조건부 기댓값과 마팅게일(martingale) #1

이번 글은

2022.06.22 - [수학의 재미/확률분포] - 확률공간과 조건부기댓값

확률공간과 조건부기댓값

에서 이어집니다. 위 글에서는

1. 확률 공간
2. filatration
3. 조건부 기댓값

에 대해서 간략히 알아봤습니다.  수식으로 다음과 같은 확률 세상을 가정합시다.

• 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 가 주어져 있고
• $\{\mathcal{F}_i, i=1,2,\cdots,\}$를 filtration이라 합시다. 즉, $\mathcal{F_1}\subset \mathcal{F_2}\subset \cdots \subset \mathcal{F}$ 

이라 합시다. 직관적으로 $\mathcal{F}_i$는 현재 시점부터  $i$-시점까지 정보들의 모임이라 생각할 수 있다고 했습니다.

 

이제 어떤 확률변수들의 모임 $\{M_i, i=1,2,\cdots\}$을 생각해봅시다. 이 확률변수들의 모임이 다음의 성질을 만족할 때, 우리는 이 모임을 Martingale이라 부릅니다.

Martingale 의 정의

● 각각의 시점 $i$에 대해 $M_i$는 $\mathcal{F_i}$-measurable, 
   - 직관적으로 $i$시점까지 정보가 주어져 있기 때문에  $M_i$ 는 시점 $i$에서 알려진 값이다라는 뜻

● $\mathbb{E}(|M_i|) < \infty$
  - 즉, $M_i$ 의 기댓값이 발산하지 않고 특정값을 가진다.

● $\mathbb{E}(M_{i+1} | \mathcal{F_i} ) = M_i$ 이 성립한다.
 - $i$ 시점까지 알려진 정보를 조건으로 하여 $i+1$시점의 확률변수 $M_{i+1}$의 기댓값을 구하면  $M_i$다.
- $\mathbb{E}(\mathbb{E}(M_{i+1} | \mathcal{F_i})) = \mathbb{E}(M_i)$ 이므로 시점이 지나도 계속 기댓값이 보존된다.

특히 마팅게일의 3번째 식이 중요합니다. 

 

마팅게일 성질을 가지는 확률 프로세스 몇몇의 예를 볼까요?

1. Random Walk

내거 어떻게 걷는지 나도 몰라~ Random Walk

$X_0, X_1,\cdots,$를 i.i.d 분포(독립 항등 분포)이고 기댓값은 $0$이라 합시다. 그리고

$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$

라 정의합시다. 마지막으로 filtration $\mathcal{F}_i$를

$$\mathcal{F}_i = {\rm{span}}(X_1,X_2,\cdots, X_n)$$

이라고 써봅시다. 사실, 수학적으로 맞지 않는 표현인데, $X_1, \cdots, X_n$ 이 가질 수 있는 모든 이벤트들의 집합이라고 생각해보죠. 

 

술 취한 사람의 Random walk로 비교하자면 $X_1,X_2,\cdots$는  걷는 걸음걸음이고, $\mathcal{F_n}$는 $n$걸음까지 걸어간 정보, $S_n$은 이 걸음을 합친 것이므로 이 사람의 위치 즈음이 되겠네요.

$S_n$이 마팅게일이 되는지 한번 볼까요?

$$\mathbb{E}(S_{n+1}|\mathcal{F}_n ) = \mathbb{E}(S_n+X_{n+1}|\mathcal{F}_n)$$

입니다. 그런데 $S_n$은 $n$걸음까지 걸은 결과이고 이것을 $\mathcal{F_n}$이라는 조건하에서 보면 이미 정해져 있는 값입니다. 따라서 $S_n$은 분리 즉,

$$\mathbb{E}(S_n+X_{n+1}|\mathcal{F}_n) = S_n + \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F_n})$$

입니다.

그런데 $X_{n+1}$은 $\mathcal{F}_n$과 독립입니다. $X_i$들이 독립이기 때문이죠. 따라서 조건부 기댓값의 성질에 의해

$$\mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F_n}) = \mathbb{E}(X_{n+1}) = 0$$

이 됩니다. 결론적으로,

$$\mathbb{E}(S_{n+1}|\mathcal{F}_n ) = S_n$$

이죠.

해석하자면,

$n$걸음걸이까지 알려져 있다는 조건하에 $n+1$까지 걸음걸이의 기댓값은 바로 $n$걸음걸이 한 위치와 같다는 것입니다.

 

어디로 (n+1)번째 걸음을 걷든지, 평균은 $n$걸음의 위치인 거다.

만일 이 Random walk를 그냥 평균 취하면 어떤가요?

$$\mathbb{E}(S_n ) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = 0$$

입니다. 즉, 아무런 정보가 없는(걷기 전) 상태에서의 기댓값은 0이죠. 그런데 $n$걸음 걸은 후라는 조건이 붙은 기댓값이기 때문에 답이 $S_n$이 되는 것입니다.

 

2. RandomWalk의 제곱 프로세스

1번 예제에서 정의한 $S_n$을 제곱한 $S_n^2$은 마팅게일이 될까요? 한번 계산해 보죠. $X_i$들의 분산이 $\sigma^2$이라고 합시다.

 

$$\begin{align} \mathbb{E}(S_{n+1}^2 | \mathcal{F}_n) & = \mathbb{E}((S_n+X_{n+1})^2 | \mathcal{F}_n) \\ & = \mathbb{E}(S_n^2 + 2S_nX_{n+1} +X_{n+}^2 | \mathcal{F}_n) \\ & = S_n^2 + 2S_n \mathbb{E}(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) +\mathbb{E}(X^2_{n+1} | \mathcal{F}_n) \\ & = S_n^2 + \mathbb{E}(X^2_{n+1})\\ & = S_n^2 + \mathbb{V}(X_{n+1})\\ & = S_n^2 + \sigma^2\\ \end{align}$$

조건부 기댓값의 성질이 많이 쓰였습니다. 마지막 줄은

$$\mathbb{V}(X) =\mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$$

의 관계식이 쓰였습니다.

따라서 $S_n^2$ 자체는 마팅게일이 아니죠. $\sigma^2$ 이라는 항이 툭 튀어나옵니다.

 

만일 $M_i  =S_i^2 - n\sigma^2$ 이라는 프로세스는 어떨까요?

$$\mathbb{E}(M_{n+1}|\mathcal{F_n}) = \mathbb{E}(S_{n+1}^2|\mathcal{F_n}) -(n+1)\sigma^2 = S_n^2 +\sigma^2 -(n+1)\sigma^2 =M_n$$

이므로 $\{M_i\}$는 마팅게일입니다.

 

3. Random Walk 곱하기 버전

$X_1,X_2,\cdots,$가 양수인 확률변수로서 기댓값이 1인 i.i.d 프로세스라 합시다.

$$M_n = X_1\cdot X_2 \cdots X_n = \Pi_{i=1}^n X_i$$

라 정의하면 $M_i$들은 마팅게일입니다. 구체적으로

$$\mathbb{E}(M_{n+1}|\mathcal{F_n}) = \mathbb{E}(M_{n}X_{n+1}|\mathcal{F_n}) =M_n \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F_n}) =M_n \mathbb{E}(X_{n+1}) = M_{n}$$

입니다.  

 

마팅게일 예제 몇 개를 보았습니다. 이번 글에서는 ${X_i |i=1,2,\cdots}$ 처럼 discrete 한 확률 process에 대한 마팅게일 이론을 살펴봤는데,  이것을 연속 확률 과정으로 확장시킬 수 있습니다. 

$$\{X_t | 0\leq t\leq T\}$$

처럼요. 연속 확률 과정에서도 마팅게일 정의는 똑같습니다.

 

다음 글에서 연속 버전을 살펴보고, 어떠한 예제들이 있는지 알아보도록 하겠습니다.