Black Scholes Equation과 Heat Equation의 관계

 

이번 글은 

2022.08.02 - [금융공학] - 파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation

파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation

에서 이어집니다. 저번 글에서는 파생상품의 가격결정식을 알아봤습니다. 소위 Black Scholes Equation이라 불리는 것이었죠.

 

Black Scholes Equation

• $S_t$: 파생상품의 기초자산 process
• 기초자산의 process는 GBM 모델 : $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}$
• 기초자산의 변동성: $\sigma$
• 기초자산의 연속 배당률: $d$
• 무위험 이자율 : $r$

이라 할 때, 만기 $T$에서 수익 구조 $V(S_T)$를 가지는 파생상품의 가치 $F(t,S_t)$는 

 

$$ f_t(t,S_t)  + (r-d) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0\tag{BS}$$

$$ f(T,S) = V(S)$$

 

이라 했습니다. 식 (BS)를 보니, $t$에 대한 1차 편미분, $S$에 대한 2차 편미분 등이 섞여 있죠. 대표적인 편미분 방정식인 Heat equation과 왠지 상관이 있어 보입니다. 가장 간단한 형태의 열방정식은

$$f_t (t,x) = f_{xx}(t,x)\tag{1}$$

이죠. 이제 식(BS) 를 조물딱 조물딱 거려 식 (1)의 형태로 한번 만들어 보겠습니다. 

왜 이런 작업을 할까요? 앞서 말했듯이 heat equation에 대해서는 예전부터 수많은 천재들과 학자들에 의해 많은 연구가 이루어져 왔고, 제법 그 실체가 다 파악이 됐습니다. 따라서

 

Black Scholes Equation을 Heat Equation으로 변환하면, Heat Equation의 이론과 결과들을 모두 가져다 쓸 수 있다

 

는 사실 때문입니다. 이제 차근차근 알아보겠습니다.

 

천천히 알아보도록 해요

 

$S$ 편미분 앞의 $S$ 변수 없애기

식 (BS)의 $f_s$와 $f_{SS}$ 앞에 붙어 있는 $S$를 없애는 과정입니다.

 

$$ x= \ln S$$

라 하고

$$ f(t,S) = g(t, x)$$ 라 합시다.

그러면 

$$ f_t (t,S) = g_t(t,x)\tag{2}$$ 이고

$$ f_S(t,S) = g_x(t,x) \frac{\partial x}{\partial S} =\frac{1}S g_x(t,x)\tag{3} $$
입니다. 또한
$$ f_{SS}(t,S) = -\frac{1}{S^2} g_x(t,x) + \frac{1}{S} g_{xx}(t,x)\cdot \frac1S = \frac{1}{S^2}\left(g_{xx}(t,x)-g_x(t,x) \right)\tag{4}$$

입니다.

식(2)-(4)를 식(BS)에 넣어 정리하면

 

$$g_t + (r-d-\frac12\sigma^2 )g_x + \frac12\sigma^2 g_{xx} - rg=0 $$

가 됩니다(간단히 쓰기 위해 함수 $g$의 변수 표시는 생략)

기호의 편의를 위해 

$$ p = r-d-\frac12 \sigma^2 ~ ,~ q = \frac12 \sigma^2 \tag{5}$$

으로 정의하면

$$ g_t + p g_x + q g_{xx} -r g=0\tag{BS2}$$

을 얻습니다.  만기조건은

$$ g(T,x) = f(T,e^x) = V(e^x)$$

가 되겠네요(왜냐하면 $x=\ln S$이므로 $S=e^x$)

 

 

$S$의 1계편미분  없애기

식 (BS2)의 1계 편미분 항을 없애기 위해

$$g(t,x) = e^{\beta x} h(t,x)$$ 

로 둡시다. 목적은 1계 편미분항을 없앨 수 있는 $\beta$를 찾는 것입니다.

$$g_t(t,x) = e^{\beta x} h_t(t,x) \tag{6}$$

이고

$$ g_x(t,x) = e^{\beta x} (\beta h(t,x) + h_x(t,x) )\tag{7}$$

한번 더 미분하여

$$ g_{xx}(t,x) = e^{\beta x} (\beta^2 h(t,x) + 2\beta h_x(t,x) + h_{xx}(t,x)) \tag{8}$$

 

식 (6)-(8) 을 (BS2)에 대입하여 정리하면,

 

$$ h_t +(p \beta + q \beta^2)h +(p+2\beta q) h_x + qh_{xx} - rh =0 $$

이므로 

$$ \beta = -\frac{p}{2q} \tag{9} $$

라 놓으면

$$ h_t + q h_{xx} + (p\beta +q\beta^2-r)h =0 \tag{BS3}$$

이 됩니다.

만기 조건은

$$ h(T,x) = e^{-\beta x} g(T,x) =e^{-\beta x} V(e^x)$$ 

입니다.

 

편미분 아닌 항 없애기

이제 식 (BS3)의 $h$항을 없애겠습니다. 그러면 $t$에 대한 편미분, $x$에 대한 2계 편미분만 남아서 얼추 heat equation이 되겠죠.

 

$$ \alpha = p \beta + q\beta^2 -r \tag{10}$$ 

이라 놓겠습니다. 식 (BS3)은

$$ h_t + qh_{xx} +\alpha h =0 \tag{11}$$

으로 간단히 쓸 수 있죠. 

$$ h(t,x) = e^{-\alpha t} k(t,x) $$ 라 놓으면

$$ h_t (t,x) = -\alpha e^{-\alpha t} k(t,x) + e^{-\alpha t } k_t(t,x) \tag{12}$$

이므로 식(12)를 식(11)에 대입하여 정리하면

$$ k_t + q k_{xx} =0 \tag{13}$$

을 얻습니다.

만기조건은

$$ k(T,x) = e^{\alpha T} h(T,x) = e^{\alpha T} e^{-\beta x} V(e^x) = e^{\alpha T-\beta x} V(e^x)$$

가 되겠네요.

 

 

$q$ 없애기

식(13)의 $q$ 계수를 없애보겠습니다. 식(5)에서  $q$는 양수이므로 $\sqrt{q}$가 잘 정의됩니다.

$$ y=\frac{1}{\sqrt{q}} x$$

로 놓고,

$$ k(t,x) = l(t,y)$$

라 해 보죠. 

$$ k_t(t,x) = l_t(t,y) \tag{14}$$ 

이고

$$ k_{xx}(t,x) = \frac1q l_{yy} (t,y) $$

이죠. 따라서 식(13)은

$$ l_t(t,y) + l_{yy}(t,y) =0 \tag{15}$$

가 되고 만기조건은

$$ l(T,y) = k(T, \sqrt{q}y)=  e^{\alpha T-\beta \sqrt{q}y} V(e^{\sqrt{q}y})$$

입니다.

 

시점 뒤집기

거의 끝났습니다.  딱 한 가지 손봐야 될 점이, heat equation은 보통 만기조건이 아니고 초기 조건을 주죠. 따라서 시점을 뒤집어서 만기가 $0$의 시점이 되도록 변수를 치환해 보죠.

$$ \tau = T-t$$

로 두고

$$ l(t,y) = u(\tau, y)$$

라 합시다. 그러면

$$ l_t(t,y)  = -u_\tau(\tau, y)~,~ l_{yy}(t,y) = u_{yy}(\tau, y)$$

이므로

식 (15)는 

$$ u_{\tau} (\tau, y) = u_{yy} (\tau, y) \tag{16}$$

이 되고 초기 조건은!

$$ u(0,y) = l(T, y) =e^{\alpha T-\beta \sqrt{q}y} V(e^{\sqrt{q}y})\tag{17}$$

이 됩니다.

 

 

복원

복원은 다음과 같이 합니다. $p,q$가 식(5)번과 같을 때,

 

$$
\begin{align}
f(t,S) &= g(t,x)~~,~~ x=\ln (S)\\
      & = e^{\beta x} h(t,x)~,~ \beta = -\frac{p}{2q}\\
      & = e^{-\alpha t +\beta x} k(t,x)~,~ \alpha = p\beta + q\beta^2 -r\\
      & =  e^{-\alpha t +\beta x} l(t,y)~,~ y=\frac1{\sqrt{q}} x =\frac{\ln S}{\sqrt{q}}\\
      & =  e^{-\alpha t +\beta \sqrt{q}y} u(\tau,y)~,~ \tau = T-t
\end{align}
$$

 

가 성립합니다. 물론 $u(\tau, y)$는 식(16),(17)의 heat equation을 만족하고요.

 

만기조건을 확인해 볼까요? $f(T,S)$를 구해보겠습니다. 식(17)을 이용하면,

$$
\begin{align}
f(T,S) &= e^{-\alpha T +\beta x} u(0,y)\\
       & = e^{-\alpha T +\beta x} e^{\alpha T -\beta \sqrt{q}y} V(e^{\sqrt{q} y})\\
       & = e^0 V(e^{\sqrt{q} y} \\
      & = V(e^{\ln S})\\
      & = V(S)  
\end{align}
$$

입니다.

 

 

이 글에서는 파생상품의 가격결정 방정식이 사실은 Heat Equation이라는 사실을 적절한 변수 변환을 통해서 증명해 보았습니다. 다음 글에서는 이 사실을 이용하여 파생상품의 가격이 어떻게 결정되는지 알아보겠습니다.