이번 글은
2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!
GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!
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에서 이어집니다.
이번 글에서는 Geomtric Brownin Motion이 과연 어떤 성질들을 가지고 있는지 알아보겠습니다.

GBM을 복습하자면, 시점 t에서의 주식의 가격 St는
dStSt=μdt+σdWt,
더 풀어쓰면, 만기시점 T의 예상 주가는
ST=S0exp((μ−12σ2)T+σWT)
입니다. 몇 가지 성질을 정리해 보겠습니다.
1. GBM 은 Log normal 분포를 따른다.
Ito Lemma를 사용하면
ln(ST)=ln(S0)+(μ−12σ2)T+σWT , WT∼N(0,√T)
을 만족합니다. 여기를 참고하시면 됩니다.
따라서,
ln(ST)∼N(ln(S0)+(μ−12σ2)T,(σ√T)2)
입니다. ln을 취한 값이 정규분포이므로 St는 log normal 본포를 따릅니다.
로그노말에 대한 설명에 따르면 기호로
ST∼LN(ln(S0)+(μ−12σ2)T,(σ√T)2)
입니다.
2. GBM을 따르는 ST의 기댓값과 분산은?
log normal에 대한 설명에 따르면, ln(X)∼N(m,s2)일 때,
E(X)=exp(m+12s2),V(X)=e2m+s2(es2−1)
을 만족합니다.
ST 에 대해서는, m=ln(S0)+(μ−12σ2)T,s2=σ2T 인 상황이므로
E(ST)=exp(lnS0+(μ−12σ2)T+12σ2T)=S0exp(μT)
입니다.
또한
V(ST)=S20e2μT(eσ2T−1)
입니다.
3. GBM 은 어떤 마팅게일 프로세스와 연관이 된다?
마팅게일을 판단하는 유용한 기준 중에 하나인 Ito Lemma를 이용해 볼 생각입니다. 관련 내용은
2022.06.24 - [수학의 재미/확률분포] - 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)에 있습니다.
Mt=e−μtSt라 놓고 Ito Lemma를 적용해 볼까요?
dMt=d(e−μtSt)=d(e−μt)St+e−μtdSt+d(e−μt)dSt=−μe−μtdtSt+e−μt(μStdt+σStdWt)+0=e−μtσStdWt
즉, dMt에 dt 항이 사라집니다. 즉
Mt는 Ft=span(Ws,s≤t)인 filtration에 대해서 마팅게일이 된다는 뜻입니다.
수식으로 쓰면
E(MT|Ft)=Mt
입니다. 따라서
e−μTE(ST|Ft)=e−μtSt
가 성립합니다.
즉!
St=e−μ(T−t)E(ST|Ft)
이죠.
분석을 해 보면, 아래 그림처럼 주식의 불확실성(noise)을 제거하면 주식의 가격은 평균적으로 μ라는 기대수익률 가지고 움직인다는 것입니다.

하지만 한 가지 번잡스러운 것이,
- 주식마다 모두 기대수익률 μ가 다르다.
- 또 기대수익률은 시간이 지나 봐야 아는 거라, 추정하기가 거의 불가능하다.
라는 사실입니다. 세상에 존재하는 수많은 주식(지수 포함)들을 한 프레임 안에 넣어서 관찰하고 싶고, 또 모두가 인정하는 기대수익률을 찾아 그걸로 분석하고 싶은데, 방법이 없을까요?
다음 글에서 한번 알아보도록 하겠습니다.
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