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금융공학

GBM 은 어떤 모델일까?

by hustler78 2022. 6. 27.
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이번 글은

2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!

 

GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!

이 글은 2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #1: 만기시점 주가만 GBM 주가패스 만들기 #1: 만기시점 주가만 이 글은 2022.06.07 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델 #3 : GBM모델 주식의 수학적 모

sine-qua-none.tistory.com

에서 이어집니다. 

이번 글에서는 Geomtric Brownin Motion이 과연 어떤 성질들을 가지고 있는지 알아보겠습니다.

 

GBM을 복습하자면, 시점 t에서의 주식의 가격 St

dStSt=μdt+σdWt,

더 풀어쓰면, 만기시점 T의 예상 주가는

ST=S0exp((μ12σ2)T+σWT)

입니다. 몇 가지 성질을 정리해 보겠습니다.

 

1. GBM 은 Log normal 분포를 따른다.

Ito Lemma를 사용하면

ln(ST)=ln(S0)+(μ12σ2)T+σWT , WTN(0,T)

을 만족합니다. 여기를 참고하시면 됩니다. 

따라서,

 

ln(ST)N(ln(S0)+(μ12σ2)T,(σT)2)

입니다. ln을 취한 값이 정규분포이므로 St는 log normal 본포를 따릅니다.

로그노말에 대한 설명에 따르면 기호로

 

STLN(ln(S0)+(μ12σ2)T,(σT)2)

입니다.

 

2. GBM을 따르는 ST의 기댓값과 분산은?

log normal에 대한 설명에 따르면, ln(X)N(m,s2)일 때,

E(X)=exp(m+12s2),V(X)=e2m+s2(es21)

을 만족합니다. 

ST 에 대해서는, m=ln(S0)+(μ12σ2)T,s2=σ2T 인 상황이므로

E(ST)=exp(lnS0+(μ12σ2)T+12σ2T)=S0exp(μT)

입니다.

또한

V(ST)=S20e2μT(eσ2T1)

입니다.

 

3. GBM 은 어떤 마팅게일 프로세스와 연관이 된다?

마팅게일을 판단하는 유용한 기준 중에 하나인 Ito Lemma를 이용해 볼 생각입니다. 관련 내용은

2022.06.24 - [수학의 재미/확률분포] - 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)에 있습니다.

 

Mt=eμtSt라 놓고 Ito Lemma를 적용해 볼까요?

dMt=d(eμtSt)=d(eμt)St+eμtdSt+d(eμt)dSt=μeμtdtSt+eμt(μStdt+σStdWt)+0=eμtσStdWt

즉, dMt에 dt 항이 사라집니다. 즉

MtFt=span(Ws,st)인 filtration에 대해서 마팅게일이 된다는 뜻입니다.

수식으로 쓰면

E(MT|Ft)=Mt

입니다. 따라서

eμTE(ST|Ft)=eμtSt

가 성립합니다. 

즉!

St=eμ(Tt)E(ST|Ft)

이죠. 

분석을 해 보면, 아래 그림처럼 주식의 불확실성(noise)을 제거하면 주식의 가격은 평균적으로 μ라는 기대수익률 가지고 움직인다는 것입니다.

왠지 은행 예금같어~

 

 

 

하지만 한 가지 번잡스러운 것이, 

  • 식마다 모두 기대수익률 μ가 다르다.
  • 또 기대수익률은 시간이 지나 봐야 아는 거라, 추정하기가 거의 불가능하다.

라는 사실입니다. 세상에 존재하는 수많은 주식(지수 포함)들을 한 프레임 안에 넣어서 관찰하고 싶고, 또 모두가 인정하는 기대수익률을 찾아 그걸로 분석하고 싶은데,  방법이 없을까요? 

 

다음 글에서 한번 알아보도록 하겠습니다.

 

 

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