옵션 시간가치 쩌는 곳은?

 

 

이 글은 

2022.12.30 - [금융공학] - 옵션, 시간은 내편!: 시간가치와 내재가치

옵션, 시간은 내편!: 시간가치와 내재가치

과

2023.01.02 - [금융공학] - 풋옵션 시간가치의 비밀

풋옵션 시간가치의 비밀

을 정리하고 부연설명하는 글입니다.

 

 

복습: 옵션의 내재가치와 시간가치

 

옵션의 내재가치

옵션의 내재가치는 바로 권리를 행사했을때의 페이오프를 말합니다.

구분	내재가치
콜옵션	$\max(S_t-K,0)$
풋옵션	$\max(K-S_t,0)$

 

옵션의 시간가치

옵션의 시간가치는 잔존만기가 남아있음에 따라 내재가치보다 더 기대되는 페이오프이죠.  보통 시간가치는 양수, 즉 시간이 남아있어서 내재가치보다 기대되는 수익이 더 많지만, 무위험 이자율이 양수이고, Deep ITM에 위치하 풋옵션의 경우는 시간가치가 음수가 나올 수 있다고 저번글 풋옵션 시간가치의 비밀에서 알아보았습니다.

수식으로 정리하면, 아래 표처럼 정리할 수 있습니다.

구분	시간가치
콜옵션	$c(t,S_t) - \max(S_t-K,0)$
풋옵션	$p(t,S_t)-\max(K-S_t,0)$

참고로 콜옵션 가격 $c(t,S_t)$와 풋옵션 가격 $p(t,S_t)$는 아래 공식을 따르죠(Black Scholes Formula)

 

구분	가격공식(closed form)
콜옵션	$c(t,S_t) = S_t e^{-q\tau} \Phi(d_1) -Ke^{-r\tau}\Phi(d_2) \tag{1}$
풋옵션	$p(t,S_t) =  Ke^{-r\tau}\Phi(-d_2) - S_t e^{-q\tau}\Phi(-d_1) \tag{2}$
- $r, q, \sigma$ : 각각 무위험이자율, 연속배당률, 기초자산 변동성 - $ d_1 =\frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, ~ d_2 = d_1-\sigma\sqrt{\tau}$ - $\tau = T- t$ , 즉 $\tau$는 잔존만기, $T$는 옵션 만기 - $\Phi(\cdot) $ : 표준정규분포의 cdf

 

이제 콜옵션과 풋옵션 시간가치를 그래프를 통해 알아보겠습니다.

 

 

Python code : 옵션의 시간가치

 

def option_and_intrinsic_value_total():
    s0 = 100
    strike = 100
    maturity = 1
    rfr = 0.02
    vol = 0.4
    div = 0.01
    s_vec = np.arange(10, 150, 1)
    numS = 80


    call_value = np.array([CallOptionBS(s, strike, maturity, rfr, div, vol) for s in s_vec])
    call_intrinsic_value = np.maximum(s_vec - strike, 0)

    put_value = np.array([PutOptionBS(s, strike, maturity, rfr, div, vol) for s in s_vec])
    put_intrinsic_value = np.maximum(strike - s_vec, 0)

    plt.subplot(2, 2, 1)
    plt.title('call option premium & intrinsic value')
    plt.plot(s_vec, call_value, color='gray', label='call premium')
    plt.plot(s_vec, call_intrinsic_value, color='royalblue', label='put intrinsic value')
    plt.fill_between(s_vec, call_value, call_intrinsic_value, hatch='\\\\\\\\', color='gray', alpha=0.5)
    plt.legend()

    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.title('call option time premium')
    plt.fill_between(s_vec, call_value - call_intrinsic_value, color='gray', alpha=0.5)

    plt.subplot(2, 2, 3)
    plt.title('put option premium & intrinsic value')
    plt.plot(s_vec, put_value, color='gray', label='put premium', alpha=0.5)
    plt.plot(s_vec, put_intrinsic_value, color='royalblue', label='put intrinsic value')
    plt.fill_between(s_vec, put_value, put_intrinsic_value, hatch='x', color='gray', alpha=0.5)
    plt.fill_between(s_vec, put_value, put_intrinsic_value, where=(put_value < put_intrinsic_value), hatch='x',
                     color='limegreen', alpha=0.5)
    plt.legend()

    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.title('put option time premium')
    plt.fill_between(s_vec, put_value - put_intrinsic_value, color='gray', alpha=0.5)
    plt.fill_between(s_vec, put_value - put_intrinsic_value, where=(put_value < put_intrinsic_value), hatch='x',
                     color='limegreen', alpha=0.5)

    plt.tight_layout
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    option_and_intrinsic_value_total()

○ matplotlib.pyplot.fill_between 으로 그래프의 원하는 영역에 색과 문양을 넣을 수 있습니다.

 

code는 간단합니다. call/put 옵션의 프리미엄과 내재가치 그래프를 그린 후 그 차이(시간가치)를 따로 떼어서 독립적으로 그려본 결과이죠.  결과는 아래와 같습니다.

 

 

 

○ 좌상 그래프	콜옵션과 내재가치의 관계그래프입니다. 저번 글에서 봤듯이 옵션 프리미엄이 내재가치보다 항상 높습니다.
○ 우상 그래프	콜옵션의 시간가치 그래프 즉, 콜 프리미엄과 내재가치의 차이입니다. 역시 모든 함숫값이 양수이고, ATM 에서 시간가치가 가장 높아지는 듯 합니다(ATM은 기초자산이 행사가와 동일한 상태를 말합니다.)
○ 좌하 그래프	대부분의 영역에서 풋옵션 프리미엄이 내재가치를 상회하나, Deep ITM 즉, 주가가 많이 떨어진 상황에서는 오히려 내재가치가 프리미엄보다 높습니다.
○ 우하 그래프	시간가치를 그려보니 음수가 되는 부분이 존재하는 걸 확인할 수 있습니다(녹색영역) 또한 ATM에서 시간가치가 가장 높아지는 걸로 확인이 됩니다.

 

 

콜옵션/풋옵션 모두 공교롭게도 ATM 부근 어딘가에서 시간가치를 최대로 갖는 듯한 모양새입니다. ATM이란 기초자산 가격이 행사가인 경우를 말합니다. 조금의 기초자산 움직임에 따라 ITM, OTM이 결정되는 상태를 말하죠.

그러면 정확히 어디서 시간가치를 최대로 가지는지 알아볼까요? 

 

 

옵션 시간가치는 어디서 제일 높을까?

 

콜옵션

콜옵션은 기초자산 $S$가 행사가 $K$보다 작은 영역(OTM)에서는 내재가치가 $0$이고, 행사가보다 큰 영역(ITM)에서는 내재가치가 $S-K$입니다. 따라서

 

1. OTM영역에서 함수 $f(S) = c(t,S) - 0$ 이 증가함수이고,

2. ITM 영역에서 함수 $f(S) = c(t,S) -(S-K)$가 감소함수임

 

을 보이려 합니다. 그러면, 

 

위의 그림같은 해석이 가능하니 행사가 $K$에서 시간가치가 최대라는 것이 증명이 될 것입니다.

 

가장 간단한 방법으로 $S$에 대한 미분을 통해 증감을 따져보기로 하죠. 그러기 위해 우선 식 (1)에서 정의된 콜옵션 프리미엄 $c(t,S)$을 $S$로 편미분한 값

$$ \frac{\partial c}{\partial S}$$

의 값을 알아야 합니다. 먼저, 다음의 보조정리를 증명해보도록 하죠.

 

보조정리

다음의 관계식이 성립한다. $$ Se^{-q\tau} \phi(d_1) = Ke^{-r\tau} \phi(d_2)$$ 여기서 $\phi$는 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf)로 $$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$$ 이다.

(증명) $$ \begin{align} \frac{\phi(d_2)}{\phi(d_1)} &= \exp\left[ -\frac12 (d_2^2-d_1^2)  \right] \\ &= \exp\left[ -\frac12 (-2\sigma\sqrt{\tau}d_1+\sigma^2\tau)  \right] \\ & =\exp\left( \sigma\sqrt{\tau}d_1-\frac12\sigma^2\tau\right) \\ & =\exp\left( \ln(S/K) +(r-q+\frac12\sigma^2)\tau -\frac12\sigma^2\tau\right) \\ & = S/K \cdot e^{(r-q)\tau}\\ & = \frac{Se^{-q\tau}}{Ke^{-r\tau}} \end{align} $$

 

또한 $d_2=d_1-\sigma\sqrt{\tau}$이므로

$$ \frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\partial d_2}{\partial S} $$ 가 성립합니다. 이를 이용하여 다음의 정리를 증명할 수 있습니다.

 

정리

$$ \frac{\partial c}{\partial S} = e^{-q\tau}\Phi(d_1)\tag{3}$$ 가 성립한다.

(증명) $$ \begin{align} \frac{\partial c}{\partial S} & = e^{-q\tau} \Phi(d_1) +Se^{-q\tau}\phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S} -Ke^{-r\tau}\phi(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial S}\\ &=e^{-q\tau}\Phi(d_1) +(Se^{-q\tau}\phi(d_1)-Ke^{-r\tau}\phi(d_2))\frac{\partial d_1}{\partial S}\\ & = e^{-q\tau}\Phi(d_1) \end{align} $$ 마지막 식에서 보조정리가 쓰인다.

나중에 볼 기회가 있겠지만, 식 (3)을 콜옵션 프리미엄 $c(t,S_t)$의 델타(delta)라고 부릅니다. 

어쨌든 논의를 이어나가도록 하겠습니다.

 

 

1. OTM 영역에서 함수 $f(S) = c(t,S)$는 증가함수인가?

 

그렇습니다. 

$$ f'(S) = \frac{\partial c(t,S)}{\partial S} = e^{-q\tau}\Phi(d_1) \geq 0$$

입니다. $\Phi$는 0과 1 사이의 수이기 때문이죠.

 

2. ITM 영역에서 함수 $f(S) = c(t,S)-(S-K)$는 감소함수인가?

 

그렇습니다. 

$$ f'(S) = \frac{\partial c(t,S)}{\partial S} -1 = e^{-q\tau}\Phi(d_1) - 1$$

인데,  $e^{-q\tau}\leq 1$이고 $ 0\leq Phi(d_1)\leq 1$ 이므로 $f'(S)$는 음수가 됩니다.

 

따라서 OTM에서 ITM으로 변하는 순간 즉 $S=K$일 때 시간가치는 최댓값을 가집니다.

 

그럼 풋옵션인 경우는 어떨까요?

 

 

풋옵션

풋옵션은 기초자산 $S$가 행사가 $K$보다 작은 영역(ITM)에서는 내재가치가 $K-S$이고, 행사가보다 큰 영역(OTM)에서는 내재가치가 $0$입니다. 따라서

 

1. OTM영역에서 함수 $f(S) = p(t,S) - 0$ 이 감소함수이고,

2. ITM 영역에서 함수 $f(S) = p(t,S) -(K-S)$가 증가함수임

 

을 보이면 됩니다(콜옵션과 똑같은 이유입니다.) 역시 관심의 대상은

$$ \frac{\partial p(t,S)}{\partial S}$$

입니다. 쉽게 구하는 방법이 있을까요?

 

예전 글 옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..에서 풋콜패리티를 언급한 적이 있었습니다. 해당 글의 수식과 조금 다르지만 아래와 같은 식입니다.

$$c(t,S) +K e^{-r\tau} = p(t,S) + S e^{-q\tau}$$

 

위의 풋콜패리티의 양변을 $S$로 편미분하면

$$ \frac{\partial c(t,S)}{\partial S}  = \frac{\partial p(t,S)}{\partial S} + e^{-q\tau} $$

가 성립하고 따라서

$$  \frac{\partial p(t,S)}{\partial S} = e^{-q\tau}(\Phi(d_1) -1) = -e^{q\tau} \Phi(-d_1)$$

이 성립합니다.

($1-\Phi(x) = \Phi(-x)$의 관계식을 이용했습니다.)

 

이제 결과를 살펴볼까요?

 

1. OTM 영역에서 함수 $f(S) = p(t,S)$는 감소함수인가?

 

그렇습니다. 

$$ f'(S) = \frac{\partial p(t,S)}{\partial S} = -e^{-q\tau}\Phi(-d_1) \leq 0$$

입니다.

 

2. ITM 영역에서 함수 $f(S) = p(t,S)-(K-S)$는 증가함수인가?

 

그렇습니다. 

$$ f'(S) = \frac{\partial p(t,S)}{\partial S} +1 = -e^{-q\tau}\Phi(-d_1) + 1 \geq 0$$

따라서 $f$는 증가함수입니다.

 

따라서 OTM에서 ITM으로 변하는 순간 즉 $S=K$일 때 시간가치는 최댓값을 가집니다.

 

 

바닐라 플레인 옵션은 ATM에서 시간가치가 쩝니다.

 

 

 

뇌섹남의 델타 구하기

 

식(1)에서 콜옵션 프리미엄이 

$$c(t,S_t) = S_t e^{-q\tau} \Phi(d_1) -Ke^{-r\tau}\Phi(d_2)$$

와 같이 주어졌습니다.  일부 뇌섹남들은 $S$에 대한 편미분, 즉 델타를 아래처럼 계산한다 하네요.

 

 

신기하네요.  모로 가도 서울만 가면 되는 법입니다. 기억하긴 편할 것 같습니다.