상관관계를 보이는 두 자산의 움직임 모델

 

파생상품은 기초자산의 움직임에 연동하여 수익이 결정되는 금융상품이라고 하였습니다.  대표적으로

○ 선물, 선도 : [금융공학] - 선도와 선물 #1 : 선도

○ 옵션 : 옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..    

○ UOC 옵션: 배리어옵션 -UOC 옵션 #1 수학공식(Closed form)   

○ 디지털옵션: 디지털 옵션 #1. 디지털 옵션이란? 수학공식은?  

 

등을 다루었었는데요, 이들의 공통점 중 하나는 기초자산이 1개짜리라는 것입니다.

하지만 금융시장에는 수많은 자산이 있고 각각이 상관관계를 가지며 움직이고 있습니다.  여러 개의 자산을 한 바구니에 담는 포트폴리오 개념은 꽤 오래전부터 등장했었고, 파생상품 시장에서도 1개의 기초자산을 넘어 2~3개 또는 그 보다 많은 수의 기초자산을 가진 상품이 대세를 이루고 있습니다.

 

여러 개의 기초자산을 갖는 파생상품의 평가는 1개짜리 보다 조금 더 복잡합니다.  기초자산 각각을 GBM모델로 가정하더라도 기초자산 간의 연관성도 따져줘야 되는 것이죠. 금융공학적으로 기초자산간의 연관성을 어떻게 세팅을 하는지 알아보겠습니다.

 

기초자산이 여러 개면 복잡해 보이므로, 우선 2개인 경우를 생각해봅니다.

 

 

2개의 기초자산을 모델링 하자

 

기초자산이 2개일 때의 상관계수

여러 개는 복잡하므로 우선, 2개의 기초자산 $X_t , Y_t$의 움직임을 모델링해보겠습니다(머릿속으로는 $X_t$는 삼성전자의 주가, $Y_t$는 현대차의 주가 등으로 생각해 보시면 될 것 같습니다.)

각각을 일단 GBM으로 모델링 합니다. 즉,

$$ \begin{align} \frac{dX_t}{X_t} &= (r-q_x)dt + \sigma_x dW_t, \\ \frac{dY_t}{Y_t} &= (r-q_y)dt +\sigma_y dB_t \end{align}$$

라 합시다. 여기서

○ $\sigma_x , \sigma_y$ 는 각각 $X_t, Y_t$의 변동성

○ $q_x, q_y$는 각각 $X_t, Y_t$의 연속 배당률

○ $r$은 시장의 무위험 이자율

○ $W_t, B_t$는 각각 위너프로세스(Wiener process)라 합시다. 간단히 말해 $\mathcal{N}(0,\sqrt{t}^2)$를  따르는 확률변수라고  보면 됩니다.

 

 

 

이제 $W_t$와 $B_t$의 상관계수를 $\rho$라고 정의해 봅시다. 두 프로세스 모두 평균은 $0$, 표준편차가 $\sqrt{t}$이므로

$$\rho = \mathbb{Corr}(W_t , B_t) = \mathbb{E}( \textstyle{ \frac{W_t}{\sqrt{t}}  \cdot \frac{B_t}{\sqrt{t}}}) \tag{1}$$

입니다. $\frac{W_t}{\sqrt{t}}$와 $\frac{B_t}{\sqrt{t}}$는 각각 $W_t,B_t$의 z-score이죠.

 

그러면  [수학의 재미/확률분포] - 상관관계가 있는 두 개의 표준 정규분포 난수 구하기에서 다루었던 내용에 의해 서로 독립인 표준정규분포 변수 $w_1, w_2$가 있어서

$$
\begin{cases} 
\textstyle{\frac{W_t}{\sqrt{t}}} & = w_1 \\
\textstyle{\frac{B_t}{\sqrt{t}}} & = \rho w_1 +\sqrt{1-\rho^2} w_2\\
\end{cases}
$$

입니다. 이 식은 MonteCarlo Simulation에서 아주 중요하게 쓸 예정입니다.

 

그럼 $rho$의 정체는 무엇일까요? 그냥 위너프로세스 $W_t, B_t$의 상관계수라고만 받아들이면 되나요?

 

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$\rho$의 의미

 

한 가지 관찰을 해보겠습니다. 시점 $t$에서 $\Delta t$시간 동안의 로그수익률을 생각해 보죠. 주가 $X_t$를 예로 든다면,

$$ X_{t+\Delta t} = X_t \exp\left( (r-q_x-\textstyle{\frac12}\sigma_x^2)\Delta t +\sigma_x  \Delta W_{t} \right) $$ 

이므로 로그수익률 $\ln(X_{t+\Delta t}/X_t)$는

$$ \ln(X_{t+\Delta t}/X_t) = (r-q_x-\textstyle{\frac12}\sigma_x^2)\Delta t +\sigma_x \Delta W_{t}$$

이 됩니다. 마찬가지로 $Y_t$에 대해서

$$ \ln(Y_{t+\Delta t}/Y_t) = (r-q_y-\textstyle{\frac12}\sigma_y^2)\Delta t +\sigma_y \Delta B_{ t}$$

입니다. 따라서 이들 각각의 Z-score를 생각하여 상관계수를 계산해보면,

 

$$\mathbb{Corr}\left( \ln(X_{t+\Delta t}/X_t), \ln(Y_{t+\Delta t}/Y_t)\right) = \mathbb{E}( \textstyle{ \frac{W_t}{\sqrt{t}}  \cdot \frac{B_t}{\sqrt{t}}})=\rho $$ 

가 성립합니다. 두 번째 등식이 식(2)이죠.

 

따라서 

2개의 기초자산의 로그수익률을 각각 구해서, 이들의 샘플로 상관계수를 구하면 된다.
(로그수익률은 며칠 간격 로그수익률도 상관없으나, 간편히 Daily 수익률을 써서 구한다.)

라는 결론을 얻습니다.

 

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Ito 렘마의 중요한 공식

또 중요한 사실이 있습니다.

식(1)에서 

$$ \mathbb{E}(W_t B_t ) = \rho t$$

를 얻을 수 있는데요. 이 식을 이용해서 $\mathbb{E}(\Delta W_t \Delta B_t) $의 값이 뭔지 계산해 보죠.

 

$$
\begin{align}
\mathbb{E}(\Delta W_t \Delta B_t) &= \mathbb{E}((W_{t+\Delta t}-W_t)(B_{t+\Delta t}-B_t))\\
& =\mathbb{E}((W_{t+\Delta t}-W_t)(B_{t+\Delta t})) - \mathbb{E}((W_{t+\Delta t}-W_t)(B_{t})) \\
& =\mathbb{E}((W_{t+\Delta t}-W_t)B_{t+\Delta t}) - \mathbb{E}(W_{t+\Delta t}-W_t)\mathbb{E}(B_{t}) \\
& = \mathbb{E}((W_{t+\Delta t}-W_t)B_{t+\Delta t}) \\
& = \mathbb{E}(W_{t+\Delta t}B_{t+\Delta t}) -  \mathbb{E}(W_{t}B_{t+\Delta t}) \\
& = \rho (t+\Delta t) - \mathbb{E}(W_{t}(B_{t+\Delta t}-B_t)+W_t B_t) \\
& = \rho (t+\Delta t) - \mathbb{E}(W_{t}) \mathbb{E}(B_{t+\Delta t}-B_t) -\mathbb{E}(W_t B_t) \\
& = \rho (t+\Delta t) -\rho t \\
& = \rho \Delta t
\end{align}
$$ 

 

입니다. $\Delta t$를 극히 짧은 미분소로 바꿔보면

$$ dW_t \cdot dB_t = \rho dt$$

역시 옳은 식임을 알 수 있습니다 (사실 좀 수학적 논리의 비약이 있습니다.)

 이 식은 굉장히 중요한 식인데요.  이토 렘마에서 쓰였던

 

○ $dW_t \cdot dt =0 ~,~ dt^2 =0 $  ( [수학의 재미/아름다운 공식] - dWdt=0? dt^2=0? 참조)

○ $ dW_t^2 =dt $ ( [수학의 재미/아름다운 공식] - dW^2 = dt ? 참조)

 

와 더불어 굉장히 중요하게 쓰이는 관계식입니다. 따로 다시 정리해 보면,

Ito 렘마에서 중요하게 쓰이는 관계식

○ $dW_t \cdot dt =0 ~,~ dt^2 =0 $ 
○ $ dW_t^2 =dt $
○ $ dW_t dB_t = \rho dt$

 

 

MonteCarlo Simulation에서의 응용

 

위에서 정의한 기초자산 $X_t, Y_t$는 기호에 맞게

○ 만기 종가 하나 산출:  [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #1: 만기시점 주가만

○ 중간중간 패스 산출:  [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지! 

 

의 방법을 써서 MC용 주가를 만들어내는데요. 예컨대, 만기 종가 하나 산출하는 경우는

$$ 
\begin{align}
X_T &= X_0 \exp \left(  (r-q_x-\textstyle{\frac12}\sigma_x^2) T +\sigma_x \sqrt{T} w_1 \right)~,~w_1 \sim \mathcal{N}(0,1) \\
Y_T &= Y_0 \exp \left(  (r-q_y-\textstyle{\frac12}\sigma_y^2) T +\sigma_y \sqrt{T} w_2 \right)~,~w_2 \sim \mathcal{N}(0,1) \\
\end{align}
$$

, $ w_1$와 $w_2$의 상관계수는 $\rho$가 되도록 주가를 생성하면 됩니다. 따라서 다시 [수학의 재미/확률분포] - 상관관계가 있는 두개의 표준정규분포 난수 구하기에 의해,

서로 독립인 표준정규분포 $z_1, z_2$ 를 추출하여
$$ w_1= z_1~~,~~ w_2 = \rho z_1 + \sqrt{1-\rho^2} z_2 $$
로 추출하면 됩니다(이게 바로 Cholesky 분해)

 

 

 

실제적으로 이러한 주가패스를 만드는 작업은 다음 글에서 파이썬을 가지고 해 보겠습니다.