마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)

이번 글에서는

 

Ito Lemma를 이용하여 마팅게일 판단하기

에 대해서 알아보겠습니다.

1. Ito Lemma 는 여기를,
2. 마팅게일을 여기를 
참고하시기 바랍니다.

마팅게일 글에서 위너 프로세스와 관련된 세 가지 마팅게일 예제를 설명했었습니다.

●  $W_t$ 
● $W_t^2 - t$
● $\exp \left(-\frac12 \sigma^2 t +\sigma W_t\right)$

가 모두 마팅게일 process라는 것을 살펴봤었습니다(여기에서)

 

세 가지 프로세스는 어떤 공통점이 있을까요?

 

1. $W_t$ 의 dynamics

dynamics는 주어진 프로세스에 $d(\cdot)$를 취하여 $dt$와 $dW_t$ 항이 어떻게 나오는지로 표현하는 것입니다.

$W_t$에 $d$를 취하면 단순히

$$dW_t\tag{1}$$

이 됩니다.

좀 더 엄밀하게 보기 위해 $f(x)=x$인 항등 함수라 하면 $W_t= f(W_t)$이고 $f'(x)=1, f''(x)=0$이므로 Ito Lemma에 의하여

$$dW_t = df(W_t) = 1\cdot dW_t + \frac12\cdot 0\cdot dW_t^2 =dW_t$$

이죠. 

수식(1) dynamics에 $dt$ 항이 없습니다.

 

 

2. $W_t^2 - t$ 의 dynamics

2 변수 함수 $f(t,x) = x^2- t$ 를 정의합시다. 그러면 

$$f_t(t,x) = -1~,~ f_x(t,x) = 2x ~,~ f''(t,x) = 2$$

입니다. 따라서 Ito Lemma에 의하여

$$d(W_t^2 - t) = df(t,W_t) = -1\cdot dt + 2W_t dW_t + \frac12 \cdot 2 (dW_t)^2  = 2W_t dW_t$$

입니다. (왜냐면 $(dW_t)^2= dt$ 이기 때문이죠.)

결과만 쓰면

$$d(W_t^2- t) = 0 \cdot dt + 2 W_t dW_t \tag{2}$$

입니다. 역시 $dt$항이 0입니다.

 

 

3. $\exp \left(-\frac12 \sigma^2 t +\sigma W_t\right)$, $\sigma$는 어떤 양수

2 변수 함수 $f(t,x)$를

$$f(t,x) = \exp\left(-\frac12 \sigma^2 t + \sigma x \right)$$

라 정의합시다.

$$\begin{align} f_t(t,x) &= \frac12\sigma^2 f(t,x)\\              f_x(t,x) &= \sigma f(t,x)\\              f_{xx}(t,x) & = \sigma f_x (t,x) = \sigma^2 f(t,x) \end{align}$$

이므로 Ito Lemma에 의해

$$df(t,W_t) = \frac12 \sigma^2 f(t,W_t) dt + \sigma f(t,W_t) dW_t + \frac12\sigma^2 f(t,W_t) (dW_t)^2 = \sigma f(t,W_t)dW_t$$

즉,

$$d\left(\exp \left(-\frac12 \sigma^2 t +\sigma W_t\right) \right) = 0\cdot dt + \sigma f(t,W_t) dW_t$$

이것 역시 $dt$ 항이 없네요.

 

 

세 가지 예제를 종합해 보건대, $X_t$ 가 마팅게일이 되기 위해서는 $X_t$의 dynamics 즉, $dX_t$를 계산했을 때, $dt$항이 없어야 되는 것 같습니다.

아주, 간단한 예로 

$$X_t= \mu t + \sigma W_t$$ 라 해보죠. 이때, $t> s$ 일 때,

$$\mathbb{E}(X_t|\mathcal{F_s}) = \mu t + \sigma \mathbb{E}(X_t|\mathcal{F_s}) = \mu t + \sigma X_s$$  

이고 마팅게일이 되기 위해선 이 값이 $\mu s + \sigma X_s$ 와 같아야 합니다.

즉, 

$$\mu t = \mu s$$

이고 따라서,

$$\mu =0$$

이어야겠죠. 즉, $dt$항이 0이라는 얘깁니다.

 

사실 다음과 같은 유명한 정리가 있습니다.

Characterization of Martingales

만일 $X_t$ 의 dynamics가
$$dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t)dW_t$$
라 하면, 아래의 명제가 성립합니다.

$X_t, (t\geq 0)$이 마팅게일일 필요충분조건은 바로 $dX_t$가 $dt$ 항을 가지지 않는다.

이것의 증명은 사실 좀 어렵습니다. 굉장히 간략하게 스케치만 해보도록 하죠. 

 

$X_t$의 dynamics를 이산적으로 생각하고 $W_t$ 가 정규분포가 아닌 많이 간소화된 up/down 확률만 있는 확률 변수라고 해봅시다.

$W_t$	$\sqrt{\Delta t}$	$-\sqrt{\Delta t}$
확률	$\frac12$	$\frac12$

(왜 이렇게 해주나면, 확률분포가 정규분포는 아닐지라도, $\mathbb{E}(W_t) = 0, \mathbb{V}(W_t) = \Delta t$는 유지하기 때문이다.)

어떤 time interval $\Delta t$에 대해서 

$$X_{t+\Delta t } = X_t + \Delta X_t$$

이고 $\Delta X_t$ 는 

$\Delta X_t$	$\mu(t,X_t) \Delta t + \sigma(t,X_t) \sqrt{\Delta t}$	$\mu(t,X_t) \Delta t - \sigma(t,X_t) \sqrt{\Delta t}$
확률	$\frac12$	$\frac12$

그러면

$$\mathbb{E}(X_{t+\Delta t} | \mathcal{F}_t) = \mathbb{E}(X_t+\Delta X_t  |\mathcal{F_t}) = X_t +\mathbb{E}(\Delta X_t|\mathcal{F_t}) = X_t +\mu(t,X_t)\Delta t$$

를 만족합니다.

따라서 마팅게일이 되려면

$$\mu(t,X_t)=0$$

이어야 하겠죠. 이것이 모든 $t$에 대해 성립해야 하므로

$$\mu(t,X_t) \equiv 0$$

이 성립하는 것입니다.

 

앞으로 어떤 프로세스 $X_t$ 가 마팅게일임을 보이고 싶을 때는 Ito Lemma를 이용해서 $dX_t$를 구해보세요.

 

$dX_t$의 $dt$항이 없으면 마팅게일입니다.

 

이 글까지 해서 마팅게일에 대한 설명은 개략적으로 끝이 났습니다. 앞으로 이어질 글 들에서 금융상품의 가격을 평가하기위해 어떻게 마팅게일 프로세스를 이용하는지 알아볼 것입니다.