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삼각형의 모양 판단? 2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학] - 프롤로그 프롤로그 살면서 참 수학이 본의 아니게 많이 쓰여. 중고딩 때는 그토록 어려웠던 수학이 생활 곳곳에서 사용되는 거 같아. 반면 다행인 것은 살면서 접하는 수학은 고등학교 수준 정도만 알고 있으면 충 sine-qua-none.tistory.com 위 글에서 말했다시피, 고등학교 수학문제들을 파이썬으로 풀어보는 게 목적이야. 평면좌표에서의 점, 직선, 원, 다각형 등 기하에 관련된 문제를 python으로 풀어볼 생각이지. 아래 문제를 먼저 풀어보자구 문제. 다음 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 어떤 삼각형인가? $$ A(1,4), B(-1,2), C(0,1)$$ 우선 이 삼각형의 그림을 한번 그려볼게. python으로 다음과 같이 그릴 수.. 2023. 11. 17.
프롤로그 살면서 참 수학이 본의 아니게 많이 쓰여. 중고딩 때는 그토록 어려웠던 수학이 생활 곳곳에서 사용되는 거 같아. 반면 다행인 것은 살면서 접하는 수학은 고등학교 수준 정도만 알고 있으면 충분하다는 얘기. 예를 들어 우리 아파트 산책로, 이거 한 10바퀴씩 산책할 때가 있는데, 문득 산책 거리가 궁금해. 물론 네이버지도에서 다 계산할 수 있지만.. 그리고 저 모양은 뭘까? 정삼각형인지, 직각삼각형인지, 산책로로 둘러싸인 면적은 어떨지, 왜 살면서 크게 필요는 없지만 마냥 궁금할 때 있잖아. 또 우리 아파트에는 순환도로가 있네. 위 그림엣 파란 점선인데, 이거 몇 km인지 궁금할 때강 있어. 또 차를 몰고 나갈 때, 시계방향으로 나갈지, 반시계 방향으로 나갈지 애매한 위치에 살고 있거든. 이러니까 더 궁금한.. 2023. 11. 17.
미래 주가 분포를 활용하여 콜옵션 베가 구하기 이번 글은 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 이번 글에서는 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 시점 $t$에서 주식의 가격이 $S_t$인 상황에서 $S_t$가 GB sine-qua-none.tistory.com 와 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 감마 구하기 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 감마 구하기 이번 글은 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 이번 글에서는 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생 sine-qua-none.tistory.com 글에 이어 콜옵션의.. 2023. 9. 12.
미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 감마 구하기 이번 글은 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 이번 글에서는 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 시점 $t$에서 주식의 가격이 $S_t$인 상황에서 $S_t$가 GB sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 위 글에서는 콜옵션의 델타(delta)를 미래주가의 분포를 이용하여 구하는 이론을 알아보았습니다. 그렇다면 감마(gamma)는 어떨까요? 먼저 지난 글에서 다루었던 내용을 간략하게 복습해 보겠습니다. 복습 글 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 .. 2023. 9. 1.
미래주가의 분포를 활용하여 콜옵션 델타 구하기 이번 글에서는 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 시점 $t$에서 주식의 가격이 $S_t$인 상황에서 $S_t$가 GBM(Geometric Brownian Motion)을 따를 때, 특정 만기 시점 $T$에 생성된 $$S_T$$ 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 과 확률밀도함 sine-qua-none.tistory.com 에서 다룬 내용을 활용하여, 파생상품의 민감도를 구하는 방법을 설명해 보겠습니다. 먼저 잠시 복습을 해볼까요? 복습 GBM 모델을 따르는 기초자산의 특정 만기 시점 $T$에서의 가격인 $S_T$의 누적분포함수(cdf)와 확률밀도 함수(pdf)는 아래와 같습.. 2023. 8. 21.
GBM모델로 생성된 미래 주가는 어떻게 분포할까? 변동성이 커지면 분포는? 이번 글은 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 시점 $t$에서 주식의 가격이 $S_t$인 상황에서 $S_t$가 GBM(Geometric Brownian Motion)을 따를 때, 특정 만기 시점 $T$에 생성된 $$S_T$$ 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 과 확률밀도함 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 저번 글에서는 GBM 모델을 따르는 기초자산의 특정 만기 시점 $T$에서의 가격인 $S_T$가 어떤 확률밀도 함수(pdf)를 가지는지, 또 누적분포함수(cdf)는 무엇인지를 알아보았습니다. 잠깐 복습해 보겠습니다. 복습 기초자산 $S_t$가 .. 2023. 8. 11.
GBM 모델로 생성된 주가의 누적분포함수, 확률밀도함수 이번 글에서는 시점 $t$에서 주식의 가격이 $S_t$인 상황에서 $S_t$가 GBM(Geometric Brownian Motion)을 따를 때, 특정 만기 시점 $T$에 생성된 $$S_T$$ 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 과 확률밀도함수(probability density function)를 구해보겠습니다. GBM 복습 GBM은 예전글 GBM 은 어떤 모델일까? GBM 은 어떤 모델일까? 이번 글은 2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지! GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지! 이 글은 2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #1: 만기시점 주가만 GBM 주 s.. 2023. 8. 8.
MC로 콜옵션 델타 구하기: likelihood 방법 이번 글은 [금융공학] - 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #2 : 시드 고정 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #2 : 시드 고정 이번 글은 2023.07.07 - [금융공학] - 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #1 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #1 이번 글은 2023.06.23 - [금융공학] - 그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 저번 글에서는 1) MonteCarlo 시뮬레이션을 이용하여 콜옵션의 가격을 구하고 2) 수치해석적(유한차분법)으로 콜옵션의 델타를 구했습니다. 즉, 콜옵션의 델타를 MC 시뮬레이션으로 구하는 법이라고 볼 수 있겠습니다. 이 글에서는 MC를 이용하여 콜옵션 델타를 구하는 또 다른 방.. 2023. 7. 14.
몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #2 : 시드 고정 이번 글은 2023.07.07 - [금융공학] - 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #1 몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #1 이번 글은 2023.06.23 - [금융공학] - 그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하기 그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하기 이번 글은 2023.04.27 - [금융공학] - 델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 저번 글에서는 MonteCarlo Simulation이라는 방법을 사용하여 수치해석적으로 파생상품의 민감도를 구하는 과정을 다뤘습니다. 그런데 문제가 있었죠. 저번 글에서 봤던 그래프를 다시 한번 볼까요? 회색 실선이 콜옵션 closed form으로 추출한 가격 및 민감도(델타, 감마, .. 2023. 7. 12.
몬테카를로 시뮬레이션과 그릭의 안정성 #1 이번 글은 2023.06.23 - [금융공학] - 그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하기 그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하기 이번 글은 2023.04.27 - [금융공학] - 델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 쫓아가보자 #1 델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 쫓아가보자 #1 이 글은 테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 저번 글에서는 민감도를 구할 때, 굳이 공식을 편미분 하지 않고 유한 차분의 형태로 수치 해석적으로 구하는 방법을 설명했습니다. 이 방법이 강력한 이유는 굳이 공식(closed form)이 없더라도, 그릭들을 다 뽑아낼 수 있다! 뭘로? 유한차분으로~ 입니다. Closed form이 있어야 편미분을 .. 2023. 7. 7.
그릭을 수치 해석적인 방법으로 해결하기 이번 글은 2023.04.27 - [금융공학] - 델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 쫓아가보자 #1 델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 쫓아가보자 #1 이 글은 테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론 테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론 이 글은 예전글인 2022.05.19 - [수학의 재미/아름다운 이론] - 테일러 전개 #1 테일러 전개 #1 무한번 미 sine-qua-none.tistory.com 와 관련이 있습니다. 파생상품의 민감도(Greeks) 들은 파생상품의 가격 공식을 미분하여 얻어집니다. 예컨대, 시점 $t$, 기초자산 $S$에서의 가격이 $f(t, S)$로 주어지는 파생상품의 델타, 감마, 스피드는 각각 $$ \Delta = \frac{\partial f}{.. 2023. 6. 23.
풋옵션의 민감도들은? feat. 풋콜패리티 앞선 글들에서 콜옵션의 민감도에 대해 알아봤습니다. 구체적으로 ○ 기초자산에 변화에 따른 민감도인 델타(Delta), 감마(Gamma), 스피드(Speed) ○ 계산 시점 변화에 따른 민감도인 세타(Theta) ○ 변동성의 변화에 따른 민감도인 베가(Vega), 볼가(Volga), 울티마(Ultima) ○ 무위험 이자율에 따른 민감도인 로(rho) 까지 알아봤습니다. 잠깐 공식을 복습해 보면 아래와 같습니다. 콜옵션의 가격 및 민감도(Greeks) 콜옵션의 가격 $c(t,S)$는 $$c(t,S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2),$$ $$\textstyle{ d_1 =\frac{\ln(S/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2.. 2023. 6. 19.
로(Rho)! 콜옵션은 이자율에 어떤 영향을 받을까? 이 글은 로(rho)에 관련된 글 로(Rho)! 콜옵션의 이자율 민감도는? 로(Rho)! 콜옵션의 이자율 민감도는? 이 글은 Vega에 관련된 글 Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 이 글은 2023.05.26 - [금융공학] - 콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩터 분석 sine-qua-none.tistory.com 에서 이어집니다. 저번 글에서 콜옵션의 로는 아래와 같다고 했습니다. 콜옵션의 로(rho) 콜옵션 가격이 이자율 $r$의 변화에 얼마나 민감한지를 보는 척도라 그랬죠. 로(rho)는 아래와 같이 정의하고 직접 Black Scholes Formula를 $r$로 미분하여 로를 얻을 수 있습니다. 구분 정의 수식 로($\rho$,.. 2023. 6. 14.
로(Rho)! 콜옵션의 이자율 민감도는? 이 글은 Vega에 관련된 글 Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 이 글은 2023.05.26 - [금융공학] - 콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩터 분석 콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩터 분석 이번 글은 콜옵션 가격 변동 헤지(hedge) 시뮬레 sine-qua-none.tistory.com 에 이어 무위험 이자율에 대한 민감도를 알아보려 합니다. 로(rho, $\rho$) 파생상품의 이자율에 대한 민감도 즉, 파생상품 가격을 이자율로 편미분 한 값을 rho라 하고, 기호로 $$\rho = \frac{\partial V}{\partial r}$$ 이라 씁니다. $V(t,S)$는 파생상품의 가치이고, $r$은 (무위험 이.. 2023. 6. 9.
변동성 변화에 따른 콜옵션 가격 변화 팩터 분석하기 이 글에서는, 바로 전 글( 변동성이 커지면 콜옵션 값어치가 올라간다!?) 변동성이 커지면 콜옵션 값어치가 올라간다!? 이 글은 2023.05.31 - [금융공학] - Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도 이 글은 2023.05.26 - [금융공학] - 콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩 sine-qua-none.tistory.com 에 이어서 변동성 변화에 따른 콜옵션 가격 변화가 어떤 요인으로 이루어져 있는지를 알아보겠습니다. 콜옵션을 계산하는 시점 $t$와 그 시점에서의 기초자산 $S$가 동일하고 변동성만 바뀌는 상황을 가정해 보겠습니다. 변동성은 $\sigma$에서 $\sigma+\Delta \sigma$로 바뀌었다고 하죠. 변동성 .. 2023. 6. 5.
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