Black Scholes Equation의 풀이

이번 글은

2022.08.03 - [금융공학] - Black Scholes Equation과 Heat Equation의 관계

Black Scholes Equation과 Heat Equation의 관계

에서 이어집니다.

저번 글에서 다루었던 것을 간략히 리마인드 하면 이렇습니다.

 

Black Scholes Equation과 Heat Equation의 관계

• $S_t$: 파생상품의 기초자산 process
• 기초자산의 process는 GBM 모델 : $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}$
• 기초자산의 변동성: $\sigma$
• 기초자산의 연속 배당률: $d$
• 무위험 이자율 : $r$

이라 할 때, 만기 $T$에서 수익 구조 $V(S_T)$를 가지는 파생상품의 가치 $F(t,S_t)$는 

$$ f_t(t,S_t)  + (r-d) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0\tag{BS}$$

$$ f(T,S) = V(S)$$

을 만족합니다. 이 방정식은 다음의 Heat Equation으로 바뀔 수 있다는 걸 보였습니다.

$$ u_{\tau} (\tau, y) = u_{yy} (\tau, y) ~,~  u(0,y) = e^{\alpha T-\beta \sqrt{q}y} V(e^{\sqrt{q}y}) \tag{HE}$$

원래 식 $f$와 $u$의 관계는

$$ f(t,S) =  e^{-\alpha (T-\tau) +\beta \sqrt{q}y} u(\tau,y) \tag{origin}$$

이고 변수들 간의 관계식은

• $x=\ln S$
• $\beta = -\frac{p}{2q}$
• $\alpha = p\beta + q\beta^2 -r$
• $ y=\frac1{\sqrt{q}} x$
• $\tau = T-t$

 

그런데 Heat Equation 에는 다음과 같은 exact solution이 있습니다.

 

Heat Equation의 Exact solution

2 변수 함수 $u(t,x)$가

$$ u_t = u_{xx}$$

를 만족하면

$$ u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} u(0,\xi) e^{- \frac{(x-\xi)^2}{4t}}d\xi \tag{1}$$

을 만족합니다. 식(1)의 가운데 즈음에 있는

$$u(0, \xi)$$

가 바로 initial condition 인 것이죠. 즉, initial condition에 gaussian function 같은 가중치를 두어 적분하면 임의의 $u(x,t)$를 얻을 수 있다는 것입니다.

 

바로 이것 때문이었습니다. 복잡해 보이는 식 (BS)를 여러 번의 변수 치환을 사용하여 식 (HE) 형태로 바꿨는데, 이 식은 워나 유명하다 보니, 이렇게 exact solution까지 알려져 있는 것이죠. 

그럼 식도 알았으니 예제를 하나 들어볼까요?

 

 

예제

만기 payoff가 기초자산 자기 자신은, 즉 만기를 $T$라 했을 때,

$$f(T,S) =S$$

인 파생상품을 생각해 봅시다. 이건 사실 파생상품이라고 부르기도 뭐하지만, 어쨌든 만기 payoff가 주가 자신인 경우에는 편미분 방정식의 해가 어떻게 되는지 살펴보죠(이런 상품을 delta 1 상품이라 합니다. 이렇게 부르는 이유는 다음에 설명하겠습니다.)

 

직관적인 풀이

직관적으로 생각해보면, 만기 때 기초자산의 가치인 것은 만기전에도 기초자산을 따라가면 됩니다. 만일 연속 배당률 $d=0$이라 하고, 

$$f(t,S) =S$$

라 유추하면

$$f_t = 0~,~ f_S = 1~,~ f_{SS} = 0$$ 이므로 식(BS)를 만족하죠. 

 

연속 배당 $d$가 살아 있는 경우에도, 답은 기초자산의 가격 $S_t$와 밀접한 관련이 있겠습니다. 그런데 시점 $t$의 주가 $S_t$에는 만기까지 배당효과가 등장합니다. 만기 $T$때 관찰된 가격은 배당을 포함하여

$$S_t \exp(d (T-t))$$

가 되겠죠. 이 값이 만기 때 $S$이므로 $S_t = e^{-d(T-t)}S$로 유추될 수 있겠죠. 즉

$$f(t,S ) =e^{-d(T-t)} S\tag{*}$$

로 놓아봅시다. 그러면

$$ f_t = d f(t,S)~,~ f_S = f(t,S)/S~,~ f_{SS} = 0$$

이므로 식(BS) 를 만족한다는 걸 보일 수 있죠. 만기조건을 체크해보면

$$ f(T,S) = S$$

이므로 정확히 우리가 원하는 결론입니다.

 

Heat Equation의 exact solution을 이용한 풀이

식 (HE)의 $V$ 함수가 $V(S) =S$인 상황이죠. 따라서

$$u(0,y)= e^{\alpha T-\beta \sqrt{q} y} e^{\sqrt{q} y} = e^{\alpha T - \sqrt{q}y(\beta-1)}$$

입니다.  이것을 식(1)에 대입하면

 

$$ u(\tau,y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \tau}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\alpha T - \sqrt{q}\xi(\beta-1)} e^{- \frac{(y-\xi)^2}{4\tau}}d\xi \tag{2}$$

 

식(2)의 exponential의 지수만 볼까요?

$$ \alpha T - \sqrt{q}\xi(\beta-1) - \frac{(y-\xi)^2}{4\tau} $$

입니다. 이것을 좀 정리해 보겠습니다.

 

 

$$
\begin{align}
- \frac{(y-\xi)^2}{4\tau} &-\sqrt{q}\xi(\beta-1) +\alpha T \\
& = -\frac{1}{4\tau} ((\xi-y)^2 +4\tau\sqrt{q}(\beta-1)\xi ) +\alpha T\\
& = -\frac{1}{4\tau} (\xi^2 +(4\tau\sqrt{q}(\beta-1)-2y)\xi)+\alpha T -\frac{y^2}{4\tau}\\    & = -\frac{1}{4\tau} (\xi+A)^2 + B\\
&~~~~~~(A:= 2\tau\sqrt{q}(\beta-1)-y~,~ B= \frac{A^2}{4\tau} +\alpha T -\frac{y^2}{4\tau} )
\end{align}
$$

따라서 식(2)는

$$u(\tau,y) =e^B \cdot \frac{1}{\sqrt{4\pi \tau}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(\xi+A)^2}{4\tau} } d\xi $$

입니다.

이제 
$$ x= \frac{\xi+A}{\sqrt{2\tau}}$$
라 하면 $dx = \frac1{\sqrt{2\tau}} d\xi$ 이고 
$$ x= \frac{\xi+A}{\sqrt{2\tau}}$$
라 하면 $dx = \frac1{\sqrt{2\tau}} d\xi$ 이고 
$$ u(\tau, y) = e^B \cdot \frac{1}{\sqrt{4\pi \tau}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2} \sqrt{2\tau}dz= e^B \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2} dz = e^B $$

가 되죠.

 

궁극적으로 이 결과와 식 (origin)을 합치면

 

$$ f(t,S) =  e^{-\alpha (T-\tau) +\beta \sqrt{q}y +B}\tag{3}$$

 

가 나오죠. 참 뒤죽박죽 정리가 안 되어있네요.

 

이제 $B$를 정리하겠습니다.

$$
\begin{align}
 B &= \frac{A^2}{4\tau} +\alpha T -\frac{y^2}{4\tau}\\
& = \frac{1}{4\tau} ( A^2 +4\tau \alpha T -y^2)\\
& = \frac{1}{4\tau} (4\tau^2q(\beta-1)^2-4\tau y\sqrt{q}(\beta-1)+4\tau\alpha T)\\ & = \tau q (\beta-1)^2 -y\sqrt{q}(\beta-1) +\alpha T 
\end{align}
$$

이고 식(3)의 지수 부분은

 

$$
\begin{align}
-\alpha (T-\tau) & +\beta \sqrt{q}y +B\\
& = -\alpha (T-\tau) +\beta \sqrt{q}y + \tau q (\beta-1)^2 -y\sqrt{q}(\beta-1) +\alpha T\\
& = \alpha \tau + \tau q(\beta-1)^2 + y\sqrt{q}\\
& = \tau(p\beta +q\beta^2 -r +q\beta^2 -2q\beta +q) +y\sqrt{q}\\
& = \tau(p+q-r) +y\sqrt{q} ~(\because \beta =-\frac{p}{2q})\\
& = \tau(-d) +y\sqrt{q}
\end{align}
$$ 

이므로 수식(3)은 다음과 같이 바뀝니다.

 

$$\begin{align}
      f(t,S) &=  e^{-\alpha (T-\tau) +\beta \sqrt{q}y +B}\\
& = e^{-d\tau + y\sqrt{q}}\\
& = e^{-d\tau + x}\\
& = e^{-d\tau + \ln S}\\
& = Se^{-d(T-t)}
\end{align}$$

 

어떻습니까? 직관적으로 풀었던 결과와 똑같죠? 식(*)처럼 우리가 유추했던 식 말입니다.

 

이렇게 Black Scholes Equation을 Heat equation으로 바꾸고, Heat equation에 잘 알려진 이론을 사용하여 해를 구할 수 있습니다. 하지만 보다시피 너무 계산이 복잡하죠. 이걸 어느 세월에 할까요?

 

다음 글에서는 식(BS)과 어떤 stochastic process를 연결시켜 아주 멋있는 결과를 유도해 볼 생각입니다. 

그 식이 탄생한다면.. 이런 자질 구레한 계산을 아주 쉽게 할 수 있습니다.

 

다음 글에서 이어집니다.