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클리켓 옵션 #1 클리켓 옵션이 뭐야? 이번 글은 클리켓 옵션에 대한 설명입니다. 단순하고 간단한(Vanilla) 옵션들에 대해서는 예전 글들에서 심도 있게 다룬 바 있습니다. 클리켓(Cliquet)이라는 단어는 톱니바퀴, 걸쇠 등을 나타내는 뜻입니다. 위 그림의 ① 번 톱니 한번 생각해보면 어떨까요? 지금 소개할 클리켓 옵션은 위의 톱니모양의 페이오프 때문에 명명되었을 가능성이 있을 듯합니다(정확한 건 아닙니다.) 클리켓 옵션의 상품 구조를 살펴보죠. 클리켓 옵션 구조 옵션이므로 기초자산이 있을테고, 거래일과 만기일이 있을 것입니다. 또한 행사가 개념이 있어서 주가 수준과 비교하여 특정 페이오프가 결정될 것입니다. 클리켓 옵션은 페이오프가 비교적 장황하게 정의됩니다. 다소 복잡하지만, 잘 따라오시면 문제가 없으실 것입니다. 구분 내용 기초자.. 2024. 4. 16.
선형회귀의 트렌드 직선과 PCA의 주성분은 서로 같을까? 주어진 데이터를 선형회귀법으로 분석하여 어떤 직선적인 경향을 따르는지, 또 주어진 데이터의 주성분을 분석하여 차원을 축소시켜 보는 방법들에 대해 다룬 바 있습니다. 선형회귀법은 트렌드 직선의 비밀(선형회귀), 트렌드 직선의 비밀(선형회귀) #2, 트렌드 직선의 비밀(선형회귀) #3 에 걸쳐서 소개한 바 있었습니다. PCA은 주성분 분석(Principal Component Analysis)이란?, 주성분 분석(PCA)의 수학적 접근, 주성분 분석(PCA)의 수학적 접근 #2에서 다룬 바 있었습니다. 관련글들을 읽다 보면 선형회귀 및 PCA를 활용한 예제들도 만나볼 수 있으니 참고해 보시기 바랍니다. 선형회귀와 PCA 접근법의 차이점은? 우선, 차이점은 선형회귀는 주어진 데이터를 잘 설명하는 일차 직선을 찾.. 2024. 4. 9.
등비수열 지난 글에서는 등차수열에 대해 알아보고, 이를 sympy를 이용하여 어떻게 풀지 알아봤었어. 자세한 건 등차수열 등차수열 이 카테고리에서는 sympy를 이용하여 각종 수열에 관련된 내용을 다뤄볼 예정이야. 수열은 말그대로 수의 나열이라는 뜻이야. 이 수의 나열에서는 보통 규칙이 보이진 않지만, 차이가 일정하다든 sine-qua-none.tistory.com 를 참고해 봅시다. 이번엔 등비수열이야. 어떤 수열이 있는데 수열간의 증가(또는 감소)하는 비율이 일정한 수열이지. 예를 들어 $$1~,~2,~,~ 4,~,~8,~,~16, \cdots $$ 는 항들 간의 비율이 $2$로 일정하잖아. 이러한 수열도 등차수열과 마찬가지로 첫 번째 항과 항 사이의비율 - 이것을 공비라 함 - 을 알면 모든 수열을 구할 수.. 2024. 4. 1.
등차수열 2번째 이야기(feat. 피타고라스 정리) 저번 글 등차수열 등차수열 이 카테고리에서는 sympy를 이용하여 각종 수열에 관련된 내용을 다뤄볼 예정이야. 수열은 말그대로 수의 나열이라는 뜻이야. 이 수의 나열에서는 보통 규칙이 보이진 않지만, 차이가 일정하다든 sine-qua-none.tistory.com 에서는 sympy를 이용하여 등차수열에 관련된 문제를 풀어보는 연습을 했지. 관련 문제를 더 풀어볼 예정이야. 등차수열 복습 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열의 $n$번째 항을 $a_n$이라 하면, $$ a_n = a+ (n-1) d $$ 가 되고, python의 RecursiveSeq 를 이용하여 아래와 같이 프로그래밍할 수 있다고 했지. import numpy as np from sympy import * from sympy.se.. 2024. 4. 1.
금리, 단리로 줄까, 복리로 줄까? 파생상품의 양대 축은 1. Equity를 기초자산으로 하는 상품 2. 금리를 기초자산으로 하는 상품 입니다. 더 깊게 들어가 보면, 신용이나 상품(commodity)을 기초자산으로 하는 상품도 상당히 큰 비중을 차지하고 있지만, Equity에 비견될 것으로는 아무래도 금리이겠죠. 이번 글에서는 금리에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 금리란? 생활을 영위하거나 투자를 위해 우리는 돈을 조달하게 됩니다. 하지만 돈을 공짜로 빌려주는 사람은 없겠죠. 돈을 빌려주는 사람 입장에서는 자기가 그 돈으로 수익활동을 얻게 되는 기회를 놓쳐버리니까요. 이른바 기회비용이죠. 따라서 돈을 빌려주는 대신, 얼마만큼이 보상을 받게 되는데, 이를 이자라고 합니다. 상황이 급박한 사람들에게 돈을 빌려줄 때는, 보상(이자)을 크게 받아.. 2024. 3. 8.
등차수열 이 카테고리에서는 sympy를 이용하여 각종 수열에 관련된 내용을 다뤄볼 예정이야. 수열은 말그대로 수의 나열이라는 뜻이야. 이 수의 나열에서는 보통 규칙이 보이진 않지만, 차이가 일정하다든지(등차수열), 비율이 일정하다든지(등비수열) 하는 규칙을 보일 때가 있어. 수열을 분석하고 수열의 부분합, 더 나아가 이러한 부분합들의 극한까지 알게 되면 적분까지 마스터하게 되는 것은 덤! 먼저 항 간의 차이가 일정한 등차수열을 알아보자고. 등차수열 등차수열은 항끼리의 차이가 같은 수열을 의미해. 첫째항과 항끼리의 차이인 공차로 수열의 속성이 결정되지. 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열의 $n$번째 항을 $a_n$이라 하며, $$ a_n = a+ (n-1)d $$ 가 돼. 이것을 python의 sympy.. 2024. 1. 2.
원의 방정식 이번에는 원(Circle)에 대한 이야기를 해볼까 해. sympy에서는 원에 대한 함수와 계산툴들을 어느 정도 제공해 주고 있지. 간단한 문제들을 풀어보며 sympy 사용법을 알아보자고. 문제 1 두 점 $A(1,2), B(-3,-2)$를 지름 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구하여라. 아주 평이한 문제지. 두 점 $A, B$가 지름의 양 끝점이니, $AB$의 중점 $$ M(-1,0)$$ 이 원의 중심이 되는 건 당연하고, 또 반지름을 구해보면 $$ AM = \sqrt{ (-1-(1))^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt {2}$$ 이므로 원의 방정식은 $$ (x+1)^2 + y^2 = 8$$ 이 될 거야. 이걸 python code로 풀어보면, from sympy import * import nu.. 2023. 12. 21.
수직으로 만나는 점, 직선 구하기 이번 글은 수직으로 만나는 직선에 관련된 내용이야. sympy에서는 수직과 관련된 몇몇 툴을 제공해 주는데, 예제를 통해서 어떤 기능들이 있는지 한번 보자고. 문제 1 직선 $y= \frac12 x+4$와 $x$축에서 수직으로 만나는 직선을 구하여라. 아주 간단한 내용이야. 거의 암산으로도 될 지경이지. 일단 $y=\frac12x+4$와 수직으로 만나는 직선의 기울기는 $-2$가 되어야 하고, $x$축에서 수직으로 만난다고 했으므로 위 직선의 $x$절편인 $(-8,0)$을 지나야 함. 따라서 $$ y= -2(x+8)$$ 이 정답이야. 그럼 이것을 sympy로는 어찌 풀어야 되나? from sympy import * x, y = symbols("x y") # x,y 를 symbol 로 정의 f = Line.. 2023. 12. 18.
육각형 속 마름모(@puzzlist의 기하문제) 머리도 식힐 겸 이리저리 웹서핑을 하다 재미있는 문제를 발견해서 sympy로 한번 풀어보면 재밌겠다 싶어서 도전해 본 문제가 있어. 교수님 존함을 보아하니, 수하 퍼즐 쪽으로 아주 유명하신 박부성 교수님이네. 어렸을 때도 많이 사서 풀어보고 했던 수학퍼즐 책들의 저자이시기도 하지. 박부성 교수님의 X (전 트위터) 계정은 링크 걸었으니 참고하시고~ 위의 그림처럼 정육각형이 있고, 그림과 같이 4개의 대각선(?) 비슷한 것들을 그려 만나는 점으로 이루어진 녹색 사각형, 이 놈의 면적이 정육각형에서 차지하는 비율을 구하는 문제야. 풀이 위 문제를 python의 sympy를 이용하여 풀어보자구. from sympy import * p = Polygon((0,0), 1, n=6) # 정6각형 정의 (외접원 중심.. 2023. 12. 15.
파푸스 정리의 일반화, 스튜어트 정리 지난 글에서 우리는 파푸스의 정리를 다뤘었지. 파푸스의 중선 정리 with Sympy 파푸스의 중선 정리 with Sympy 전 글 삼각형의 무게중심을 sympy로 구하기 삼각형의 무게중심을 sympy로 구하기 직각삼각형 만들기 직각삼각형 만들기 이번 글은 삼각형의 외접원 구하기 삼각형의 외접원 구하기 저번 글 두 점 sine-qua-none.tistory.com 위 글의 말미에 스튜어트 정리라는 것을 소개한 바 있어. 스튜어트 정리는 파푸스 정리의 일반화된 정리이지. 위키피디아에도 소개가 되어 있지만, 여기서 다시 소개를 해 볼게. 스튜어트 정리 스튜어트 정리란? 위의 그림에서 $$m \cdot b^2 + n\cdot c^2 = a(d^2 + m\cdot n)\tag{1}$$ 를 뜻하지. 특별히 $X$.. 2023. 12. 13.
파푸스의 중선 정리 with Sympy 전 글 삼각형의 무게중심을 sympy로 구하기 삼각형의 무게중심을 sympy로 구하기 직각삼각형 만들기 직각삼각형 만들기 이번 글은 삼각형의 외접원 구하기 삼각형의 외접원 구하기 저번 글 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하 sine-qua-none.tistory.com 에 이어 계속 평면좌표 이야기를 해보겠음. 이번엔 파푸스 정리(Pappus's theorem)이야. 사실 이 정리는 아폴로니오스의 중선정리( Apollonius' theorem) 라는 이름이 훨씬 많이 쓰이지. 위의 그림은 아폴로니오스 중선정리의 위키피디아 설명에서 그대로 가져온 것이야. 임의의 삼각형 $\triangle ABC$ 가 있고, $I$가 변 $BC$의 중점이면, $$ AB^2 +.. 2023. 12. 13.
삼각형의 무게중심을 sympy로 구하기 직각삼각형 만들기 직각삼각형 만들기 이번 글은 삼각형의 외접원 구하기 삼각형의 외접원 구하기 저번 글 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 저번 글에서는 2023.11.17 - [파이썬으로 sine-qua-none.tistory.com 에 이어서 또 삼각형에 대한 이야기를 해볼게. 이번엔 삼각형의 무게중심 에 대한 주제로 이야기를 해볼까 해. 삼각형의 무게중심 삼각형의 무게중심은 각 꼭짓점에서 대변의 이등분점에 내린 직선들의 교점이야. 이런 직선들은 세 개가 나오는데, 신기하게도 한 점에서 만나게 되지. 이게 바로 무게중심! 보통 우리는 무게중심의 공식을 한 꼭지점과 대변의 중점을 2:1로 내분한 점 으로 알고 있어. 즉 $A(x_1, y_1)$과 $BC$.. 2023. 12. 6.
직각삼각형 만들기 이번 글은 삼각형의 외접원 구하기 삼각형의 외접원 구하기 저번 글 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 저번 글에서는 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학/평면좌표] - 삼각형의 모양 판단? 삼각형 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어져. 직선과 직선, 선분과 선분이 수직으로 만나는 문제들은 아주 중요해. 평면 (또는 공간)에 좌표축 기능도 할 수 있고, 또한 피타고라스 정리를 사용하여 선분의 길이랄지, 거리의 최솟값 문제를 해결하는데 많이 쓰이거든. 이번엔 수직, 또는 직각과 관련된 문제야. 문제 좌표평면 위에 두 점 $A(0,2), B(1,5)$가 있다. 점 $P$가 직선 $y=1$위를 움직일 때, $△ABC$가 직각.. 2023. 12. 1.
삼각형의 외접원 구하기 저번 글 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 저번 글에서는 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학/평면좌표] - 삼각형의 모양 판단? 삼각형의 모양 판단? 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학] - 프롤로그 프롤로그 살면서 참 수학이 sine-qua-none.tistory.com 에 이어 sympy를 사용한 삼각형 문제풀이를 했지. 이번 글에서는 외접원을 구하는 방법을 소개해볼까? 모든 삼각형은 외접원을 가지고, 그 외접원의 중심을 외심이라고 하지. 문제를 소개해볼게. 문제 세 점 $A(6,1), B(-1,2), C(2,3)$을 꼭짓점으로 하는 $△ABC$의 외심의 좌표와 외접원의 반지름의 길이를 구하여라. 연습장 풀이 설명.. 2023. 11. 29.
두 점에서 거리가 같은 직선상의 점 구하기 저번 글에서는 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학/평면좌표] - 삼각형의 모양 판단? 삼각형의 모양 판단? 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학] - 프롤로그 프롤로그 살면서 참 수학이 본의 아니게 많이 쓰여. 중고딩 때는 그토록 어려웠던 수학이 생활 곳곳에서 사용되는 거 같아. 반면 다행인 것 sine-qua-none.tistory.com 파이썬 내의 sympy 라는 라이브러리를 사용하여 삼각형이 어떤 형태인지를 간단하게 알아봤어. 이번엔 두 점에서의 거리가 같은 직선상의 점 구하기 에 관련된 문제를 풀면서 sympy 기능들을 좀 더 소개해 볼게 문제 두 점 $A(8,-7), B(12,5)$에서 같은 거리에 있고, 직선 $x+2y-3=0$위에 있는 점 $P$의 좌표를 .. 2023. 11. 28.
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