Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

이번 글은

2022.08.04 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이

Black Scholes Equation의 풀이

에서 이어집니다. 저번 글에서는 Black Scholes Equationn을 heat equation으로 바꾸어 문제를 해결하는 법을 소개했습니다.

 

하지만 계산이 너무나 복잡했지요. 이 글에서는 Black Scholes Equation을 어떤 확률 process와 결합하여 멋진 식을 유도해 볼 생각입니다. 우선 복습을 좀 해봅시다.

 

복습

 

Black Scholes Equation

• $S_t$: 파생상품의 기초자산 process
• 기초자산의 process는 GBM 모델 : $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}$
• 기초자산의 변동성: $\sigma$
• 기초자산의 연속 배당률: $d$
• 무위험 이자율 : $r$

이라 할 때, 만기 $T$에서 수익 구조 $V(S_T)$를 가지는 파생상품의 가치 $F(t,S_t)$는 

$$f_t(t,S_t)  + (r-d) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0\tag{BS}$$

로 주어진다고 했습니다. 저번 글에서 만기조건을 $F(T,S)=V(S)$라 썼는데, 이 표현은 우선 생략하는 걸로 할게요.

 

 

위험중립측도(risk neutral measure)하에서 GBM

예전 글에서 위험중립측도 하에서 GBM을 다룬 적이 있습니다.

 

2022.07.18 - [금융공학] - 위험중립측도와 market price of risk

위험중립측도와 market price of risk

 

위의 글과 다음의 글

2022.07.20 - [금융공학] - GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기

GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기

을 참고하면 파생상품의 기초자산 $S_t$의 위험중립측도 $\mathbb{Q}$하에서의 GBM 은 다음과 같습니다.

$$\frac{dS_t}{S_t} = (r-d) dt + \sigma dW_t$$

(엄밀히 쓰려면 위너프로세스를 $W_t^{\mathbb{Q}}$로 써야 하지만 금융공학 세계에서는 거의 모든 경우 위험중립측도를 가정하므로 첨자를 생략합니다.)

 

 

새로운 process $M_t$ 구성

위의 복습한 두 내용을 사용하기 전에, 우선 어떤 process $M_t$를

$$M_t = e^{-rt} f(t,S_t)$$

라 정의하겠습니다.

2022.06.21 - [수학의 재미/아름다운 이론] - Ito의 보조정리 글의 라이프니츠 곱셈 법칙에 따라 $M_t$의 dynamics를 구해보죠.

 

$$\begin{align} dM_t      & = d(e^{-rt} f(t,S_t))\\ & = d(e^{-rt}) f(t,S_t) + e^{-rt} df(t,S_t) + d(e^{-rt})df(t,S_t) \\ & = -re^{-rt} f + e^{-rt} df \\ & = -re^{-rt} f + e^{-rt} ( f_t dt+ f_S dS + \frac12 f_{SS} dS^2) \\ & = -re^{-rt} f + e^{-rt} \left( f_t dt+ f_S ((r-d)S_t dt + \sigma dW_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}dt\right) \\ & = e^{-rt} \left( f_t +(r-d)S_t f_S +\frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS} -rf \right)dt + \sigma e^{-rt} dW_t \\ & = \sigma e^{-rt} dW_t \\ \end{align}$$

 

마지막 등식의 $dt$ 항은 이미 Black Scholes Equation을 만족하고 있기 때문에 0이 되는 겁니다(이 부분이 제일 중요!)

 

어떤 process의 dynamics을 계산했는데 $dt$항이 없습니다. 우리 이런 내용을 전에 다룬 적이 있었죠. 바로 마팅게일 프로세스입니다. 해당 내용은

2022.06.24 - [수학의 재미/확률분포] - 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)

마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)

을 참고하시면 됩니다.

 

 

$M_t$는 마팅게일!

$dM_t$의 $dt$ 항 즉, drift 항이 0이므로, $M_t$는 마팅게일 프로세스입니다. 따라서 시점 $t , T (t<T)$에 대해

$$M_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} (M_T | \mathcal{F}_t)$$

가 성립합니다. 여기서 $\{\mathcal{F}_t\}$는 $t$ 시점까지 쌓인 정보량, 즉 filtration입니다. 자세히 말해 지금 논의되는 내용은 모두 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F_t}, \mathbb{Q})$에서 이루어지고 있습니다.

 

이제 $M_t$를 복원시켜 보죠. $M_t = e^{-rt} f(t,S_t)$ 이므로

$$\frac{f(t,S_t)}{e^{rt}} = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left( \frac{f(T,S_T)}{e^{rT}} {\huge|} \mathcal{F}_t \right)\tag{1}$$

를 만족합니다.

 

이 글에 따르면 식(1)의 분모에 위치한 $e^{rt}$를 numeraire라고 부른다는 점, 참고하시기 바랍니다.

 

 

결론

이제, 식(1)을 더욱더 정리하면 다음의 결과를 얻습니다.

Feynman-Kac Formula

편미분 방정식
$$f_t(t,S_t) + (r-d) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0$$
의 해는
$$f(t, S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T) |\mathcal{F_t} )$$
이다. 여기서 $S_t$는
$$dS_t/S_t = (r-d) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$ 의 dynamics를 따른다. 

특히 현재 시점 $t=0$에서는
$$f(0,S_0 ) = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T)) \tag{MAIN}$$
이다.

어떤가요. 식 (MAIN)이 너무 아름답게 느껴지지 않는지요.  이것을 말로 설명하면 이렇습니다.

 

1. 만기 때 주가 $S_T$가 어떻게 끝날지는 모르겠지만, 이것에 따라 만기 payoff $F(T,S_T)$가 결정될 것이고
2. $F(T,S_T)$ 들의 기댓값이 바로 파생상품의 미래가치가 된다.
3. 따라서 이것을 현재가치로 할인해주면, 즉 $e^{-rT}$를 곱하면
4. 파생상품의 현재가치가 나온다. 

라는 것이죠. 너무 당연하고 직관적인 결과인 것 같은데 이것을 무결점 수학적 논리로 표현하기 위해

 

• 이토 보조정리
• 마팅게일 프로세스
• GBM
• 위험중립측도(걸사노프 정리)

등 많은 이론을 이용하고 정립하여 만들어 낸 것입니다. 비록 간단해 보이지만 금융공학과 Stocahstic process라는 확률론을 접목시킨 아주 획기적인 결과물이죠. 이 풀이를 고안해 낸 Feynman과 Kac의 이름을 붙여

 

Feynman-Kac Formula

 

라고 부릅니다. 파인만(Feynman)은 대중들에게 물리를 쉽게(?) 설명하는 책을 발간하고 강연도 활발히 하여 세간에 아주 잘 알려져 있는 천재 물리학자 그 사람 맞습니다.

이 책의 저자~ Feynman

 

파생상품의 가격을 결정하기 위해서는 위의 식(MAIN)을 잘 기억해두시기 바랍니다.  다음 글에서는 간단한 예를 들어 이식의 당위성을 입증해 보겠습니다.