퀀토 상품 모델링

 

파생상품이란, 말 그래도 기초자산(underlying asset)의 움직임에 연동되는 수익 또는 손실을 제공하는 상품입니다. 파생 비즈니스의 규모가 커지고 다양한 니즈를 만족시키고 매력미 넘치는 파생상품을 만들기 위해 다양한 기초자산을 이용합니다.

우리나라에서 엄청 큰 규모로 발전된 ELS 시장만 보더라도, 국내외  주가지수(KOSPI, NIKKEI, S&P500 등)는 물론, 국내외 주식 종목까지 기초자산으로 섭렵하고 있는 실정이죠.

 

모 증권사에서 청약중인 상품

 

위의 그림은 모 증권사에서 이번주(2023.4.17일) 현재 청약 중인 ELS 공모 상품들입니다. 기초자산을 보면, EuroStoxx50, NIKKEI 225 , S&P500 등 해외 지수가 대부분입니다. KOSPI200 지수도 보이긴 합니다.

움직임 좋고, 실적 좋은 선진국형 지수는 기초자산으로 삼기에 제격입니다. 참고로 ELS 기초자산으로는 보통 국내 지수로는 KOSPI200, 해외지수로는 S&P500, EuroStoxx50, NIKKEI225, HECEI 가 거의 대부분 쓰이는데요, 이제 이것도 식상에서 좋은 기초자산 찾기 움직임이 활발합니다. 유럽 각국의 지수 예컨대 프랑스 지수 CAC 등이나 호주 지수 등 조금은 생경한 지수 찾기에 증권사들이 열심인 모양입니다.

 

그런데, ELS 자체는 원화로 결제되죠. 우리나라 투자자들을 위해 만든 상품이므로 원화 결제가 많습니다.

 

기초자산의 통화와 파생상품 자체의 결제 통화가 다른 경우가 제법 많이 있군요.

 

 

퀀토 상품

이처럼 기초자산의 통화와 파생상품의 통화가 다른 것을 퀀토 상품이라 합니다. 퀀토는 영어로  Quanto이고, 위키피디아에서는 Quantity adjusting option의 줄임말이라고 소개를 하고 있네요.

 

퀀토 상품은, 외국 자산에 투자할 때 당연히 발생하는 환변동 리스크를 고려하지 않은 상품입니다. 

 

가령 어떤 USD 통화 주식을 100 $\$$ 에 사서 120$\$$를 매도했다고 합시다. 이 주식의 수익률은 20% 이죠. 단 달러로 투자했을 때 그렇습니다. 그럼 원화로 투자할 떄는 어떨까요?

주식을 100$\$$ 주고 살 때 환율을 1,300원,  120$\$$에 팔 때 환율을 1,083.3원이라 가정해봅시다. 살 때 13만 원 들었고, 팔아서 챙긴 원화값 역시 120 * 1,083.3 = 13만 원입니다. 환율이 바뀌어 버리니 수익이 신기루처럼 사라지죠.

이런 투자는 퀀토 투자가 아닙니다.

 

퀀토상품은 100 $\$$ 매수, 120$\$$ 매도시 얻는 20% 의 수익률, 파생상품의 수익에 정확히 연동되게 해주는, 어떻게 생각하면 환율의 변화로부터 자유로운 상품입니다.

 

위 그림의 첫번째 조기 상환 배리어가 90%인 경우, 기초자산인 Euro, Nikkei, S&P500  각각의 통화로 10% 이상만 하락하지 않으면 조기상환되며, 4% 쿠폰을 주는 상품입니다. 즉 S&P500이 100$\$ $에서 시작한 게 6개월 뒤 90$\$$ 이상이면 조기상환 찬스가 되는 겁니다. 환율이 1,300원이던게 6개월 뒤 1,000원이 되었다 해서 13만 원(1,300원 × 100$\$$)이 9만 원(1,000원 × 90$\$$)이 됐네, 9/13=69.2% 이므로 조기상환이 안되네? 이게 아니라는 것이죠.

즉 퀀토는 환율이 고정되어 있다고 생각하는 겁니다.

 

하지만, 퀀토 파생상품 역시 기초자산을 사고 팔아 수익률을 복제하는 헤지(hedge)의 과정을 거치므로, 환율의 개념이 반드시 필요한 상황입니다. 하지만 환율은 고정되어 있는 것으로 간주된다고 설명드렸군요.

과연 퀀토 상품의 평가는 어떻게 할까요?

 

우선 퀀토 상품의 기초자산 모델링을 살펴봅시다. 퀀토 상품이 아닌 자국 기초자산에 대한 자국 결제 파생상품의 모델링 때 쓰이는 GBM 모델은 

$$ dS_t/S_t = r_d dt + \sigma dW_t$$

입니다. $r_d$는 무위험 이자율로서, 자국(domestic) 무위험 이자율임을 강조하기 위해 첨자를 붙였습니다.

과연 이 모델이 어떻게 조정될까요?

 

 

 

퀀토 모델링(직관적인 방법)

 

외국 통화 기반의 기초자산 $S_t$의 dynamics를 

$$ dS_t/S_t = \mu_S dt +\sigma_S dW_t$$

라고 합시다. 위험중립측도하에서 $\mu_S$를 알아내는 것이 우리의 목적입니다.

 

외국통화 1 unit 당 자국통화의 가치, 즉 환율을 $X_t$라 한다면, 저번 글 환율은 어떻게 모델링 하나?

에 따라 $X_t$의 dynamics는
$$ dX_t/X_t = (r_d-r_f)dt+\sigma_X dZ_t$$

입니다.  $W_t, Z_t$는 위너프로세스로서,

$$ dW_t \cdot dZ_t =\rho dt,$$

즉 $S_t$와 $X_t$ 수익률의 상관계수가 $\rho$라고 가정합니다. 이제 $S_t$를 자국통화로 변환한 값 $X_tS_t$의 dynamics를 구해보겠습니다. 라이프니츠 룰(여기)에 의하면

$$
\begin{align}
d(X_tS_t) &= X_t dS_t + dX_t S_t + dX_t dS_t\\
            & = X_t S_t ( \mu_S dt +\sigma_S dW_t + (r_d-r_f) dt +\sigma_X dZ_t + \rho dt)\\
           & = X_t S_t ( (\mu_S +r_d-r_f+\rho\sigma_S \sigma_X ) dt + \sigma_S dW_t + \sigma_X dZ_t)
\end{align}
$$
입니다. 이제 $X_tS_t$의 기댓값을 구하면(아래 더보기 참조)

 

기댓값을 구하기 위해 $dX_t/X_t = \mu dt +\sigma dW_t$ 인 GBM 모델에서, $\mathbbe{E}(X_t) = X_0 e^{\mu t}$ 임을 기억하고 계시기 바랍니다.

$$\mathbb{E}(X_tS_t) = X_0S_0 \exp( (\mu_S +r_d-r_f+\rho\sigma_S\sigma_X )t)$$
이고 위험중립측도 하에서 수익률은 $e^{(r_d-q)t}$가 나와야 하므로  $\mu_S +r_d-r_f+\rho\sigma_S\sigma_X = r_d-q$ 즉,
$$ \mu_S = r_f - q- \rho\sigma_S\sigma_X $$
이 됩니다.

따라서 $S_t$의 dynamics는
  $$ dS_t/S_t = ( r_f - q- \rho\sigma_S\sigma_X) dt +\sigma_S dW_t$$
입니다. 

이 방법은 직관적이고 간단한 방법입니다. 이제 아래 정석적인 방법을 보겠습니다.

 

 

 

퀀토 모델링 (정석적인 방법)

콴토 파생상품의 가치를 $F(t,S_t,X_t)$ 라 합시다. 여기서 $S_t$는 외국통화 기초자산,  $X_t$는 외국돈 1unit가 자국통화로 얼마인지를 나타내는 환율이라고 해보죠(쉬운 예로 $S_t$는 S&P500, $X_t$는 USDKRW 환율을 뜻합니다.)

 

1. 포트폴리오의 정의

시점 $t$에서의 포트폴리오 $\pi_t$를 다음과 같이 정의합시다. 이래를 돕기 위해 자국통화는 원화, 외국통화는 달러로 얘기할게요.

$$ \pi_t = f(t,S_t,X_t) + a X_tS_t +b X_t \tag{1}$$
즉,  원화 파생상품 1 unit과 기초자산 $a$개, 그리고 $b$ 달러만큼의 현금을 가지고 포트폴리오를 구성합니다.

$X_t, S_t$는 GBM 을 따르고 각각
$$ dX_t/X_t = \mu_X dt + \sigma_X dW_t~,~ dS_t/S_t = \mu_S dt +\sigma_S dZ_t ~~,~~dW_t \cdot dZ_t = \rho dt$$을 가정합시다.

2. 짧은 시간 $dt$ 동안 각 항의 증분 계산

포트폴리오 $\pi_t$의 짧은 시간 동안의 가치 변화 $d\pi_t$를 구하기 위해 식(1)의 오른쪽 식의 세 항의 각각 증분을 내보죠.

1) $f(t,S_t,X_t)$ 의 증분 구하기
$$df = f_t dt + f_S dS + f_X dX +\frac12 f_{SS} dS^2 + \frac12 f_{XX}dX^2 + f_{SX} dX dS $$
입니다(편의상 $\frac{\partial f}{\partial t} (t,S_t) = f_t$, 이런 식으로 축약해서 썼습니다.)

2) $a X_tS_t$ 의 증분 구하기

라이프니츠 룰에 의해
$$d(a X_tS_t) =a X dS + a S dX + a dS\cdot dX $$

3) $ b X_t$의 증분 구하기
$$b dX + r_f b X_t dt$$ 입니다. $r_f b X_t$가 생겨나는 이유는 $b$ 달러의 현금이 이자율 만큼 자산 증식을 하기 때문이죠. 이 이자율은 달러의 무위험 이자율, 즉 외국 무위험 이자율인 $r_f$입니다.

Deterministic part	$ A:= f_t dt + \frac12 f_{SS} dS^2 + \frac12 f_{XX}dX^2 + f_{SX} dX dS + a dS\cdot dX + r_f b X_t dt $
Stochastic part	$ B:=  f_S dS + f_X dX + a X \cdot dS + a S \cdot dX + b \cdot dX  $

$A$에 이토 렘마를 적용하면
$$A= \left( f_t + \frac12 \sigma_S^2S^2 f_{SS}  +\frac12 \sigma_X^2X^2 f_{XX}  +  \rho \sigma_S\sigma_X SX f_{SX} +a\rho\sigma_S\sigma_X SX + r_f b X \right) dt \tag{2} $$

 

입니다.

 

3. 포트폴리오의 위험 제거(risk free)

위의 식에서, $$ d\pi_t = A + B \tag{3}$$이고 이것의 이 식에서 확률적인 부분은 $B$이므로 여기서 리스크가 발생합니다. 따라서 위험이 없는 포트폴리오 구축을 위해 $B=0$이 되어야 합니다. $B$는

$$ B = (f_S + aX)dS + (f_X +aS+b)dX$$

이므로

$$ a = - \frac1{X_t} f_S~~,~~ b= -f_X - aS = -f_X +\frac{S_t}{X_t} f_S \tag{4}$$

이라 놓으면 $B$는 제거됩니다.

 

식 (2)에 식(4)를 대입하면 
$$ A=  \left( f_t + \frac12 \sigma_S^2S^2 f_{SS}  +\frac12\sigma_X^2X^2 f_{XX}  + \rho \sigma_S\sigma_X SX f_{SX} -  \rho\sigma_S\sigma_X S f_S - r_f f_X X +  r_f S f_S \right)dt \tag{5}  $$

를 얻죠.

 

4. 가만 보니 $f$는 $X_t$와 상관없는 상품! 퀀토!

이 부분에서 식이 한껏 간결해집니다. 지금 우리가 다루는 파생상품은 퀀토상품으로써 환율에 관계없습니다. 논리적으로는 마치 관련 있는 것처럼 세팅하고 전개하였지만요. 따라서 식(5)에 있는 항 중, $X$와 관련된 모든 식은 의미가 없습니다. 즉,

$$ A=  \left( f_t + \frac12 \sigma_S^2S^2 f_{SS}  -  \rho\sigma_S\sigma_X S f_S  +  r_f S f_S \right)dt \tag{6}  $$

입니다.

나는 환율과 상관없는데, 헤지 입장에서는 환율은 필수다라고 말하는 콴토 파생상품

 

5. 차익거래 기회 존재 없음(Arbitrage Free) : $d \pi_t = r_d \pi_t dt$

앞선 논리 전개에서 무위험 포트폴리오 $\pi_t$를 얻었고 이 포트폴리오는 원화 상품이므로 딱 $r_d$만큼의 수익률을 보여야 합니다($r_d$는 원화 무위험 이자율) 따라서

$$ d\pi_t = r_d \pi_t dt$$ 가 성립하고 식 (1), (3), (6)을 묶으면

 

$$ 
\begin{align}
\left( f_t + \frac12 \sigma_S^2S^2 f_{SS}  -  \rho\sigma_S\sigma_X S f_S  +  r_f S f_S \right)dt &= r_d(f+ a X\cdot S +b X)dt\\
&= r_d (f -S f_S +S f_S) dt\\
& = r_d f dt
\end{align}
$$

입니다($b$에 있는 $f_X$도 의미가 없는 항임을 이용)

위 식의 양변에 붙어 있는 $dt$를 제거하고 보면

 

$$ f_t +(r_f - \rho\sigma_S\sigma_X) S f_S + \frac12 \sigma_S^2S^2 f_{SS} - r_d f =0$$

을 얻습니다. 이제

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

에서 다루었던 마팅게일 성질을 이용할 수 있습니다. 결론적으로

 

$$ dS_t / S_t = (r_f -\rho\sigma_S\sigma_X) dt + \sigma_S dW_t \tag{7}$$

의 프로세스라 정의한다면,

 

$$ \frac{f(t,S_t)}{e^{r_d t}}$$는 마팅게일이 되고, 이로 인해

$$ f(0,S_0) = e^{-r_d T} \mathbb{E}(f(T,S_T))$$

라는 식을 얻게 됩니다. 즉 식 (7)이 위험중립측도하에서 $S_t$의 dynamics가 되는 것입니다.