환율은 어떻게 모델링 하나?

 

이번 글은 

2022.06.27 - [금융공학] - GBM 은 어떤 모델일까?

GBM 은 어떤 모델일까?

와

2022.07.20 - [금융공학] - GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기

GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기

에서 아이디어를 얻어, 환율을 모델링할 때, 어떤 식으로 모델을 세워야 하는가를 알아보는 글입니다. 우선 주가 모델이었던 GBM 모델을 잠깐 복습해 보죠.

 

 

주가 GBM 모델

실제 시장을 바탕으로 한 확률 공간(physical measure)에서 주가 모델을 GBM(Geometric Brownian Motion)으로 정의하는 것이 제일 유명하고 간단한 모델이라고 했습니다.

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t  \tag{1}$$

 

여기서, 좌변은 극히 짧은 시간 $dt$ 동안의 (일반) 수익률의 변화를 뜻합니다. 우변의 $\mu$는 이 수익률의 기댓값, $\sigma$는 변동성으로서, 표준편차와 관련이 있다고 했습니다.

또한 $W_t$는 위너 프로세스(Wiener Process)로서 

$$ W_t \sim \mathcal{N}(0,\sqrt{t}^2)$$

를 뜻하는 프로세스입니다. 종합해 보면, 식(1)의 뜻은

 

극히 짧은 시간 $dt$ 동안의 주가 수익률은 기댓값이 $\mu dt$이고 표준편차가 $\sigma\sqrt{dt}$인 정규분포를 따르는 모델링 

 

이라 생각할 수 있겠습니다. 

 

그런데, 위의 분석은 실제 시장에서 정의한 모델링입니다. 금융공학세계에서는 $\mu$는 무위험 이자율일 수밖에 없죠. $\mu$와 무위험이자율의 값이 다르다면, 어떻게든 차익의 기회, 즉, free lunch가 발생하게 됩니다. 또한, 이를 수학적으로 보장해 준 이론은 이전 글( 확률측도를 바꿉시다: Girsanov Theorem) 에서 다룬 바 있습니다. 확률측도를 적절히 바꾸어 $\mu$를 무위험 이자율 $r$로 바꿀 수 있는데, 이렇게 바뀌어진 측도를 바로 위험 중립 측도(risk neutral measure)라 했습니다. 위험 측도를 보통 $\mathbb{Q}$라 쓰는데 위의 식(1)은 $\mathbb{Q}$하에서

$$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}  \tag{2}$$

라 쓸 수 있습니다. 위너 프로세스 위의 위첨자가 $\mathbb{Q}$인 것은, 

$W_t$가 $\mathbb{Q}$ 확률 측도 하에서 위너 프로세스

 

라는 뜻입니다. 여기서 한 걸음 더 나아가 연속배당률에 관련된 글(GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기 )을 보시면 식(2)은

$$ \frac{dS_t}{S_t} = (r-q) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}  \tag{3}$$

처럼 쓰입니다. 여기서 $q$는 연속 배당률입니다. 

즉, 주식을 소유하고 있으면 어찌 됐든 연속배당률이 수익으로 들어오기에, 기댓값이 연속배당률만큼 줄어든 $r-q$가 되는 것으로 이해하는 것이죠.

 

 

 

 

환율 모델링은?

환율도 주가랑 비슷하다고 볼 수 있습니다. 주가가 (좋은 말로 해서) 기업의 가치를 돈 주고 사는 것처럼, 환율도 다른 나라의 돈을 우리나라 돈으로 사는 것이죠.

 

이 글을 쓰는 현재,  1 달러($) 환율이 1,318원입니다. 1달러를 사려면 1,318원이 필요하다는 얘기죠. 

이런 면에서 봤을 때, 환율 역시 주식을 돈 주고 사는 것처럼 생각할 수도 있고 따라서 환율 역시 GBM을 모델로 만들어 낼 수 있습니다.

 

환율을 $X_t$ 라 해보겠습니다 ($X_t$를 $t$시점의 1$의 원화값으로 생각하는 겁니다.) 그러면 위험 중립하에서 식(3)과 같이

$$ \frac{dX_t}{X_t} = (r-q)dt + \sigma_X dW_t , \tag{4}$$

라 쓸 수 있습니다. $\sigma_X$는 환율의 변동성이고, $r$은 무위험 이자율, $q$는 (굳이 표현하자면) 1$에서 기대할 수 있는 연속배당률입니다. 

 

한 가지 확실히 해둘까요? $r$은 어느 나라의 무위험 이자율일까요? 당연히 달러를 원화로 사는 가정이므로 원화, 즉, 우리나라의 무위험 이자율입니다.  따라서 국내(domestic) 무위험 이자율이라는 뜻으로 $r$ 대신 $r_d$를 씁시다.

 

그럼 연속배당률 $q$는 뭘까요? 1$ 에서 기대되는 배당률입니다. 돈의 배당률이라.. 표현은 어색하지만, 딱 떠오르는 게 있지 않나요?

돈의 배당률은 바로, 그 돈에서 창출되는 이자로서, 연속 배당률은 연속 이자율에 대응됩니다. 달러에 대한 이자율이므로 $q$는 달러에 대한 무위험 이자율로 생각할 수 있고, 외국(foreign) 돈의 이자율이라는 뜻에서 $q:=r_f$라 쓰겠습니다.

 

위 두 설명을 토대로 식(4)을 상황에 맞게 써 보면,

$$ \frac{dX_t}{X_t} = (r_d- r_f)dt + \sigma_X dW_t , \tag{5}$$

 

라 쓸 수 있습니다. 여기서 $r_d$는 자국의 무위험 이자율, $r_f$는 외국의 무위험 이자율, $X_t$는 환율로서 외국의 1 unit 돈이 자국 통화 얼마의 가치인가를 나타내주는 값입니다. 쉽게 기억하려면

$r_d$는 우리나라의 국채금리, $r_f$는 USD Treasury Bond의 금리, $X_t$는 USDKRW 값이라 기억하면 됩니다.

 

어찌 됐든, 돈의 배당률이라는 표현이 재밌긴 하지만, 돈의 배당률은 바로 그 돈에서 창출되는 이자로 볼 수 있기 때문에 이자율에 대응된다는 것을 이해해 주시기 바랍니다.

 

 

 수학적인 접근

 

위의 접근은 약간은 직관에 의한 접근이었습니다. 무위험 자산에 투자한 1$ 를 생각해 봅시다. 그리고 이것이 $ 기반 무위험 이자율 $r_f$로 자산 증식이 된다고 하면, 이 프로세스는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$ dB_t = r_f B_t dt ~,~ B_0 = 1 \$ \tag{6}$$

 이런 자산을 Bank Account라 하는데, 마치 은행에 안전하게 예금을 맡겼다는 뜻으로 쓰이는 용어이죠. 식 (6)을 풀면

$$ B_t = \exp\left(r_f t \right)$$

입니다. 연속복리의 개념입니다. 

이제 여기에 환율 프로세스 $X_t$를 곱해서 우리나라 돈으로 만듭시다. 즉

$$Y_t := B_t X_t$$

는 원화로 환전된 돈입니다. 그리고 $X_t$ 를 GBM 모델로 가정해 보죠. 즉, 

$$ dX_t/X_t = \mu_X dt +\sigma_X dW_t$$

라 합시다.  그러면

$$
\begin{align}
dY_t & = d(B_t X_t) \\
      & = dB_t X_t + B_t dX_t + dB_t dX_t\\
      & = r_f B_t X_t + B_t X_t (\mu_X dt + \sigma_X dW_t) + r_fB_t dt dX_t \\
     & = B_t X_t \left( (r_f +\mu_X) dt + \sigma_X dW_t \right) \\
     & = Y_t \left( (r_f +\mu_X) dt + \sigma_X dW_t \right) 
   
\end{align}
$$

이 성립합니다. 세 번째 등식의 마지막 항 $dt dX_t$는 사라지는데, 이것은 예전 글 주식의 수학적 모델#2

을 참고하시기 바랍니다. 간단히 설명하면, $dW_t \approx \sqrt{dt}$와 $dt$ 의 1초과 승은 모두 0이라는 사실 때문입니다.

 

결국 $Y_t$도 GBM 형태의 모양이 나오고 이것의 기댓값을 취하면

$$\mathbb{E}(Y_t) = Y_0 e^{(r_f+\mu_X)t} \tag{7}$$

가 나옵니다.

(이것에 대한 자세한 내용은 Black Scholes Equation의 풀이: 델타원 상품을 참고하시기 바랍니다. 요지는 $dS_t = S_t(\mu dt+\sigma dW_t)$라는 프로세스에 대해, $\mathbb{E}(S_t) = S_0 e^{\mu t}$라는 사실입니다.)

 

 

식 (7)의 $Y_t$는 우리나라 돈이죠? 따라서 자국 무위험 이자율 $r_d$ 만큼의 자산 증식이 일어납니다. 즉!

$$r_f +\mu_X = r_d$$

라는 이야기입니다.

 

따라서 $$\mu_X = r_d -r_f$$ 이고

$$ dX_t/X_t = (r_d-r_f)dt +\sigma_X dW_t$$

를 얻는 것입니다.

 

 

 

결론

뭐니 뭐니 해도 어떤 수학적 결과는 직관적으로 기억하는 것이 좋습니다.  외국 돈 달러의 배당률을 $r_f$라 간주하고, 우리가 익히 알고 있는 연속배당률 GBM에 대입하면 환율 GBM 프로세스를 쉽게 기억할 수 있을 것 같네요.