이번 글은
2022.07.28 - [금융공학] - 선도와 선물 #2 : 선물(futures)
선도와 선물 #2 : 선물(futures)
이번 글은 2022.07.28 - [금융공학] - 선도와 선물 #1 : 선도 선도와 선물 #1 : 선도 이 글은 2022.07.26 - [금융공학] - 파생상품이란? #2 파생상품이란? #2 이 글은 2022.07.21 - [금융공학] - 파생상품이란? #1..
sine-qua-none.tistory.com
에서 이어집니다.
지난 글에서 파생상품의 대표주자인 선물, 선도에 대해서 알아보았습니다. 이 밖에도 너무나 많은 파생상품이 존재하죠. 선물과 더불어 파생상품의 양대 산맥인 콜옵션, 풋옵션부터 여러 ETN 상품들의 구조, 시대를 풍미하는 ELS나 그 밖에 Knock in, Knock out 형태의 원금보장형 상품까지, 너무 다양합니다. 이러한 파생상품의 가치가 어떻게 결정되는지 한번 알아보겠습니다.
기초자산(underlying asset) 모델
파생상품의 수익을 결정하는 기초자산 process를 St라 합시다. 이 기초자산 process가 GBM모델을 따른다고 가정하죠. 즉 현실세계(physical measure) 주가의 기대수익률을 μ, 변동성을 σ라 하면
dSt/St=μdt+σdWPt
입니다. P는 physical measure입니다.
이 기초자산에는 연속 배당이 있고, 그 값을 q라고 하겠습니다. 또 시장의 무위험 이자율(risk free rate)를 r이라 쓰겠습니다.
만일 이 process를 위험중립측도(risk neutral measure) Q하에서 본다면
2022.07.20 - [금융공학] - GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기의 글에 의하여
dSt/St=(r−q)dt+σdWQt
가 됩니다(하지만, 이것은 잠시 잊어버리기로 하죠. 어차피 자연스럽게 나타날 것이니까요.)
우리는 계속 식(1)에 주목합니다.
파생상품의 가격(가치)
파생상품은 크게 두 가지 특징이 있습니다.
- 기초자산의 가격 St에 연동되어 가치가 결정되며
- 만기 T를 가지고 시간에 따라 그 가치각 변하는 상품이고 만기 T에 다다르면 비로소 거래상대방에게 주거나 받을 수익(payoff)이 결정되는 구조
다른 걸 다 떠나서, 파생상품의 가치는 시점 t와 시점t에서의 주가의 가격 St에 결정되는 함수라 볼 수 있습니다.
파생상품의 가격을 f라 하면, 이는
f(t,St)
라는 2 변수 함수로 쓸 수 있습니다. 또한 분석의 편의를 위해 f가 충분히 몇 번 미분 가능한 함수라고 합시다.
그리고 마지막으로 제가 처음 공부할 때, 혼동이 왔던 건데요, 기초자산의 변수 St를 시간의 첨자를 붙여 썼다고 해서 t에 종속된 함수라고 보면 안 됩니다. 그냥 시점 t랑 상관없지만, t 시점에서 결정되는 변수라고 이해하면 되겠습니다. (안 그러면 f(t,St)는 결국 t 하나에 대한 함수라는 오해가 생기게 되죠.)
또한 본래 가치와 가격은 다른 말이나, 이 글에서는 그냥 혼용해서 쓰도록 하겠습니다.
파생상품의 가격결정
파생상품의 가격결정은 다음의 과정과 같이 합니다.
1. 파생상품과 기초자산으로 포트폴리오 구성
임의의 시점 t에서 파생상품 1개와 기초자산 Δ개로 이루어진 포트폴리오를 구성합니다.
구분 | 수량 |
파생상품 f(t,St) | 1 |
기초자산 St | Δ |
2. 시점 t에서 t+dt까지 포트폴리오의 변화 산출
구분 | 수량 | 시점 t | 시점 t+dt |
파생상품 | 1 | f(t,St) | f(t+dt,St+dt |
기초자산 | Δ | St | St+dt+qStdt |
합 | f(t,St)+ΔSt | f(t+dt,St+dt)+Δ(St+dt+qStdt) |
○ 둘째 줄 시점 t+dt의 qStdt는 연속 배당에 의해 생긴 수익입니다.
3. [t,t+δt] 사이의 포트폴리오의 가치 변화 산출
식(2)을 π라는 기호를 써서 표시하면
π(t)=f(t,St)+ΔSt
입니다. 위 표 안의 식(3)과 식(2)의 차이가 바로 포트폴리오의 가치 변화이므로
dπ(t)=(f(t+δt,St+δt)−f(t,St))+Δ(St+δt−St)+ΔqStdt=df(t,St)+ΔdSt+ΔqStdt
입니다. 사실 식(4)의 양변에 d를 취하고 배당 팩터는 따로 더해주는 방식으로 설명해도 되나, 좀 더 자세하게 써본 것입니다.
4. 포트폴리오로 risk 없이, 안정적으로 무위험 이자율만큼 수익을 내는 것이 공정한 가치임
식(5)에 Ito 보조 정리를 적용하면
dπ(t)=ft(t,St)dt+fS(t,St)dSt+12fSS(t,St)dS2t+ΔdSt+ΔqStdt
입니다.
그런데 바로 dSt가 risk factor죠. 주가의 변화는 random walk여서 dSt의 분포로 인해 포트폴리오 π가 불확실성에 노출되는 것입니다. 따라서 이 부분을 없애줍니다. 식(6)의 dSt파트는 바로
(fS(t,St)+Δ)
이므로, 이 부분을 없애기 위해
Δ=−fS(t,St)
이어야 합니다. 파생상품의 델타라 불리는 것이 이 부분이죠.
그럼 dSt 는 불확실성 파트가 왜 아닐까요? 얘는
dSt=(μStdt+σStdWt)2=σ2S2tdt
이기 때문에 불확실 팩터가 없죠(여기 참조)
따라서 (7)을 (6)에 대입하여 정리하면
dπ(t)=ft(t,St)dt+12σ2S2tfSS(t,St)dt−qStfS(t,St)dt
가 됩니다. 불확실이 제거된, 즉, 전문용어로 헤지(hedge)된 상태의 포트폴리오죠.
이제 수식(8)의 dπ(t)는 순간 수익률이 rπ(t)dt 일 수밖에 없습니다. 그래야 free lunch가 생기지 않죠.
만일 dπ(t)<rπ(t)dt이라면, 포트폴리오를 판 돈으로 예금하여 free lunch를 얻고, 반대의 경우라면 pi(t)만큼의 돈을 은행에서 빌려 포트폴리오를 구성하여 또한 공짜 점심이죠.
따라서
dπ(t)=rπ(t)dt
가 성립합니다.
5. 결과 정리
식(4)와 (7)을 묶어 정리하면
π(t)=f(t,St)−fS(t,St)St
이고 다시 수식 (8)~(10)을 결합하면
ft(t,St)dt+12σ2S2tfSS(t,St)dt−qStfS(t,St)dt=r(f(t,St)−fS(t,St)St)dt
이고 양변의 dt을 없애고 예쁘게 정리하면 바로
ft(t,St)+(r−q)StfS(t,St)+12σ2S2tfSS(t,St)−rf(t,St)=0 |
를 얻습니다.
파생상품은 편미분 방정식을 따른다.
아주 멋진 편미분 방정식이 유도되었습니다. 방정식 (BS) 하나로 파생상품의 모든 움직임이 설명됩니다. 여기에 만기시점 T에서 주어지는 terminal condition
f(T,ST)
에 따라 파생상품은 콜옵션, 풋옵션, ELS 등등으로 다양하게 나오게 됩니다. 어쨌든 멋있는 사실은
식(BS)이 파생상품 가치의 뼈대
라는 사실입니다.
이 식을 우리는 Black Scholes Equation이라 부릅니다. 앞으로 이어질 글들에서는 이 편미분 방정식을 어떻게 푸는지, 안 풀릴 경우에는 어떻게 근사한 식을 얻을 수 있는지 등을 알아볼 것입니다. 이제 신나게 파생상품의 가격을 구해 봅시다.
여담
2016년 세계를 바꾼 17가지 방정식(이언 스튜어트 저)이 출판되었습니다.

이 책의 저자는 자기 주관이 다소 섞였겠지만, 세상에 혁신을 불러일으킨 방정식 17가지를 추렸는데요. 그 대미를 장식한 공식이 바로 Black Scholes Equation입니다. 금융시장이 이렇게 까지 커진 것이 과연 좋은 일인지를 떠나, 시장을 파격적으로 키워낸 공식임에는 이견이 없습니다. 17가지 공식을 소개하며 글을 마칩니다.

'금융공학' 카테고리의 다른 글
Black Scholes Equation의 풀이 (0) | 2022.08.04 |
---|---|
Black Scholes Equation과 Heat Equation의 관계 (0) | 2022.08.03 |
선도와 선물 #2 : 선물(futures) (0) | 2022.07.28 |
선도와 선물 #1 : 선도 (1) | 2022.07.28 |
파생상품이란? #2 (0) | 2022.07.26 |
댓글