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GBM 은 어떤 모델일까?
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2022.07.20 - [금융공학] - GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기
GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기
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에서 아이디어를 얻어, 환율을 모델링할 때, 어떤 식으로 모델을 세워야 하는가를 알아보는 글입니다. 우선 주가 모델이었던 GBM 모델을 잠깐 복습해 보죠.
주가 GBM 모델
실제 시장을 바탕으로 한 확률 공간(physical measure)에서 주가 모델을 GBM(Geometric Brownian Motion)으로 정의하는 것이 제일 유명하고 간단한 모델이라고 했습니다.
dStSt=μdt+σdWt
여기서, 좌변은 극히 짧은 시간 dt 동안의 (일반) 수익률의 변화를 뜻합니다. 우변의 μ는 이 수익률의 기댓값, σ는 변동성으로서, 표준편차와 관련이 있다고 했습니다.
또한 Wt는 위너 프로세스(Wiener Process)로서
Wt∼N(0,√t2)
를 뜻하는 프로세스입니다. 종합해 보면, 식(1)의 뜻은
극히 짧은 시간 dt 동안의 주가 수익률은 기댓값이 μdt이고 표준편차가 σ√dt인 정규분포를 따르는 모델링
이라 생각할 수 있겠습니다.
그런데, 위의 분석은 실제 시장에서 정의한 모델링입니다. 금융공학세계에서는 μ는 무위험 이자율일 수밖에 없죠. μ와 무위험이자율의 값이 다르다면, 어떻게든 차익의 기회, 즉, free lunch가 발생하게 됩니다. 또한, 이를 수학적으로 보장해 준 이론은 이전 글( 확률측도를 바꿉시다: Girsanov Theorem) 에서 다룬 바 있습니다. 확률측도를 적절히 바꾸어 μ를 무위험 이자율 r로 바꿀 수 있는데, 이렇게 바뀌어진 측도를 바로 위험 중립 측도(risk neutral measure)라 했습니다. 위험 측도를 보통 Q라 쓰는데 위의 식(1)은 Q하에서
dStSt=rdt+σdWQt
라 쓸 수 있습니다. 위너 프로세스 위의 위첨자가 Q인 것은,
Wt가 Q 확률 측도 하에서 위너 프로세스
라는 뜻입니다. 여기서 한 걸음 더 나아가 연속배당률에 관련된 글(GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기 )을 보시면 식(2)은
dStSt=(r−q)dt+σdWQt
처럼 쓰입니다. 여기서 q는 연속 배당률입니다.
즉, 주식을 소유하고 있으면 어찌 됐든 연속배당률이 수익으로 들어오기에, 기댓값이 연속배당률만큼 줄어든 r−q가 되는 것으로 이해하는 것이죠.
환율 모델링은?
환율도 주가랑 비슷하다고 볼 수 있습니다. 주가가 (좋은 말로 해서) 기업의 가치를 돈 주고 사는 것처럼, 환율도 다른 나라의 돈을 우리나라 돈으로 사는 것이죠.
이 글을 쓰는 현재, 1 달러($) 환율이 1,318원입니다. 1달러를 사려면 1,318원이 필요하다는 얘기죠.
이런 면에서 봤을 때, 환율 역시 주식을 돈 주고 사는 것처럼 생각할 수도 있고 따라서 환율 역시 GBM을 모델로 만들어 낼 수 있습니다.
환율을 Xt 라 해보겠습니다 (Xt를 t시점의 1$의 원화값으로 생각하는 겁니다.) 그러면 위험 중립하에서 식(3)과 같이
dXtXt=(r−q)dt+σXdWt,
라 쓸 수 있습니다. σX는 환율의 변동성이고, r은 무위험 이자율, q는 (굳이 표현하자면) 1$에서 기대할 수 있는 연속배당률입니다.
한 가지 확실히 해둘까요? r은 어느 나라의 무위험 이자율일까요? 당연히 달러를 원화로 사는 가정이므로 원화, 즉, 우리나라의 무위험 이자율입니다. 따라서 국내(domestic) 무위험 이자율이라는 뜻으로 r 대신 rd를 씁시다.
그럼 연속배당률 q는 뭘까요? 1$ 에서 기대되는 배당률입니다. 돈의 배당률이라.. 표현은 어색하지만, 딱 떠오르는 게 있지 않나요?
돈의 배당률은 바로, 그 돈에서 창출되는 이자로서, 연속 배당률은 연속 이자율에 대응됩니다. 달러에 대한 이자율이므로 q는 달러에 대한 무위험 이자율로 생각할 수 있고, 외국(foreign) 돈의 이자율이라는 뜻에서 q:=rf라 쓰겠습니다.
위 두 설명을 토대로 식(4)을 상황에 맞게 써 보면,
dXtXt=(rd−rf)dt+σXdWt,
라 쓸 수 있습니다. 여기서 rd는 자국의 무위험 이자율, rf는 외국의 무위험 이자율, Xt는 환율로서 외국의 1 unit 돈이 자국 통화 얼마의 가치인가를 나타내주는 값입니다. 쉽게 기억하려면
rd는 우리나라의 국채금리, rf는 USD Treasury Bond의 금리, Xt는 USDKRW 값이라 기억하면 됩니다.
어찌 됐든, 돈의 배당률이라는 표현이 재밌긴 하지만, 돈의 배당률은 바로 그 돈에서 창출되는 이자로 볼 수 있기 때문에 이자율에 대응된다는 것을 이해해 주시기 바랍니다.
수학적인 접근
위의 접근은 약간은 직관에 의한 접근이었습니다. 무위험 자산에 투자한 1를생각해봅시다.그리고이것이 기반 무위험 이자율 rf로 자산 증식이 된다고 하면, 이 프로세스는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
dBt=rfBtdt , B0=1$
이런 자산을 Bank Account라 하는데, 마치 은행에 안전하게 예금을 맡겼다는 뜻으로 쓰이는 용어이죠. 식 (6)을 풀면
Bt=exp(rft)
입니다. 연속복리의 개념입니다.
이제 여기에 환율 프로세스 Xt를 곱해서 우리나라 돈으로 만듭시다. 즉
Yt:=BtXt
는 원화로 환전된 돈입니다. 그리고 Xt 를 GBM 모델로 가정해 보죠. 즉,
dXt/Xt=μXdt+σXdWt
라 합시다. 그러면
dYt=d(BtXt)=dBtXt+BtdXt+dBtdXt=rfBtXt+BtXt(μXdt+σXdWt)+rfBtdtdXt=BtXt((rf+μX)dt+σXdWt)=Yt((rf+μX)dt+σXdWt)
이 성립합니다. 세 번째 등식의 마지막 항 dtdXt는 사라지는데, 이것은 예전 글 주식의 수학적 모델#2
을 참고하시기 바랍니다. 간단히 설명하면, dWt≈√dt와 dt 의 1초과 승은 모두 0이라는 사실 때문입니다.
결국 Yt도 GBM 형태의 모양이 나오고 이것의 기댓값을 취하면
E(Yt)=Y0e(rf+μX)t
가 나옵니다.
(이것에 대한 자세한 내용은 Black Scholes Equation의 풀이: 델타원 상품을 참고하시기 바랍니다. 요지는 dSt=St(μdt+σdWt)라는 프로세스에 대해, E(St)=S0eμt라는 사실입니다.)
식 (7)의 Yt는 우리나라 돈이죠? 따라서 자국 무위험 이자율 rd 만큼의 자산 증식이 일어납니다. 즉!
rf+μX=rd
라는 이야기입니다.
따라서 μX=rd−rf 이고
dXt/Xt=(rd−rf)dt+σXdWt
를 얻는 것입니다.
결론
뭐니 뭐니 해도 어떤 수학적 결과는 직관적으로 기억하는 것이 좋습니다. 외국 돈 달러의 배당률을 rf라 간주하고, 우리가 익히 알고 있는 연속배당률 GBM에 대입하면 환율 GBM 프로세스를 쉽게 기억할 수 있을 것 같네요.
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