선도와 선물 #1 : 선도

 

이 글은

2022.07.26 - [금융공학] - 파생상품이란? #2

파생상품이란? #2

에서 이어집니다. 

파생상품 이론의 스타트! 바로 선도(forward)와 선물(futures)에서 시작합니다.

 

선도(forward)

선도와 관계없는 선도부 사진, 말죽거리잔혹사 中

 

선도거래란, 어떤 상품을 미래의 특정 시점(선도 만기, $T$)에 특정 가격(delivery price)으로 사거나 파는 계약(contract)을 의미합니다. 사는 계약을 long position, 파는 계약을 short position을 취한다라고 합니다. 

미래의 특정시점에 상품이 실제로 얼마가 됐든지 간에 미리 정해놓은 특정 가격으로 사고팔 수밖에 없는 의무계약이죠.

 

이야기에 앞서 선도계약의 가치(value of forward contract)와 선도가격(forward price)은 뜻이 다릅니다.

 

 

선도의 계약시점을 $t=0$인 현재, 또 선도의 만기시점을 $T$, 그 사이의 미래 어느 시점을 $t$라고 합시다. 

 

선도 가격, $G(t)$

만일 $t$시점에서 새로운 선도계약 (이 떄는 만기가 $T-t$ )을 맺을 때, 과연 어떤 특정 가격에 맺겠느냐 하는 값입니다.

특별히 $t=0$ 즉, 현재시점일 때, $G(0)$는 delivery price가 됩니다. 이 선도계약의 효력 발생 시점에 정해진 특정 가격이죠.

 

선도 가격은 시간 $t$가 지날수록 변하기 마련입니다. 만일 현재 가격이 100인 주식을 1년 뒤에 103에 거래하는 선도계약을 체결했다고 해요. 여기서 103이 delivery price 즉, $G(0)$입니다. 이 값은 계약 유효기간 동안은 절대 변하지 않는 값입니다. 그런데 갑자기 주식이 폭등하여 1달 뒤에 200이 되었다 했을 때, 이 시점에 11개월짜리 선도계약을 103에 하자고 할 사람은 없겠죠. 한 206 정도가 적당할 것 같습니다. 이처럼 중간에 새로 체결되는 선도계약은 주가에 연동하여 선도 가격이 달라지게 됩니다($G(t)$)

 

 

선도 계약의 가치, $V(t)$

선도 계약이 이루어지는 $t=0$ 때는 아무런 가치가 발생하지 않는 계약의 상태입니다. 즉, $V(0)=0$입니다. 만일 $V(0)$가 0이 아니면, 거래당사자 중 한쪽은 손해를 보며 시작하는 것이기에 이런 일은 있을 수 없죠.

이 가치는 시점 $T$까지 흘러가면서 변하게 됩니다. 만일 delivery price 100에 계약해 놓은 주식이 천정부지로 뛰게 되면, 주식을 사는 쪽은 1년 뒤 싸게 살 확률이 높이지는 것이기에 이익이 생기게 되죠. 반면 파는 쪽은 폭등한 주식을 단돈 100에 팔아야 하는 우울한 상황에 직면하게 됩니다.

 

인도가격(delivery price)는 어떻게 구할까?

그러면 인도 가격(delivery price) $G(0)$ 는 어떻게 계산되는지 알아보겠습니다.

선도의 기초자산이 되는 주식(or 지수)의 $t$시점에서의 가격을 $S_t$라 합시다. 그리고 아래와 같이 portfolio을 구성해 봅시다.

 

1) 우선 이 주식에는 배당 등 주식을 보유하면서 생기는 수익은 없다고 합시다.

 

• $S_0$ 만큼의 돈을 은행에서 빌린다(무위험 이자율 $r$로 빌린다.)
• $S_0$의 가격으로 주식을 한 주 산다.
• 인도 가격이 $G(0)$인 선도 short position 계약을 체결한다.

 

포트폴리오	시점 $t=0$	시점 $t=T$ 즉, 만기
은행에서 현금 대출	$S_0$	$-S_0 e^{rT}$
주식 매수	$-S_0$	$S_T$
선도 계약(shortposition) 체결	$0$	$ G(0) - S_T $
합계	$0$	$G(0) - S_0 e^{rT} $

 

위의 포트폴리오를 구성했는데, 초기 비용이 하나도 안 들었습니다. 시점 $t=0$에서의 합계가 0 이죠. 그런데 이것이 만기까지 가면 

$$ G(0) - S_0 e^{rT}\tag{1}$$

만큼의 수익 또는 손실이 발생하게 됩니다. 만일 수익이 났다면 이거야 말로 free lunch이고, 손실이 났다면 위 포트폴리오를 완전히 거꾸로 하여, 즉

• 주식을 공매도하여 $S_0$만큼 현금 확보
• 확보된 현금을 은행에 예금
• 선도 long position 계약을 체결하고 만기 때 $S_T$의 가격으로 주식을 사서 공매도 처리

의 포트폴리오를 취함으로써 공짜 수익(free lunch)을 얻을 수 있습니다.

따라서 이 포트폴리오가 공정하려면- 즉, 차익 기회가 없으려면(arbitrage free)  식(1)이 $0$이 되어야만 합니다. 따라서

$$ G(0) = S_0 e^{rT}$$

를 얻습니다.

 

 

2) 만일, 이 주식을 보유할 때, 배당 등 수익이 발생한다고 합시다. 현재 시점 $t=0$부터 만기 $T$시점까지 발생한 배당 등의 수익을 현재가치로 할인한 금액을 $I$라 하면 위의 표는 아래와 같이 바뀝니다.

포트폴리오	시점 $t=0$	시점 $t=T$ 즉, 만기
은행에서 현금 대출	$S_0$	$-S_0 e^{rT}$
주식 매수	$-S_0$	$S_T+I e^{rT}$
선도 계약(short position) 체결	$0$	$ G(0) - S_T $
합계	$0$	$G(0) - S_0 e^{rT} + I e^{rT} $

따라서 위와 같은 논리에 의해

$$ G(0) = (S_0 -I)e^{rT}$$ 

가 됩니다.

 

3) 만일 배당이 연속적으로 발생하는 연속 배당이라고 가정해 봅시다. 연속배당을 $q$라고 하면 

포트폴리오	수량	시점 $t=0$	시점 $t=T$ 즉, 만기
은행에서 현금 대출		$S_0$	$-S_0 e^{rT}$
주식 매수	1	$-S_0$	$S_Te^{qT}$  *배당 반영한 종가
선도 계약(shortposition) 체결	$e^{qT}$	$0$	$ e^{qT}(G(0) - S_T) $
합계		$0$	$e^{qT}G(0) - S_0 e^{rT}$

두 번째 줄의 배당 반영된 종가가 $S_T e^{qT}$가 되는 것이 의아할 수 있겠는데요. 만일 연속배당이 없을 때, $S_0$에서 $S_T$까지의 수익률이 $\mu$라면 $S_T = S_0 e^{\mu T}$이고 $S_0$가 연속 배당효과로 $S_0 e^{qT}$로 증가하는 것이므로 결국 $S_T e^{qT}$가 배당 반영한 종가가 됩니다. 또한 특이한 점은 선도계약의 개수가 1이 아닌 $e^{qT}$ 로 포트폴리오를 구성합니다.

 

따라서

$$ G(0) = S_0 e^{(r-q)T}$$

를 만족합니다.

 

선도 가격(Forward price)는 어떻게 구할까?

시점 $t$에서의 선도가격 $V(t)$는 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다. 다음과 같은 포트폴리오를 구성해봅니다.

• 시점 $t=0$에 만기 $T$인 long position 선도계약 체결
• 시점 $t$에 만기 $T-t$인 short porition 선도계약 체결

포트폴리오	$V(0)$	$V(t)$	$V(T)
long 선도	0	$V(t)$	$S_T -G(0)$
short선도	X	0	$-(S_T -G(t)$
포트폴리오 가치		$V(t)$	$G(t)-G(0)$

위 표에 따르면 만기시점 $T$에서  $G(t)-G(0)$가 $t$시점의 가치로는 $V(t)$라는 것입니다. 즉 $G(t)-G(0)$를  $T-t$의 기간만큼 할인하면 $V(t)$라는 것입니다. 따라서

$$ V(t) = e^{-r(T-t)} (G(t)-G(0))$$

가 됩니다.

일례로 $t=0$이면 $V(0) = 0$이고, $V(T) = G(T)-G(0) = S_T -G(0)$ 이므로 위 식의 일관성은 보장되네요.

 

 

 

선물(Futures)

선물은 선도와 개념이 똑같습니다. 특정 미래 시점에 기초자산의 가격을 상품화한 것입니다. 

하지만 선도는 내가 마음에 드는 상대를 찾아 계약을 맺고, 만기시점에 가서야 결제가 이루어집니다. 선물은 대신 정형화된 상품군으로, 거래소가 서로의 신용도를 보장한 상태에서 매매가 이루어집니다. 

가장 특이할 만한 특징으로, 선도계약은 만기에 결제가 이루어지는데요, 선물은 하루에 한번씩 daily 결제가 이루어집니다. 결제가 이루어지 다시 reset 된 상태에서 시작을 하는 거죠.

 

글이 길어지는 관계로 선물에 대해서는 다음 글에서 다루겠습니다.