Black Scholes Equation의 풀이: 델타원 상품

이번 글은

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

를 이용하여

 

2022.08.04 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이에서 다루었던 예제를 풀어보겠습니다.

저번 글에서 다뤘던 내용을 복습해 볼까요?

 

복습

Feynman-Kac Formula

편미분 방정식
$$ f_t(t,S_t) + (r-d) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0$$
의 해는
$$ f(t, S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T) |\mathcal{F_t} ) \tag{1}$$
이다. 여기서 $S_t$는
$$ dS_t/S_t = (r-d) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$의 dynamics를 따른다. 

특히 현재 시점 $t=0$에서는
$$ f(0,S_0 ) = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T))$$
이다.

 

연습문제

 

2022.08.04 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이

Black Scholes Equation의 풀이

위 글에서 다루었던, 만기시점 payoff가 

$$ F(T,S_T) =S_T$$

로 주어지는 상품의 파생상품의 가격을 계산해 봅시다.  위 글에서는

$$F(t,S_t) = S_t e^{-d(T-t)}$$

라고 아주 어렵고 복잡한 수식으로 결론을 냈었죠.  식(1)을 써서 어떻게 구할 수 있는지 한번 알아보겠습니다.

 

지금까지 많이 다뤄온 내용이지만, GBM 모델

$$ dS_t/S_t = (r-d)dt + \sigma dW_t$$

에 대해서 Ito 보조 정리부터 시작하여 접근하겠습니다.

 

$$ d\ln(S_t) =\frac1{S_t} dS_t -\frac1{2S_t^2} dS_t^2 = \left(r-d-\frac12\sigma^2\right) dt +\sigma dW_t$$

이므로 양변을 $t$에서 $T$까지 적분하면

 

$$ \int_t^T d\ln(S_u) = \int_t^T \left(r-d-\frac12\sigma^2\right) du +\sigma dW_u $$
이고 따라서
$$\ln (S_T/S_t) = \left(r-d-\frac12\sigma^2\right) (T-t) + \sigma (W_T-W_t) $$
입니다. 따라서

$$ S_T = S_t \exp \left( \left(r-d-\frac12\sigma^2\right) (T-t) + \sigma (W_T-W_t) \right) $$
입니다. 

 

식(1)에 따르면

$$\begin{align}
F(t,S_t)    &= e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(S_T | \mathcal{F_t}\right) \\
&= e^{-r(T-t)}  S_t \exp \left( \left(r-d-\frac12\sigma^2\right) (T-t)\right) \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(e^{\sigma (W_T-W_t)}|\mathcal{F_t}\right)\\
& = S_t e^{-(d+\frac12\sigma^2)(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(e^{\sigma (W_T-W_t)}|\mathcal{F_t}\right)\\
& =  S_t e^{-(d+\frac12\sigma^2)(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(e^{\sigma (W_T-W_t)}\right)\tag{2}\\
\end{align}$$

 

마지막 줄에 $\mathcal{F_t}$가 사라진 것은 $W_T-W_t$와 $\mathcal{F_t}$가 독립이기 때문입니다.

 

그럼 이제 

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(e^{\sigma (W_T-W_t)}\right)$$

를 구하는데 집중해 봅시다. 우선 다음의 사실이 쓰입니다.

 

Fact.
확률변수 $X$가 $X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)$이면, $\mathbb{E}(X)=\exp\left(\mu+\frac12\sigma^2\right)$
(2022.06.20 - [수학의 재미/확률분포] - Log Normal Distribution 를 참조)

이 Fact에 따르면

$$ e^{\sigma (W_T-W_t)} \sim \mathcal{LN}(0,\sigma^2(T-t))$$

이므로

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(e^{\sigma (W_T-W_t)}\right)= \exp\left(\frac12\sigma^2(T-t)\right)\tag{3}$$

입니다. 식(2), (3)을 결합하면,

$$ F(t,S_t)   = S_t e^{-d(T-t)}$$

를 얻습니다.

어떤가요? 저번 글에서 Heat Equation으로 바꿔서 어렵게 어렵게 풀던 그 과정 없이 깔끔하게 나오죠? 

이와 같이 Feynman-Kac Formula는 파생상품의 가치 결정을 하는 데 있어서 굉장히 유용한 식입니다. 

 

다음 글에서는 이걸 가지고 또 다른 방법의 풀이를 알아보겠습니다.