파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation

 

이번 글은 

2022.07.28 - [금융공학] - 선도와 선물 #2 : 선물(futures)

선도와 선물 #2 : 선물(futures)

에서 이어집니다. 

 

지난 글에서 파생상품의 대표주자인 선물, 선도에 대해서 알아보았습니다. 이 밖에도 너무나 많은 파생상품이 존재하죠. 선물과 더불어 파생상품의 양대 산맥인 콜옵션, 풋옵션부터 여러 ETN 상품들의 구조, 시대를 풍미하는 ELS나 그 밖에 Knock in, Knock out 형태의 원금보장형 상품까지, 너무 다양합니다. 이러한 파생상품의 가치가 어떻게 결정되는지 한번 알아보겠습니다.

 

기초자산(underlying asset) 모델

파생상품의 수익을 결정하는 기초자산 process를 $S_t$라 합시다. 이 기초자산 process가 GBM모델을 따른다고 가정하죠. 즉 현실세계(physical measure) 주가의 기대수익률을 $\mu$, 변동성을 $\sigma$라 하면

$$ dS_t / S_t = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}\tag{1}$$

입니다. $\mathbb{P}$는 physical measure입니다.

 

이 기초자산에는 연속 배당이 있고, 그 값을 $q$라고 하겠습니다. 또 시장의 무위험 이자율(risk free rate)를 $r$이라 쓰겠습니다. 

 

 

만일 이 process를 위험중립측도(risk neutral measure) $\mathbb{Q}$하에서 본다면 

2022.07.20 - [금융공학] - GBM의 확장판들 #2. 배당 반영하기의 글에 의하여

$$ dS_t/S_t = (r-q)dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$

가 됩니다(하지만, 이것은 잠시 잊어버리기로 하죠. 어차피 자연스럽게 나타날 것이니까요.)

우리는 계속 식(1)에 주목합니다.

 

 

 

파생상품의 가격(가치)

파생상품은 크게 두 가지 특징이 있습니다.

• 기초자산의 가격 $S_t$에 연동되어 가치가 결정되며
• 만기 $T$를 가지고 시간에 따라 그 가치각 변하는 상품이고 만기 $T$에 다다르면 비로소 거래상대방에게 주거나 받을 수익(payoff)이 결정되는 구조

다른 걸 다 떠나서, 파생상품의 가치는 시점 $t$와 시점$t$에서의 주가의 가격 $S_t$에 결정되는 함수라 볼 수 있습니다.

파생상품의 가격을 $f$라 하면, 이는 

$$ f(t,S_t)$$

라는 2 변수 함수로 쓸 수 있습니다. 또한 분석의 편의를 위해 $f$가 충분히 몇 번 미분 가능한 함수라고 합시다.

그리고 마지막으로 제가 처음 공부할 때, 혼동이 왔던 건데요, 기초자산의 변수 $S_t$를 시간의 첨자를 붙여 썼다고 해서 $t$에 종속된 함수라고 보면 안 됩니다. 그냥 시점 $t$랑 상관없지만, $t$ 시점에서 결정되는 변수라고 이해하면 되겠습니다. (안 그러면 $f(t,S_t)$는 결국 $t$ 하나에 대한 함수라는 오해가 생기게 되죠.)

 

또한 본래 가치와 가격은 다른 말이나, 이 글에서는 그냥 혼용해서 쓰도록 하겠습니다.

 

 

파생상품의 가격결정

파생상품의 가격결정은 다음의 과정과 같이 합니다.

 

1. 파생상품과 기초자산으로 포트폴리오 구성

 임의의 시점 $t$에서 파생상품 1개와 기초자산 $\Delta$개로 이루어진 포트폴리오를 구성합니다.

구분	수량
파생상품 $f(t,S_t)$	1
기초자산 $S_t$	$\Delta$

 

2. 시점 $t$에서 $t+dt$까지 포트폴리오의 변화 산출

구분	수량	시점 $t$	시점 $t+dt$
파생상품	1	$f(t,S_t)$	$f(t+dt, S_{t+dt}$
기초자산	$\Delta$	$S_t$	$S_{t+dt} +qS_t dt$
합		$f(t,S_t)+\Delta S_t\tag{2}$	$f(t+dt, S_{t+dt}) + \Delta(S_{t+dt} +qS_t dt)\tag{3}$

○ 둘째 줄 시점 $t+dt$의 $qS_t dt$는 연속 배당에 의해 생긴 수익입니다.

 

3. $[t, t+\delta t]$ 사이의 포트폴리오의 가치 변화 산출

 

식(2)을 $\pi$라는 기호를 써서 표시하면 

$$ \pi(t) = f(t,S_t) + \Delta S_t \tag{4} $$

입니다. 위 표 안의 식(3)과 식(2)의 차이가 바로 포트폴리오의 가치 변화이므로

$$
\begin{align}
d\pi(t) & = (f(t+\delta t, S_{t+\delta t}) - f(t,S_t)) +\Delta (S_{t+\delta t}-S_t)+\Delta qS_t dt\\
& = df(t,S_t) +\Delta dS_t + \Delta qS_t dt\tag{5}  
\end{align}
$$

입니다. 사실 식(4)의 양변에 $d$를 취하고 배당 팩터는 따로 더해주는 방식으로 설명해도 되나, 좀 더 자세하게 써본 것입니다.

 

4. 포트폴리오로 risk 없이, 안정적으로 무위험 이자율만큼 수익을 내는 것이 공정한 가치임

식(5)에 Ito 보조 정리를 적용하면

$$ d\pi(t) = f_t(t,S_t) dt + f_S(t,S_t) dS_t + \frac12 f_{SS}(t,S_t) dS_t^2 + \Delta dS_t + \Delta qS_t dt\tag{6}$$

입니다.

그런데 바로 $dS_t$가 risk factor죠. 주가의 변화는 random walk여서 $dS_t$의 분포로 인해 포트폴리오 $\pi$가 불확실성에 노출되는 것입니다. 따라서 이 부분을 없애줍니다. 식(6)의 $dS_t$파트는 바로

$$ \left( f_S(t,S_t) + \Delta \right) $$

이므로, 이 부분을 없애기 위해

$$\Delta = -f_S(t,S_t)\tag{7}$$

이어야 합니다. 파생상품의 델타라 불리는 것이 이 부분이죠. 

그럼 $dS_t$ 는 불확실성 파트가 왜 아닐까요? 얘는

$$ dS_t = (\mu S_t dt+ \sigma S_t dW_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 dt$$

이기 때문에 불확실 팩터가 없죠(여기 참조)

 따라서 (7)을 (6)에 대입하여 정리하면

 

$$ d\pi(t) = f_t(t,S_t) dt +\frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS} (t,S_t) dt -q S_t f_S(t,S_t) dt \tag{8} $$

가 됩니다. 불확실이 제거된, 즉, 전문용어로 헤지(hedge)된 상태의 포트폴리오죠.

 

이제 수식(8)의 $d\pi(t)$는 순간 수익률이 $r\pi(t) dt$ 일 수밖에 없습니다. 그래야 free lunch가 생기지 않죠.

만일 $d\pi(t) < r\pi(t) dt$이라면,  포트폴리오를 판 돈으로 예금하여 free lunch를 얻고, 반대의 경우라면 $pi(t)$만큼의 돈을 은행에서 빌려 포트폴리오를 구성하여 또한 공짜 점심이죠.

 

따라서

$$ d\pi(t) = r\pi(t) dt \tag{9}$$

가 성립합니다.

 

5. 결과 정리

식(4)와 (7)을 묶어 정리하면

$$ \pi(t) = f(t,S_t) -f_S(t,S_t) S_t \tag{10} $$

이고 다시 수식 (8)~(10)을 결합하면

$$ f_t(t,S_t) dt +\frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS} (t,S_t) dt -q S_t f_S(t,S_t) dt = r(f(t,S_t) -f_S(t,S_t) S_t )dt $$

이고 양변의 $dt$을 없애고 예쁘게 정리하면 바로

 

$$ f_t(t,S_t)  + (r-q) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0\tag{BS}$$

를 얻습니다.

 

 

파생상품은 편미분 방정식을 따른다.

아주 멋진 편미분 방정식이 유도되었습니다. 방정식 (BS) 하나로 파생상품의 모든 움직임이 설명됩니다. 여기에 만기시점 $T$에서 주어지는 terminal condition

$$f(T,S_T)$$

에 따라 파생상품은 콜옵션, 풋옵션, ELS 등등으로 다양하게 나오게 됩니다. 어쨌든 멋있는 사실은

식(BS)이 파생상품 가치의 뼈대

라는 사실입니다. 

 

이 식을 우리는 Black Scholes Equation이라 부릅니다.  앞으로 이어질 글들에서는 이 편미분 방정식을 어떻게 푸는지, 안 풀릴 경우에는 어떻게 근사한 식을 얻을 수 있는지 등을 알아볼 것입니다. 이제 신나게 파생상품의 가격을 구해 봅시다.

 

 

여담

2016년 세계를 바꾼 17가지 방정식(이언 스튜어트 저)이 출판되었습니다. 

사과 그림을 보니 왠지 뉴튼 얘기가 있을것 같은 책

이 책의 저자는 자기 주관이 다소 섞였겠지만, 세상에 혁신을 불러일으킨 방정식 17가지를 추렸는데요. 그 대미를 장식한 공식이 바로 Black Scholes Equation입니다. 금융시장이 이렇게 까지 커진 것이 과연 좋은 일인지를 떠나, 시장을 파격적으로 키워낸 공식임에는 이견이 없습니다. 17가지 공식을 소개하며 글을 마칩니다.

 

 

시대순으로 나열한 17가지 공식, 그 끝에 BSE가 있다.