선도와 선물 #2 : 선물(futures)

이번 글은 

2022.07.28 - [금융공학] - 선도와 선물 #1 : 선도

선도와 선물 #1 : 선도

에서 이어집니다. 이번 글의 주제는 선물(futures)입니다.

 

선물(futures)

 

개인의 섣부른 선물투자는 오징어 게임을 부른다는 교훈을 준 상우

 

선물은 선도와 아주 비슷한 개념으로서 미래 특정 시점(만기)에 주가 또는 지수가 얼마가 될 것인지를 예상하여 거래하는 파생상품을 뜻합니다. 

하지만 선도와 다른 점들이 있습니다. 나열하자면

 

1. 정해진 품목(지수/주식 또는 국채, 환 등)에 특정 만기를 가지는 상품으로 졍형화

    vs 선도는 거래상대방과 니즈가 맞는 어떤 상품이든지 거래가 가능함

 

2. 거래소에서 불특정 다수와 거래됨

    vs 선도는 특정 거래상대방과 장외거래(OTC)로 이루어짐

 

3. 일일정산(daily settlement)이 이루어져서 하루하루 결제되는 상품으로써, 하루가 끝나면 다시 reset 되는 형태

   vs 선도는 만기 때 한번 결제가 이루어지고 거래가 청산됨

 

 

선물의 개념과 일일정산의 예시

기초자산의 움직임에 따른 선물 움직임의 간단한 예를 보겠습니다.

 

5일 동안의 기초자산과 선물의 움직임

 

1) $t=0$ 즉 현재 시점에서,

선물 거래는 기본적으로 가치가 0인 데서 출발합니다. 오늘 기초자산의 가격이 100이고 선물이 103일 때, 선물 하나를 매수 포지션을 취합니다. 증거금을 제외한다면 아무런 비용도 들지 않습니다.(만일  주식을 사려면 100을 써야 함)

참고로, 선물이 103이라는 뜻은 미래 5일 뒤의 기초자산 가격을 103으로 예상하겠다 라는 뜻입니다.

 

 

2) $t=1$일 때, 

기초자산은 100에서 90이 되었으니, 평가손실이 -10입니다. 반면 선물 매수 포지션은 103이 92가 되었으니 11원 손실입니다. 이게 일일 정산되는 거죠. 다시 선물거래의 가치는 0으로 reset 됩니다.

(실제적으로는 추가 증거금이 발생합니다. 내 돈 한 푼 안들이고 구축해놓은 선물포지션에서 11이 손해가 났으니, 이 11은 다른 누군가의 수익이 되어야 하고, 그렇다면 내 계좌에서 11이 나가야 되는데 만일 돈 한푼 없으면 선물거래 판에 안 끼워주겠죠. 따라서 일정액 정도의 현금을 계좌에 넣어놔야 합니다. 이게 증거금입니다.)

 

3) $ t=2,3,4$일 때,

오늘의 선물 가격과 어제의 선물가격의 차이가 일일로 계속 정산됩니다. 차례로 2, 19, -11 의 손익이 찍히는 것이죠

 

4) 만기 $t=5$ 일 때,

선물가격 105는 당연히 기초자산 가격과 동일하게 마무리됩니다. 남은 미래가 없으니 미래 가격도 예상할 게 없죠. 마지막 날엔 3이 정산되며 선물 포지션은 마무리됩니다.

5일 뒤 103으로 예상했던 기초자산이 105로 끝나며 마무리됐죠. total gain은 2입니다. 만일 선물 대신 기초자산에 투자했으면 5를 벌었겠죠. 이 차이가 바로 선물과 기초자산의 가격 차이 즉 예상과 실제의 차이에서 발생을 하게 되는 것입니다.

 

 

선물 거래는 어떤 점에서 유용한가?

파생상품의 큰 목적 중의 하나인 헤지(hedging)를 위해서입니다. 자세히 말하면 지수를 기초자산으로 하는 금융상품들이 많이 있는데, 지수 자체는 매매가 불가능하죠. 따라서 지수의 proxy로 해당 지수의 선물을 매매하는 것입니다. 또한 주식처럼 매수만 가능한 것이 아니고, 매수/매도 양방향 매매가 가능합니다. 따라서 시장의 하락에 베팅하는 투자자에게 좋은 투자상품이 될 수 있죠. 요즈음은 ETF 형태로 거래소에 상장된 인버스, 레버리지 상품이 많이 등장해서 투자자들에게 다양한 기회를 제공하고 있습니다.

 

선물 거래는 왜 위험한가?

주식의 경우는 보통의 경우 제값을 주고 주식을 매수합니다. 1만 원짜리 주식을 사기 위해서는 계좌에 1만 원이 있어야 하죠. 물론 융자나 대주 등으로 증권사에서 빌려주는 현금이나 기존에 가지고 있던 주식을 담보로 1만 원보다 적은 돈으로도 주식을 살 수 있습니다. 이런 것을 레버리지 매매라 하죠. 이러한 레버리지 매매는 위험합니다. 내 돈 주고 내가 산 주식은 100%가 빠져야지, 즉 상폐까지 가야지 최대한 원금만큼 잃습니다. 그런데 남의 돈 90%에 내 돈 10%로 주식을 사게 되면(레버리지 10배) 조금만 주식이 빠져도 반대 매매 압박이 심합니다. 돈을 빌려준 측에서 자기네들 대출금까지 갉아먹게 놔두질 않겠죠. 조금만 주식이 하락해도 대주 측에선 헐값에라도 주식을 팔아 본인들 원금 보전하는 전략을 취합니다. 

 

선물은 더욱더 심한 레버리지 상품입니다. 이론적으로는 돈 한 푼 없어도 포트폴리오를 꾸릴 수 있는 게 선물입니다. 증거금은 선물 포지션에 의한 투자자의 손실에 대응하기 위한 거래소의 장치이고요. 현실적으로는 증거금 정도만 있으면 선물 포지션에 진입을 할 수 있습니다. 

 

한국거래소 증거금 제도를 찾아보니 KOSPI200 선물의 위탁증거금은 10.5%, 유지증거금은 이것의 2/3인 7%입니다.  요즘(22.7월 말) KOSPI200 지수가 320pt 이므로 선물 승수 25만을 고려했을 때 선물 1 계약의 액면은 8천만 원입니다. 위탁증거금이 10.5%이므로 840만 원 정도 준비되어 있으면 선물 1 계약을 오롯이 운용할 수 있죠. 이론적으로는 레버리지가 무한대, 증거금을 고려하면 10배 정도 되네요. 따라서 선물 가격이 10%만 빠지게 돼도 내 증거금 등은 올인 나게 되죠. 내 돈 내산이었으면 10% 빠진 주식, 까짓꺼 비자발 장기투자로라도 버틸 수 있는데 말이죠.

 

 

 

선물의 가격

기본적으로 선도와 선물은 개념이 똑같기 때문에 그 가격이 비슷할 수밖에 없습니다. 시점 $t$에서의 선물의 가격을 $F(t)$라 하면 선도 가격과 같이 $t=0$에서의 선물 가격 $F(0)$는 다음과 같이 주어질 것입니다.

• 배당 등 다른 수익이 없는 경우: $F(0) = S_0 e^{rT}$
• 배당 등 각종 수익이 있는 경우, 이 수익의 현재가치를 $I$라 하면: $F(0) =(S_0 -I)e^{rT}$
• 배당률이 continuous dividend yield $q$일 경우: $F(0) = S_0 e^{(r-q)T}$

그렇다면 항상 선물 가격과 선도 가격은 똑같을까요? 그렇진 않습니다. 하지만, 무위험 이자율 $r$이 미래에 어떤 시점에서도 우리가 다 아는, 결정된 값인 경우(deterministic) 에는 선물과 선도의 가격은 똑같습니다. 하지만 실제 시장에서는 무위험 이자율 역시 랜덤 하게 변하므로 선도, 선물은 같은 개념일지언정 미세하게나마 차이를 보이게 되죠.

 

 

무위험 이자율을 다 알고 있을 때 선물 가격 = 선도 가격

 

미래의 어떤 시점에서의 무위험 이자율도 현재 시점에서 다 알고 있다(deterministic)고 가정해 봅시다. 그리고 만기 시점 $T$까지 daily로 시점 수열을 아래와 같이 만들어 보죠.

$$ 0= T_0 < T_1 <\cdots <T_{n-1} < T_n = T$$

그리고 시점 $t_2$ 을 시점 $t_1$으로 무위험 이자율 $r$로 할인하는 양을 $B(t_1, t_2)$라는 기호로 씁시다. 예를 들어 만기시점 $T$에 100을 주는 상품의 $t$시점의 현재가치는

$$ 100\times B(t,T)$$

로 쓸 수 있습니다. 또한 연속 복리로 무위험 이자율 $r$에 대해

$$ B(t,T) = e^{-r(T-t)}$$

라고도 쓸 수 있습니다.

 

이제 차근차근 따져 보죠.

 

시점 $T_{N-1}$에서 시점 $T_N=T$까지

시점 $T_{N-1}$에서 선도 매수와 선물 매도 포트폴리오를 구축한다,

	시점 $T_{N-1}$	시점 $T_N$
선도 매수	0	$S_T - G_{T_{N-1}}$
선물 매도	0	$ F_{T_{N-1}} -S_T$
합계	0	$F(T_{N-1}) - G(T_{N-1}) $

시점 $T_{N-1}$에 구축해 놓은 포트폴리오의 가치가 0이므로 시점 $T_N$에서의 가치도 0이어야 합니다. 따라서

$$ F(T_{N-1}) = G_(T_{N-1}) \tag{1}$$

 

 

시점 $T_{N-2}$에서 시점 $T_{N-1}$까지

아래 포트폴리오를 시점 $T_{N-2}$에서 구축합니다. 특이한 건 선물 매도 수량이 1이 아닌 $B(T_{N-1},T)$라는 점입니다. 시점 $T_{N-2}$에서 저 수량을 확실히 잡을 수 있는 이유는 바로 무위험 이자율이 다 결정되어 있기 때문이죠(가정)

	수량	시점 $T_{N-2}$	시점 $T_{N-1}$
선도 매수	1	0	$B(T_{N-1},T)(G(T_{N-1})- G(T_{N-2}))$
선물 매도	$B(T_{N-1},T)$	0	$B(T_{N-1},T)(F(T_{N-2})- F(T_{N-1}))$
합계		0	$B(T_{N-1},T)(F(T_{N-2}) - G(T_{N-2}))$

마지막 합계 부분에서는 식(1)이 쓰였습니다.

따라서 

$$ F(T_{N-2}) = G(T_{N-2})$$

를 얻습니다.

 

이것을 계속 거꾸로 내려오면서 반복하는 겁니다. 일반적으로 시점 $T_i$에서 구축한 다음의 포트폴리오

	수량	시점 $T_{i}$	시점 $T_{i+1}$
선도 매수	1	0	$B(T_{i+1},T)(G(T_{i+1})- G(T_{i}))$
선물 매도	$B(T_{i+1},T)$	0	$B(T_{i+1},T)(F(T_{i})- F(T_{i-1}))$
합계		0	$B(T_{i+1},T)(F(T_{i}) - G(T_{i}))$

를 이용하여

$$ F(T_{i}) = G(T_{i})$$

를 얻을 수 있습니다. 모든 $i$에 대해서 $F=G$ 이죠. 이게 가능했던 이유는 다시 한번 말하자면 모든 미래의 이자율이 결정이 되어 우리가 알고 있기 때문에

시점 $T_i$에서 $B(T_{i+1},T)$를 정확히 결정할 수 있다.

라는 사실 때문입니다.

 

지금까지 선물과 선도에 대해서 간략하게 알아봤습니다. 아직 다루지 못한 파생상품이 너무나 많죠.  계속해서 글을 이어나가도록 하겠습니다.