풋옵션의 민감도들은? feat. 풋콜패리티

앞선 글들에서 콜옵션의 민감도에 대해 알아봤습니다. 구체적으로

 

○ 기초자산에 변화에 따른 민감도인 델타(Delta), 감마(Gamma), 스피드(Speed) 

 

○ 계산 시점 변화에 따른 민감도인 세타(Theta)

 

○ 변동성의 변화에 따른 민감도인 베가(Vega), 볼가(Volga), 울티마(Ultima)

 

○ 무위험 이자율에 따른 민감도인 로(rho)

 

까지 알아봤습니다. 잠깐 공식을 복습해 보면 아래와 같습니다.

 

 

콜옵션의 가격 및 민감도(Greeks)

 

콜옵션의 가격 $c(t,S)$는 

$$c(t,S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2),$$
$$\textstyle{ d_1 =\frac{\ln(S/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},  d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}}$$

이고 민감도들은

 

그릭(Greeks)	수식
델타, $\Delta$	$$e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) $$
감마, $\Gamma$	$$ \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}$$
스피드, Speed	$$- \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}  \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T-t}}  \right]$$
세타, $\Theta$	$$ \Theta =qSe^{-q\tau} \Phi(d_1) - rK e^{-r\tau} \Phi(d_2) - \frac{Ke^{-r\tau}\sigma\phi(d_2)}{2\sqrt{\tau}} $$
베가, $\mathcal{V}$	$$Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}= Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}$$
볼가, Volga	$$  {\rm{(Vega)}} \frac{d_1d_2}{\sigma} $$
울티마, Ultima	$$ -\frac{1}{\sigma} {\rm{Vega}}\cdot \left( d_1d_2(1-d_1d_2) + d_1^2+d_2^2 \right)$$
로, $\rho$	$$ \tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2)$$

 

입니다.

 

그렇다면, 풋옵션(Put option)의 민감도는 어떻게 될까요? 

 

 

풋옵션의 가격 및 풋콜 패리티

먼저, 예전에 다루었던 내용을 복습하자면,  풋옵션의 가격은 아래의 링크 글에서 확인할 수 있습니다.

[금융공학] - 옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)

옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)

 

이 글에서 풋옵션의 가격 $p(t,S)$은

Black Scholes Formula(풋옵션의 가격)

$$p(t,S) =  Ke^{-r(T-t)}\Phi(-d_2) - S e^{-q(T-t)}\Phi(-d_1),\tag{1}$$
$$ d_1 =\frac{\ln(S/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, $$
$$ d_2 = \frac{\ln(S/K)+(r-q-{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} = d_1 -\sigma \sqrt{T-t}$$

으로 주어짐을 확인할 수 있습니다.

 

이제, 풋옵션의 민감도들을 구해볼까요? 물론 위의 식 (1)을 지루하게 편미분하여 모든 미분을 구할 수도 있겠습니다만, 조금 더 우아한 방법으로 구해 보죠. 바로

 

풋콜패리티를 이용

 

하는 것입니다.  풋콜패리리는 예전 글(옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..)

옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..

에서 소개한 바 있습니다. 다시 수식으로 써 보면 아래와 같습니다.

 

풋콜 패리티(Put Call Parity)

풋옵션의 가격 $p(t,S)$, 잔존만기 $\tau = T-t$
$$ K e^{-r\tau} + c (t,S) = p(t,S) + S e^{-q\tau}$$
를 만족한다. 이를 풋옵션 입장에서 써보면,
$$ p(t,S) = c (t,S)+ K e^{-r\tau} - S e^{-q\tau} \tag{2}$$
이다.

위 관계식과 위에 정리한 콜옵션의 민감도들을 이용하며 풋옵션의 민감도들을 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 

풋옵션의 델타, 감마, 스피드

 

풋콜패리티 식(2)를  $S$로 편미분하면 아래의 식을 만족합니다.

$$ \frac{\partial p}{\partial S} = \frac{\partial c}{\partial S} - e^{-q\tau} \tag{3}$$

풋옵션, 콜옵션의 델타를 각각 $\Delta_p, \Delta_c$ 라 쓴다면,  
$$
\begin{align}
\Delta_p (t,S) &= \Delta_c(t,S) - e^{-q\tau}\\ 
                  & e^{-q\tau} \Phi(d_1) - e^{-q\tau}\\
                  & e^{-q\tau} (\Phi(d_1)-1)\\
                  & -e^{-q\tau} \phi(-d_1)\tag{4}
\end{align}
$$
를 만족합니다(여기서 $1- \Phi(x) = \Phi(-x)$ 의 관계식이 쓰였습니다.)

식(3)을 $S$로 한번 더 편미분하면

$$ \frac{\partial^2 p}{\partial S^2} = \frac{\partial^2 c}{\partial S^2}\tag{5}$$
이고 풋, 콜옵션의 감마를 각각 $\Gamma_p, \Gamma_c$라 쓰면(앞으로도 아래 첨자 $p,c$를 써서 구분하겠습니다.)

$$ \Gamma_p(t,S) =\Gamma_c(t,S) = \frac{e^{-q\tau}\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}}\tag{6}$$
즉, 감마는 동일합니다.

식(5)를  $S$로 한번 더 편미분하면
$$ \frac{\partial^3 p}{\partial S^3} = \frac{\partial^3 c}{\partial S^3}$$
따라서 Speed 역시 동일하죠. 즉,

$$ {\rm{Speed}}_p (t,S) = {\rm{Speed}}_c (t,S) = - \frac{e^{-q\tau}\phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{\tau}} \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right] \tag{7}$$
입니다.

 

풋옵션의 세타

세타를 위해 식(2)을 $\tau$로 편미분하면 아래를 얻습니다($\tau =T-t$입니다.)

$$ \frac{\partial p}{\partial \tau} =  \frac{\partial c}{\partial \tau} -rKe^{-r\tau} +qSe^{-q\tau}\tag{8}$$

또,

$$ \frac{\partial }{\partial t} = - \frac{\partial }{\partial \tau}\tag{9}$$이므로  식(8),(9)를 조합하면,

$$
\begin{align}
\Theta_p &= -\frac{\partial p}{\partial \tau} \\
& = -\frac{\partial c}{\partial \tau} +rKe^{-r\tau} -qSe^{-q\tau}\\
& = \Theta_c + rKe^{-r\tau} -qSe^{-q\tau}\\
& =qSe^{-q\tau} (\Phi(d_1)-1) - rKe^{-r\tau}(\Phi(d_2)-1) - \frac{Se^{-q\tau}\sigma\phi(d_1)}{2\sqrt{\tau}}\\
& = -qSe^{-q\tau} \Phi(-d_1) +rKe^{-r\tau}\Phi(-d_2)-\frac{Se^{-q\tau}\sigma\phi(d_1)}{2\sqrt{\tau}}\tag{10}\\
\end{align}
$$

을 얻습니다. 물론 이 글에서처럼 관계식

$$ \Theta_p + (r-q) S\Delta_p + \frac12\sigma^2 S^2 \Gamma_p - r p =0$$

을 이용하여 구할 수도 있습니다($ p(t, S), \Delta_p, \Gamma_p$는 각각 식(1), (4), (6)을 이용하면 됩니다.)

 

 

풋옵션의 베가

이번에는 식(2)을 변동성 $\sigma$로 편미분하겠습니다. 다행히도

$$ \frac{\partial p}{\partial \sigma} = \frac{\partial c}{\partial \sigma}$$ 이므로 Vega, Volga, Ultima 는 볼 것도 없이 콜옵션민감도들과 동일하겠지요.

풋옵션의 로(rho)

식(2)를 $r$로 편미분하면
$$ \frac{\partial p}{\partial r} =  \frac{\partial c}{\partial r} -\tau Ke^{-r\tau} \tag{11}$$
입니다. 따라서
$$
\begin{align}
\rho_p &= \frac{\partial p}{\partial r} \\
& = \frac{\partial c}{\partial r} -\tau Ke^{-r\tau}\\
& = \tau K e^{-r\tau}\Phi(d_2) -\tau Ke^{-r\tau} \\
& =\tau K e^{-r\tau} ( \Phi(d_2)-1) \\
& = - \tau K e^{-r\tau}  \Phi(-d_2)\tag{12}
\end{align}
$$ 
를 얻습니다. 이상 모든 것을 조합해 보면 다음과 같은 표를 얻을 수 있게 됩니다.

 

그릭(Greeks)	콜옵션	풋옵션
델타, $\Delta$	$$e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) $$	$$ -e^{-q\tau} \phi(-d_1)$$
감마, $\Gamma$	$$ \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}$$
스피드, Speed	$$- \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}  \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T-t}}  \right]$$
세타, $\Theta$	$$ \begin{align} qSe^{-q\tau} &\Phi(d_1) - rK e^{-r\tau} \Phi(d_2)\\ & - \frac{Ke^{-r\tau}\sigma\phi(d_2)}{2\sqrt{\tau}}  \end{align}$$	$$ \begin{align} -qSe^{-q\tau} &\Phi(-d_1) +rKe^{-r\tau}\Phi(-d_2)\\ & -\frac{Se^{-q\tau}\sigma\phi(d_1)}{2\sqrt{\tau}} \end{align}$$
베가, $\mathcal{V}$	$$Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}= Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}$$
볼가, Volga	$$  {\rm{(Vega)}} \frac{d_1d_2}{\sigma} $$
울티마, Ultima	$$ -\frac{1}{\sigma} {\rm{Vega}}\cdot \left( d_1d_2(1-d_1d_2) + d_1^2+d_2^2 \right)$$
로, $\rho$	$$ \tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2)$$	$$- \tau K e^{-r\tau}  \Phi(-d_2)$$