조건부 기댓값과 마팅게일(martingale) #2

이번 글은

2022.06.23 - [수학의 재미/확률분포] - 조건부 기댓값과 마팅게일(martingale) #1

조건부 기댓값과 마팅게일(martingale) #1

에서 이어집니다. 복습을 해 보면, Martingale은 아래처럼 정의했습니다.

 

Martingale 의 정의
어떤 $M_i$가 마팅게일이라는 뜻은
● 각각의 시점 $i$에 대해 $M_i$는 $\mathcal {F_i}$-measurable, 
● $\mathbb{E}(|M_i|) < \infty$
● $\mathbb{E}(M_{i+1} | \mathcal{F_i} ) = M_i$ 이 성립한다.

 

위의 식은 어떤 확률변수의 수열 $\{X_i | i=1,2,\cdots,\}$ 에서의 마팅게일의 정의였는데요. 이것을  실수에서의 마팅게일의 정의로 확장시킬 수 있습니다.

 

어떤 확률 프로세스 $\{X_t | t\geq 0\}$ 이 있다고 합시다. 보통 $t$는 시점을 의미합니다. 마팅게일의 정의를 확장하면 다음과 같습니다.

 

Martingale의 정의

확률 프로세스 $\{X_t | t\geq 0\}$가 filtration $\mathcal{F_t}$에서 마팅게일이라는 것은

● 임의의 시점 $t$에 대해 $M_t$는 $\mathcal{F_t}$-measurable, 
   - 즉 $t$시점까지의 정보가 주어졌다는 조건하에서 $X_t$는 확률변수가 아닌 알려진 값이라는 뜻

● 임의의 $t\geq 0$에 대해서 $\mathbb{E}(|X_t|) < \infty$

● 임의의 $t>s$에 대해, $\mathbb{E}(X_t | \mathcal{F_s} ) = X_s$ 이 성립한다.
 - 즉, 시점 $t$의 확률변수 $X_t$를 $s$시점까지 쌓아온 정보를 토대로 기댓값을 구하면 그 값이  $X_s$라는 얘기입니다.

 

예를 몇 가지 들어보겠습니다.

 

1. 위너 프로세스 $W_t$는 마팅게일이다.

마팅게일을 정의하려면 항상 걸맞은  filtration이 있어야 합니다.  저번 글에서 처럼 $t$ 시점에서의 filtration을

$$ \mathcal{F_t} = {\rm{span}}(W_r , r\leq t) $$

라고 정의해 보죠.

$t$시점 이전의 위너프로세스 $W_r, r\leq t$의  움직임으로 이루어진 정보 공간이라고 직관적으로 이해하면 되겠습니다.

 

그러면 당연히 $W_t$는 $\mathcal{F_t}$-mesurable 입니다. 정의상 $W_t$의 움직임은 $\mathcal{F_t}$ 라는 정보 공간 안에서는 알려져 있기 때문이죠.   그렇다면 임의의 $t>s$인 $t,s$에 대하여

$$
\begin{align}
\mathbb{E}(W_t |\mathcal{F_s}) & = \mathbb{E}(W_t -W_s+W_s|\mathcal{F_s}) \\
  & = W_s +\mathbb{E}(W_t -W_s|\mathcal{F_s}) \\
  & = W_s + \mathbb{E}(W_t -W_s) \\
  & = W_s 
\end{align}
$$
 2번째에서 3번째 넘어갈 때엔 $W_t-W_s$ 가 $\mathcal{F_s}$와 독립이기 때문에 그냥 기댓값을 계산한 것과 같아지고 $W_t-W_s$의 기댓값이 $0$이라는 사실을 이용했습니다.

 

나 위너프로세스인데~ 마팅게일이기도 혀~ (출처:pinterest)

 

2. 위너프로세스의 제곱 $W_t^2$ 은 마팅게일이다?

과연 맞는 내용일까요? 무작정 계산을 해 보죠.

$$
\begin{align}
\mathbb{E}(W_t^2 |\mathcal{F_s}) & = \mathbb{E}((W_t -W_s+W_s)^2|\mathcal{F_s}) \\
       & = \mathbb{E}((W_t -W_s)^2 + 2(W_t-W_s)W_s+W_s^2|\mathcal{F_s}) \\
  & = W_s^2 +\mathbb{E}((W_t -W_s)^2|\mathcal{F_s})+ 2\mathbb{E}(W_s(W_t -W_s)|\mathcal{F_s}) \\
  & = W_s^2 +\mathbb{E}((W_t -W_s)^2|\mathcal{F_s})+ 2 W_s \mathbb{E}((W_t -W_s)|\mathcal{F_s}) \\
  & = W_s^2 +\mathbb{E}((W_t -W_s)^2) + \mathbb{E}(W_t -W_s) \\
  & = W_s^2 + t-s  
\end{align}
$$

셋째 줄에서 넷째 줄 넘어갈 때, $W_s$는 $\mathcal{F_s}$-mesurable 이라 기댓값 밖으로 나오고, 나머지 줄에서는 

$W_t-W_s$가 $\mathcal{F_s}$와 독립, 또

$\mathbb{E}((W_t-W_s)^2)$은 $W_t-W_s$의 분산이므로 그 값이 $t-s$ 라는 사실을 이용했습니다.

 

따라서 $W_t^2$는 마팅게일이 아니죠! 하지만

$$ M_t = W_t^2 -t$$

라 정의하면

$$\mathbb{E}(M_t|\mathcal{F_s}) =\mathbb{E}(W_t^2|\mathcal{F_s})-t = W_s^2 +t-s -t =M_s$$

이므로, $M_t$가 마팅게일이 됩니다.

 

3. $\exp(\sigma W_t)$ 는 마팅게일인가?

어찌 되었든 계산을 해봅시다.

$$
\begin{align}
\mathbb{E}(e^{\sigma W_t} |\mathcal{F_s}) & = \mathbb{E}(e^{\sigma (W_t-W_s)} \cdot e^{\sigma W_s}|\mathcal{F_s}) \\
       & = e^{\sigma W_s} \mathbb{E}(e^{\sigma (W_t-W_s)}|\mathcal{F_s}) \\
  & = e^{\sigma W_s} \mathbb{E}(e^{\sigma (W_t-W_s)}) \\
 & = e^{\sigma W_s} \cdot e^{\frac12\sigma^2 \sqrt{t-s}^2} \\
 & = e^{\sigma W_s} \cdot e^{\frac12 \sigma^2(t-s)} \\
\end{align}
$$

 

셋째 줄에서 넷째 줄 넘어갈 때는 로그노말 분포의 성질이 쓰였습니다.

$X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)$ 의 기댓값은 $\mathbb{E}(X) = \exp\left(\mu+\frac12\sigma^2\right)$ 입니다. $e^{\sigma(W_t-W_s)}$는 평균 $0$, 표준편차 $\sqrt{t-s}$인 로그노말 분포이죠.

 

 

따라서  $\exp(\sigma W_t)$ 는 마팅게일은 아닙니다. 하지만,

$$M_t : = e^{-\frac12 \sigma^2 t +\sigma W_t} \tag{1}$$

라고 놓으면

 

$$ \mathbb{E}(M_t|\mathcal{F_s}) = e^{-\frac12 \sigma^2 t} \mathbb{E}(e^{\sigma W_t}|\mathcal{F_s}) =  e^{-\frac12 \sigma^2 s} e^{\sigma W_s} = M_s $$

 

이므로 $M_t$가 마팅게일이 됩니다.

 

식(1)이 마팅게일이 된다는 것을 잘 기억해 두기 바랍니다. 긴요하게 써먹을 때가 올지 모릅니다.

외우지 못해도 기억만이라도..

 

2개의 글에 걸쳐 힘들게 마팅게일을 소개했는데요,  금융공학을 써서 금융상품의 가격을 결정하는데 아주 중요한 역할을 하기 때문에 어쩔 수가 없었습니다.

 

이제 마팅게일 이론을 주가 모델이었던 GBM과 금융상품의 가치평가 영역으로 끌고 들어가서 여러 가지 계산을 해 보도록 합시다.