술먹고 걷기(Random Walk) #2: 동서남북 내키는대로~

 

 

 

 

 

지난 글에서 길 따라 걷는 1차원적인 random walk에 대해서 알아봤습니다.

2022.06.25 - [수학의 재미/확률분포] - 술 먹고 걷기(Random Walk) #1: 길 따라 걷기

술먹고 걷기(Random Walk) #1: 길따라 걷기

 

이번 글에서는 술취한 사람이 동서남북 4방향으로 걸어 다닌다고 합시다. 이게 더 현실적이겠죠. 

 

 

어디든 갈그야~!!

동서를 나타내는 확률변수를 $X$, 남북을 나타내는 확률변수를 $Y$라고 합시다. 그리고 1차원 random walk 때처럼 $X$,$Y$를 각각 1, -1을 가지는 확률변수라 해 보죠.

 

$(X,Y)$	(1,0)	(-1,0)	(0,1)	(0,-1)
확률	$\frac14$	$\frac14$	$\frac14$	$\frac14$
방향	동	서	북	남

그리고 $(X_1 ,Y_1) , (X_2, Y_2), cdots $를 $(X,Y)$의 i.i.d 라고 합시다. $(X,Y)$의 평균은

$$\mathbb{E}(X,Y) = \frac14 (1,1) +\frac14 (1,-1) +\frac14 (-1,1) +\frac14 (-1,-1) = (0,0)$$

즉, 원점이 나오게 됩니다.

이제 

$$\sum_{i=1}^N (X_i, Y_i)$$

를 하면 바로 이것이 2차원 random walk 가 됩니다.

 

 

자, 이제 이 친구가 어디로 가나 봅시다. 1차원 random walk 분석과 같은 방법으로 code를 작성합니다.

 

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def random_walk():
    nSimulation = 500
    nSteps = 1000

    x_finish =[]
    y_finish=[]

    for _ in range(nSimulation):
        x = []
        y = []
        x0, y0 = 0, 0
        x.append(x0)
        y.append(y0)
        a, b = x0, y0
        for _ in range(nSteps):
            rd = np.random.randint(1, 5)
            if rd == 1:
                a += 1
                b += 0
            elif rd == 2:
                a += -1
                b += 0
            elif rd == 3:
                a += 0
                b += 1
            else:
                a += 0
                b += -1
            x.append(a)
            y.append(b)

        x_finish.append(x[-1])
        y_finish.append(y[-1])

    plt.subplot(121)
    plt.plot(x, y, color='c', marker='o')
    plt.scatter(x[0],y[0], color='b', s=100, marker='s')
    plt.text(x[0],y[0],'start')
    plt.scatter(x[-1],y[-1], color='r', s=100, marker='s')
    plt.text(x[-1],y[-1],'finish at ({},{})'.format(x[-1],y[-1]))
    plt.title('Example of random walk')

    plt.subplot(122)
    plt.plot(x_finish, y_finish, color='m', marker='o', linestyle='')
    plt.scatter(x_finish[-1], y_finish[-1], color='r', s=100, marker='s')
    plt.text(x_finish[-1], y_finish[-1], 'location:({},{})'.format(x_finish[-1],y_finish[-1]))
    plt.scatter(0, 0, color='b', s=100, marker='s')
    plt.text(0, 0, 'start')
    plt.title('{} times random walk result'.format(nSimulation))
    plt.show()
    print(np.mean(x_finish))
    print(np.mean(y_finish))

if __name__ == '__main__':
    random_walk()

 

전체적인 것은 1차원 random walk와 비슷합니다. 다만, 동서남북으로 갈 수 있는 세팅을 해 줘야겠죠.

 

 

        for _ in range(nSteps):
            rd = np.random.randint(1, 5)
            if rd == 1:
                a += 1
                b += 0
            elif rd == 2:
                a += -1
                b += 0
            elif rd == 3:
                a += 0
                b += 1
            else:
                a += 0
                b += -1
            x.append(a)
            y.append(b)

바로 이 부분입니다.

○ np.random.randint(1,5)를 써서 1,2,3,4 중 하나를 선택하는 난수를 발생시킵니다.

○ 각각의 방향에 따라 좌표를 1,-1 씩 더해주는 연산을 합니다.

○ x방향(동/서 방향)으로 random walk,  y방향(남/북)으로 random walk를 만들어 줍니다.

 

 

        x_finish.append(x[-1])
        y_finish.append(y[-1])

○ nSimulation 번 시뮬레이션을 통해 술 취한 양반의 최종 목적지인 x[-1], y[-1] 을 저장하는 리스트를 만듭니다.

 

 

 

    plt.subplot(121)
    plt.plot(x, y, color='c', marker='o')
    plt.scatter(x[0],y[0], color='b', s=100, marker='s')
    plt.text(x[0],y[0],'start')
    plt.scatter(x[-1],y[-1], color='r', s=100, marker='s')
    plt.text(x[-1],y[-1],'finish at ({},{})'.format(x[-1],y[-1]))
    plt.title('Example of random walk')

○  차트 두 개를 그릴 것입니다. subplot을 이용하여 1*2 그림 배열을 만들고 첫번째 영역을 선택합니다.

○  현재 x, y 에는 마지막 시뮬레이션의 random walk가 저장되어 있을건데, 그것을 그려줍니다.

 

 

    plt.subplot(122)
    plt.plot(x_finish, y_finish, color='m', marker='o', linestyle='')
    plt.scatter(x_finish[-1], y_finish[-1], color='r', s=100, marker='s')
    plt.text(x_finish[-1], y_finish[-1], 'location:({},{})'.format(x_finish[-1],y_finish[-1]))
    plt.scatter(0, 0, color='b', s=100, marker='s')
    plt.text(0, 0, 'start')
    plt.title('{} times random walk result'.format(nSimulation))
    plt.show()

○ 술취한 양반 500명의 최종 도착지를 plotting 해 본 것입니다.

○ 마지막 양반의 도착지점은 왼쪽 그림과 비교해 볼 수 있도록 특별히 location을 출력해 줍니다.

 

이제 결과를 볼까요?

 

징하게 돌아다녔죠? 왼쪽은 비틀거리는 흔적의 한 예제. 오른쪽은 500명이 헤어져서 따로따로 도착한 지점들

0.706
-0.894

Process finished with exit code 0

오른쪽 차트의 500명의 평균 좌표를 출력해 보니 위와 같았습니다. 거의 영점이었죠.

 

 

 

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술 취한 양반들이 동서남북이 아닌 북동, 북서, 남동, 남서로 싸돌아다니면 그림이 조금 더 이뻐집니다. 위의 차트 중 방향 정해주는 부분만 바꾸면 됩니다.

나는 북북서로 갈건데? -북북서로 진로를 돌려라 영화

 

 

        for _ in range(nSteps):
            rd = np.random.randint(1, 5)
            rr.append(rd)
            if rd == 1:
                a += 1
                b += 1
            elif rd == 2:
                a += -1
                b += 1
            elif rd == 3:
                a += 1
                b += -1
            else:
                a += -1
                b += -1

이렇게죠. 결과를 보시면

동서남북은 너무 재미없어 45도 각도로 다닐거여~!

 

 

radom walk는 2차원에서 마무리 짓겠습니다. 술취한 양반들은 피곤해서 위아래로 움직이는 건 못하거든요. 이걸 동적인 차트로 움직이게끔 그려보는 것(여기를 참고해 보세요)도 재미있겠네요.