확률측도를 바꿉시다: Girsanov Theorem

이번 글은

2022.06.27 - [금융공학] - GBM 은 어떤 모델일까?

GBM 은 어떤 모델일까?

에서 이어집니다.  지난 글의 말미에 주식 $S_t$의 모델은

$$ dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t$$

라 했고, drift 항의 $\mu$는 주식마다 각각 다르고 통일되어 있지 않아서 좀 번잡스럽습니다. 따라서 위의 GBM모델을 tunning을 해서 금융공학적으로 분석하기 쉽게! 만드는 작업이 필요합니다.

바로 $W_t$ 가 움직이는 확률 공간 자체를 바꿔버리는 건데요. 똑같은 사건 다른 확률 공간에서 확률 측정을 하게 되면 값이 다르게 나옵니다. 

 

바로 이번 글의 주제는 확률을 재는 측도를 바꾸어서 분석하기 편한 확률 공간 및 측도를 만드는 것입니다.

다른거 갖고 재봐~ 넘 크게 나오잖어..!

 

조금 어려운 내용이기 때문에 그나마 알기 쉬운 예제로 접근해 보려합니다.

실수에서 정의된 확률 변수 $X$가, 확률을 재는 측도가 $\mathbb{P}$인 공간에서 $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$을 따른다고 합시다.

무슨 얘기냐면, 

$$\mathbb{P}(X\leq x ) = \int_{-\infty}^{\infty} d\mathbb{P} = \int_{-\infty}^\infty \phi_{0,\sigma^2} (x) dx $$

인 상황이죠. $\phi_{0,\sigma^2}$은 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2$인 정규분포의 pdf입니다. 

 

그런데 다음과 같은 행위를 해봅니다. $d\mathbb{P}$ 즉 어떤 확률소를 늘였다 줄였다 하는 함수 $\lambda$를 하나 정해서

$$ d\mathbb{Q} = \lambda d\mathbb{P}$$

가 되는 확률 측도 $\mathbb{Q}$를 새롭게 정의해봅니다.  자, 이제 $lambda$는 길이를 조정해주는 함수로서

$$ \lambda(x): = \exp\left( -\frac{m}{\sigma^2} x - \frac{m^2}{2\sigma^2} \right) $$

라 정의해 보죠.

 

그러면 다음이 성립합니다.

$X+m$ 이라는 확률변수는 측도 $\mathbb{Q}$ 안에서 $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ 을 따른다.
측도 $\mathbb{P}$ 안에선 $X+m$은 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$을 따른다.

확률변수 $X$를 평행이동시키고 알맞게 확률측도를 $\mathbb{P}$에서 $\mathbb{Q}$로 바꾸어서 분포는 계속 유지시킬 수 있는 거죠.

 

왜 그럴까요? 간단히 계산해 보겠습니다.

 

$Z= X+m$이라 둡시다.

 

$$
\begin{align}
\mathbb{Q}(Z\leq a) &= \mathbb{Q}(X+m \leq a) =\int_{X=-\infty}^{X=a+m} d\mathbb{Q} \\ 
  & = \int_{X=-\infty}^{X=a+m} \lambda d\mathbb{P} \\
  & = \int_{X=-\infty}^{X=a+m} \lambda(x) \phi_{0,\sigma^2}(x) dx\tag{1}
\end{align}
$$

 

입니다. 그런데

$$
\begin{align}
\lambda(x) \phi_{0,\sigma^2}(x) dx
&= \exp\left(-\frac{m}{\sigma^2} x - \frac{m^2}{2\sigma^2}\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( - \frac{x^2}{2\sigma^2} \right)\\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( - \frac{(x+m)^2}{2\sigma^2} \right)
\end{align}
$$

이므로 식(1)을 이어 쓰면

$$ \int_{X=-\infty}^{X=a+m} \lambda(x) \phi_{0,\sigma^2}(x) dx = -\int_{-\infty}^{a+m} \phi_{-m,\sigma^2}(x) dx = \int_{-\infty}^a \phi_{0,\sigma^2}(t)dt $$

가 됩니다($x+m =t$로 치환)

따라서 이 값은 $\mathbb{P}(X\leq a)$ 가 됩니다. 따라서 증명이 끝납니다. 

 

여기서  $\lambda$는 상대적으로 덜 중요합니다. 이렇게 측도를 change 하고  확률변수를 (평행) 이동하여 계속 기존 확률변수의 분포를 유지할 수 있다는 것이 핵심 포인트입니다.

 

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위의 내용을 위너프로세스 세상으로 자연스럽게(??) 확장한 것이 바로 Girsanov Theorem이라는 것입니다.

당연히 증명이나 관찰을 안 할 것입니다. 대신에 서술을 해 보죠.

 

Girsanov Theorem(걸사노프 이론)

$W_t$를 $\mathbb{P}$ 확률에서 위너프로세스라고 하자.  확률프로세스 $L_t$가
$$ dL_t = -L_t \theta_t dW_t , L_0 =1 $$
을 만족하고, 
$$ \mathbb{Q} = L_t \mathbb{P} $$
라 새롭게 정의된 $\mathbb{Q}$를 정의하자. 그러면 
$$ \tilde{W_t} = W_t + \int_0^t \theta_s ds $$
라 정의된 $\tilde{W_t}$는 $\mathbb{Q}$ 확률측도 하에서 위너 프로세스가 된다.

말이 무지 어렵습니다. 마지막 줄은 dynamics로 표현해보면 

$$d\tilde{W_t} = \theta_t dt+ dW_t$$

입니다.

 

이걸 차포 다 떼고, 이렇게 기억하면 쉽습니다.

$dW_t$ 에 내가 원하는  $dt$ 항을 더하고 그에 따라 확률측도를 알맞게 바꾸면 다시 그 새로운 확률 측도하에서 위너프로세스를 만들 수 있다!!

 

걸사노프 정리에 의하면 GBM 속의 drift 항을 마음껏 바꿀 수 있습니다. 대신 확률 공간(측도)도 덩달아 바뀌겠죠. 

예컨대, $\mathbb{P}$ 라는 확률측도하에서

$$ dS_t / S_t = \mu dt + \sigma dW_t$$

라는 GBM 을 

$$ dS_t /S_t =  r dt + \sigma d\tilde{W_t} $$ 

라고 drift항을 $\mu$에서 $r$로 바꾸고 싶다면

 

$$ d\tilde{W_t} = \frac{\mu-r}{\sigma } dt + dW_t$$

라고 바꿔주면 되겠죠? $\tilde{W}_t$는 어떤 확률공간 $\mathbb{Q}$에서 위너프로세스가 되구요. 이것을 명확하게 쓰기 위해서 $\mathbb{P}$와 $\mathbb{Q}$ 첨자를 붙여서

$$ dW_t^{\mathbb{Q}} = \frac{\mu-r}{\sigma} dt + dW_t^{\mathbb{P}} $$

라고 씁니다.

 

위 식이 주는 철학은 이렇습니다.

 

그냥 자연스러운 측도 (physical measure)에서 주식 $S_t$의 기대수익률 $\mu$는 천차만별입니다.

하지만 측도를 살살 조절하면, 이것을 무위험 이자율(은행 예금 금리 같은) $r$로 조절 가능합니다.

즉 어떤 측도에서 주식 $S_t$의 기대수익률은 무위험 이자율만큼으로 생각할 수 있습니다.

새롭게 조절된 측도 공간(risk neutral measure) 은  수많은 금융상품의 공정한 가치를 평가하는데 꼭 필요한 공간입니다.

 

 

 

자세한 내용들은 이어지는 글들에서 다시 다루겠습니다.