2022.06.20 - [수학의 재미/확률분포] - Log Normal Distribution
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2022.07.18 - [금융공학] - 위험중립측도와 market price of risk
위험중립측도와 market price of risk
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에서 이어집니다. 저번 글에서는
dStSt=rdt+σdWt
형태의 risk neutral measure 하에서의 GBM 을 알아봤습니다. 별 다른 첨자가 없다면 Wt를 Q 하에서의 위너프로세스라고 보면 됩니다.
○ r 은 무위험 이자율
○ σ는 주식 St 의 수익률의 표준편차, 즉 변동성입니다.
식(1)의 GBM 모델을 몇몇 방법으로 확장시켜 보겠습니다.
시간에 대한 함수로 주어진 무위험 이자율과 변동성
식(1)의 r과 σ가 상수가 아닌, 시간에 따른 함수라고 가정하는 것입니다. 상수가 아닌 함수 형태이므로 아무래도 더 모델을 시장에 잘 맞출 수 있겠죠. 수식으로 써보면
dStSt=r(t)dt+σ(t)dWt
입니다. Ito Lemm를 이용해서 풀어볼까요?
2022.06.21 - [수학의 재미/아름다운 이론] - Ito의 보조정리를 참고하시기 바랍니다.
d(ln(St))=1StdSt−12dS2tS2t=μ(t)dt+σ(t)dWt−12σ2(t)dt=(μ(t)−12σ2(t))dt+σ(t)dWt
따라서 양변을 0에서 T까지 적분하면
ST=S0exp(∫T0(μ(t)−12σ2(t))dt+∫T0σ(t)dWt)
곁가지로, ST의 기댓값을 구해보도록 하죠. 우선
E(∫T0σ(t)dWt)=∫T0E(σ(t)dWt)=∫T0σ(t)E(dWt)=0
입니다. 그리고 다음이 성립합니다.
Ito Isometry
E(∫T0σ(t)dWt)2=∫T0σ2(t)dt
Why) 0 부터 T 의 간격을 잘게 쪼개어 0=t0<t1⋯<tN=T 라 합시다. 그러면
(∫T0σ(t)dWt)2≈(N−1∑k=0σ(tk)dWk)2=N−1∑k=0σ2(tk)(dWk)2+2∑k<jσ(tk)σ(tj)dWkdWj
그런데
E(dWk)2=dt , E(dWkdWj)=E(dWk)E(dWj)=0 이므로 E(∫T0σ(t)dWt)2=N−1∑k=0σ2(tk)dt=∫T0σ2(t)dt
가 성립합니다.
따라서 식(1)에서
exp(∫T0σ(t)dWt)∼LN(0,∫T0σ2(t)dt)
이고,
Fact
X∼LN(μ,σ2) 이면 E(X)=exp(μ+12σ2) 이다.
라는 Fact (2022.06.20 - [수학의 재미/확률분포] - Log Normal Distribution 참고) 를 이용하면
수식(1)에서
E(ST)=S0exp(∫T0(μ(t)−12σ2(t))dt+12σ2(t))dt=S0exp(∫T0μ(t)dt)
가 성립합니다. μ(t)가 상수일 때는 기댓값이 eμT 였던 것을 기억해 보면, 자연스러운 확장임을 알 수 있죠.
배당을 고려하기(다음 글에서)
배당(dividend) 역시 주가를 모델링하는 데 있어서 없어서는 안 될 중요한 요소입니다. 배당락일에 주가가 배당만큼 조정을 받기 때문이죠.
주가 모델에 배당을 반영하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.
- 현실을 반영하여 배당이 한방에 반영되게 하든지(이산 배당, discrete dividend)
- 모델의 편의성을 위해 배당이 연속적으로 일정 비율만큼 반영되게 하든지 (continuous dividend)
둘 중 하나를 선택하여 많이 쓰죠.
다음 글에서 배당을 반영하는 방법에 대해서 자세하게 다뤄보도록 하겠습니다.
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