델타, 감마, 스피드! 콜옵션의 가격 변화를 쫓아가보자 #1

 

이 글은 테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론

테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론

에서 다루었던 내용을 실제 파생상품에 적용하여 어떤 의미를 갖게 되는지를 알아보는 글입니다.

 

 

파생의 대표주자 콜옵션

 

파생상품 하면 떠오르는 것이 선물, 옵션입니다. 선물이야 기초자산과 거의 비슷하게 움직이므로 분석에 재미가 좀 없지요.  이 글에서는 콜옵션(call option)을 대상으로 분석해 보겠습니다.

 

옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)

옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)

이라는 글에서 콜옵션의 수식(closed form)을 유도한 바 있습니다. 복습해 보자면, 콜옵션의 가격을 시점 $t$와 기초자산 각$S$에 대한 2 변수 함수 $c(t, S)$ 라 할 때, 이것은 편미분방정식

$$ c_t(t,S) + (r-q) S c_S(t, S) + \frac12\sigma^2 S^2 c_{SS}(t, S) - r c(t, S) =0 \tag {1}$$
$$ c(T,S) = \max(S-K,0)$$

를 만족합니다. 마팅게일 이론을 적용하여 구한 해(solution)는

 

$$ c(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}(c(T,S_T) | \mathcal{F}_t ) \tag{2} $$
입니다. 여기서 $S_t$는 GBM 모델을 따르는 기초자산으로서 그 dynamics를
$$ dS_t/S_t = (r-q)dt +\sigma dW_t $$

라 세팅할 수 있습니다($r, q, \sigma$는 각각 무위험 이자율, 배당률, 변동성이고 $W_t$는 위너 프로세스.)

 

식 (2)을 풀어보면,

 

$$ c(t,S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -  Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)\tag{3}$$

$$ d_1 = \frac{\ln(S/K)+(r-q+\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}~~,~~ d_2= d_1-\sigma\sqrt{T-t} \tag{4}$$

위의 공식에서 $\Phi(\cdot)$는 누적표준정규분포함수(cdf of normal distribution)이고 $\phi(\cdot)$는 표준정규분포의 확률밀도 함수입니다. 즉,
$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} $$
이고

$$ \Phi(z) =\int_{-\infty}^z \phi(x) dx $$ 

입니다.

 

 

콜옵션의 근사식은?

저번글(테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론)

테일러 전개 : 파생상품 헤지의 준비 이론

에 따르면 콜옵션의 3차 항까지의 근사식은 다음과 같습니다.

 

$$c(t,S+\Delta S) \approx c(t,S) + \frac{\partial c}{\partial S}(t,S) (\Delta S) + \frac12\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}(t,S) (\Delta S)^2+ \frac16\frac{\partial^3 c}{\partial S^3}(t,S) (\Delta S)^3 \tag{5}$$

  

편미분 기호를 쓴 것은 $c$가 $t, S$ 두 개의 변수에 대한 함수이기 때문입니다. 

여기에서는 $t$는 상수로 보고, $S$에 대한, 즉, 기초자산 가격에 대한 근삿값을 생각해 보도록 합시다. 이제부터  식(5)에 등장하는 미분값들을 차근히 구해보도록 하죠

 

1계 도함수

함수 $c$의 $S$1계 미분을 구하기 위해서 다음의 관찰 2개가 필요합니다.

 

관찰 1                                                         $ Se^{-q(T-t)}\phi(d_1) = e^{-r(T-t)} K \phi(d_2) $

증명 $$ \begin{align} \frac{\phi(d_1)}{\phi(d_2)} &= e^{-\frac12(d_1^2-d_2^2)}\\ & = e^{-d_1\sigma\sqrt{T-t} + \frac12\sigma^2(T-t)}\\   & = e^{ -\ln(S/K) -(r-q+\frac12\sigma^2)(T-t)+\frac12\sigma^2(T-t) }\\   & = \frac{ Ke^{-r(T-t)}}{Se^{-q(T-t)}} \end{align} $$

 

관찰 2                                      $ \frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\partial d_2}{\partial S} $ 이것은 식 (4)에서  $d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$ 이므로 자명합니다.

 

이제 1계 도함수 $\frac{\partial C}{\partial S}$를 구해보도록 하죠.

$$
\begin{align}
\frac{\partial c}{\partial S} &= e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) + Se^{-q(T-t)}\phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S} -Ke^{-r(T-t)}\phi(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial S}\\
&=  e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) + \left( Se^{-q(T-t)}\phi(d_1)  -Ke^{-r(T-t)}\phi(d_2) \right) \frac{\partial d_1}{\partial S}\\
& = e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) \tag{6}
\end{align}
$$

위의 두 번째 등식에서는 (관찰 2)가, 첫 번째 등식에서는 (관찰 1)이 쓰였습니다. 특히 관찰 1은 많이 쓰이는 결과이므로 알아두시면 좋습니다.

 

 

2계 도함수

1계 도함수를 성공적으로 구했으므로 식 (6)에서 바로 구할 수 있습니다.

$$
\begin{align}
\frac{\partial^2 c}{\partial S^2} =e^{-q(T-t)} \phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}\tag{7}
\end{align}
$$

 

3계 도함수

식(7)을 한번 더 $S$로 미분하면 됩니다.

$$
\begin{align}
\frac{\partial^3 c}{\partial S^3} &= -d_1\phi(d_1) \frac{e^{-q(T-t)}}{S^2\sigma^2 {T-t}} - \phi(d_1)  \frac{e^{-q(T-t)}}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}\\
&= -e^{-q(T-t)} \phi(d_1) \left[ \frac{1}{S^2\sigma\sqrt{T-t}} +\frac{d_1}{S^2\sigma^2{T-t}}  \right]\\
& =- \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}  \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T-t}}  \right] \tag{8}
\end{align}
$$

 

 

이상을 정리하면

 

구분	정의	수식
1차 도함수	$$\frac{\partial c}{\partial S}$$	$$e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) $$
2차 도함수	$$\frac{\partial^2 c}{\partial S^2} $$	$$ \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}$$
3차 도함수	$$\frac{\partial^3 c}{\partial S^3}$$	$$- \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}  \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T-t}}  \right]$$

입니다.

 

 

 

 

금융공학적인 정의

이어질 글들에서 수도 없이 나오겠지만, 위에서 구한 미분 계수들은 너무 중요한 역할을 하기에 각각의 이름이 있습니다. 먼저 좀 소개를 하자면,

델타(Detla, $Delta$) : 기초자산($S$)에 대한 1계 미분값

감마(Gamma, $\Gamma$) : 기초자산($S$)에 대한 2계 미분값

스피드(Speed) : 기초자산($S$)에 대한 3계 미분값

으로 정의합니다. 

3차 미분으로 갈수록 그 값이 작아지고, 영향도가 떨어져서 델타, 감마 같은 별칭이 없습니다만, 2차 미분값까지는 델타($\Delta$), 감마($\Gamma$) 같은 그리스 문자(Greeks) 별칭이 있습니다. 

 

기초자산에 대한 그리스 문자(Greeks) 별칭은 $\Delta$, $\Gamma$가 있습니다.

따라서 위의 표를 다음과 같이 정리할 수도 있죠.

 

 

그릭(Greeks)	수식
델타, $\Delta$	$$e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) $$
감마, $\Gamma$	$$ \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1) }{S\sigma \sqrt{T-t}}$$
스피드	$$- \frac{e^{-q(T-t)} \phi(d_1)}{S^2\sigma\sqrt{T-t}}  \left[ 1+\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T-t}}  \right]$$

 

 

여담

예전에도 한번 블로그에 쓴 적이 있는데,  뇌섹남의 델타 구하기 전법이 있습니다.

 

저번 글(옵션 시간가치 쩌는 곳은?) 의 아래 그림을 보면, 델타를 구하는 아주 쉬운(?!?!) 방법이 있습니다.

 

 

 

 

 

 

델타, 감마, 스피드를 가지고 어떤 일들을 할 수 있는지에 대해서는 다음 글에서 다뤄보도록 하겠습니다.