dW^2 = dt ?

 

이 글은

2022.05.27 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델 #1

주식의 수학적 모델 #1

에서 위너프로세스의 성질에 관한 것입니다. 위 글 중간 즈음에 있는 Wiener process를 다시 remind 해보죠.

 

위너 프로세스(Wiener process)

간단히 살펴보자면, 위너 프로세스는 다음의 4가지 성질을 만족하는 확률과정입니다.

1. 임의의 시점 $t>0$ 와 time interval $\Delta t >0$에 대하여, $W_{t+\Delta t}-W_t$는 $N(0,(\Delta t)^2)$ 을 따른다.

2. (현재)시점 $t=0$에서 이 값은 0이다. 즉, $W_0 =0 $ 이다.

3. 임의의 시점 $t_1<t_2<t_3$ 에 대하여 $W_{t_3}-W_{t_2}$ 와 $W_{t_1}$은 독립이다.      (즉, 시점 t_1 전까지 발생한 사건들은 그 이후 시점에 벌어진 사건들과는 관계가 없다.)

4. $t$에 대해서 연속함수이다.

 

또 주식의 수학적 모델에 대한 논의를 전개할 때, 

$$ (dW_t)^2 = dt \tag{1} $$

라는 관계식이 나왔습니다. 자세한 내용은

2022.06.01 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델#2에 있습니다. 그런데 증명방법이 좀 엉성했죠.

$\mathbb{E}[(dW_t)^2]= dt$ 이고 $\mathbb{V}[(dW_t)^2] =0$이니깐 수식(1)이 성립한다는 증명이었죠. 

그런데 이 증명법은 사실 $dW$나 $dt$를 숫자로 생각하고 숫자에 해당하는 연산을 통해 얻은 결과였죠. 이 같은 것을 box calculus라 한답니다. 마치 미분학에서 Chain Rule을

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}$$

처럼 나누기 연산이 성립하도록 쓴 것처럼 말이죠.

그러면 수식 (1)의 원래 의미는 뭘까요? $dW_t , dt$등의 미분소들이 사실 적분에 쓰이는 용어라는 것이라고 생각해본다면

임의의 $t\geq 0$에 대해, $$\int_0^t (dW_s)^2 = \int_0^t ds \tag{2}$$

라는 뜻입니다. 그런데 식(2)도 약간 엉성하죠? 좌변은 확률변수이고, 우변은 실수입니다. 같을 수가 없죠. 그래서 확률공간에서의 $L^2$ norm으로 해석합니다. 즉, 좌변과 우변의 차이의 제곱에 기댓값을 구해서

$$\mathbb{E} \left[\left(\int_0^t (dW_s)^2 -t \right)^2 \right]=0 \tag{3}$$

가 만족하는지를 보는 거죠.

그럼 

$$\int_0^t (dW_s)^2 $$ 

은 어떻게 정의되는 값일까요? 이런 걸 quadratic variation이라 하는데요, 구분구적법을 떠올려 봅시다.

$0$부터 $t$까지 구간을 $n$ 등분하여 $\Delta t = \frac tn$ 이라 하고 $t_i = i\cdot \Delta t$라 합시다. 그러면

$$\int_0^t (dW_s)^2 =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2~,~  \Delta W_{t_i}= W_{t_{i+1}}-W_{t_i}$$

이거를 수식 (3)의 좌변에다 집어넣어 봅시다(lim 는 뺍니다.) 

$$\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 -t \right)^2 \right] $$

의 값을 구하면 되고

$$
\begin{align}
\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 -t \right)^2 \right]  =\mathbb{E}&\left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2\right)^2\right] \\
& -2t\mathbb{E}\left[ \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 \right] +t^2\tag{4}
\end{align}
$$

입니다. 첫 번째 항은 다음처럼 정리됩니다.

$$
\begin{align}
\mathbb{E}&\left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2\right)^2\right]  \\
 &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^4 \right] +\mathbb{E}\left(\sum_{1\le i\neq j \leq n-1}(\Delta W_{t_i})^2(\Delta W_{t_j})^2\right) \\
& = \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}(\Delta W_{t_i})^4 + \sum_{1\le i\neq j \leq n-1}\mathbb{E}(\Delta W_{t_i})^2\mathbb{E}(\Delta W_{t_j})^2 \\
& = \sum_{i=0}^{n-1} 3(\Delta t_i)^2 + \sum_{1\le i\neq j \leq n-1} (\Delta t_i)(\Delta t_j)\\
& = \sum_{i=0}^{n-1}  \frac{3t^2}{n^2} + \sum_{1\le i\neq j \leq n-1} \frac{t}{n}\frac{t}{n}\\
& = n\cdot \frac{3t^2}{n^2} + n(n-1) \frac{t^2}{n^2}\\
& = \frac{3t^2}n +\frac{n(n-1)}{n^2} t^2 \rightarrow t^2 \rm{~ as~ } n\rightarrow \infty
\end{align}
$$

이 성립합니다. 3번째 줄로 넘어갈떄, $\Delta W_{t_i}$ 끼리 서로 독립이라 기댓값이 나눠져서 들어가는 성질, 5번째 줄에서는 "$X\sim N(0,\sigma^2)$ 일 때, $\mathbb{E}(X^4) = 3\sigma^4 $라는 사실이 쓰였습니다.

(2022.06.01 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델#2의 Fact1 참고)

 

이제 수식(4)의 두 번째 항을 계산해보겠습니다.

$$
\begin{align}
\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 \right] &=\sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}(\Delta W_{t_i})^2\\
& =   \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t \\
& = n\cdot \Delta t = n\cdot \frac tn = t
\end{align}
$$

 

따라서 수식(4) 에 이 결과들을 넣으면,

$$\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 -t \right)^2 \right]  =0$$

이 됩니다.

따라서 수식(2), 즉 $(dW_t)^2 =dt$ 임이 증명되었습니다. 

 

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$(dW_t)^2 =dt$ 이므로, box calculus에 의해 $dW_t = \sqrt{dt}$ 이고 따라서

• $dW_t d_t = \sqrt{dt} dt  \rightarrow 0$
• $ dt^2 \rightarrow 0$

도 당연할 것 같은데요. 위처럼 엄밀한 증명이 필요하긴 합니다. 다음 글에서 증명을 해보죠.