GBM의 확장판들 #1. 기대수익률/변동성을 시간함수로!

2022.06.20 - [수학의 재미/확률분포] - Log Normal Distribution

 

이번 글은

2022.07.18 - [금융공학] - 위험중립측도와 market price of risk

위험중립측도와 market price of risk

에서 이어집니다. 저번 글에서는 

$$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t \tag{1}$$

형태의  risk neutral measure 하에서의 GBM 을 알아봤습니다. 별 다른 첨자가 없다면 $W_t$를 $\mathbb{Q}$ 하에서의 위너프로세스라고 보면 됩니다. 

○ $r$ 은 무위험 이자율

○ $\sigma$는 주식 $S_t$ 의 수익률의 표준편차, 즉 변동성입니다.

 

식(1)의 GBM 모델을 몇몇 방법으로 확장시켜 보겠습니다.

 

 

시간에 대한 함수로 주어진 무위험 이자율과 변동성

식(1)의 $r$과 $\sigma$가 상수가 아닌, 시간에 따른 함수라고 가정하는 것입니다. 상수가 아닌 함수 형태이므로 아무래도 더 모델을 시장에 잘 맞출 수 있겠죠. 수식으로 써보면

 

$$ \frac{dS_t}{S_t} = r(t)dt + \sigma(t) dW_t$$

입니다.  Ito Lemm를 이용해서 풀어볼까요? 

2022.06.21 - [수학의 재미/아름다운 이론] - Ito의 보조정리를 참고하시기 바랍니다.

 

$$
\begin{align}
d(\ln(S_t)) &= \frac1{S_t} dS_t - \frac12 \frac{dS_t^2}{S_t^2} \\
  & = \mu(t) dt + \sigma(t) dW_t - \frac12 \sigma^2 (t) dt\\
  &  =\left( \mu(t)-\frac12\sigma^2(t)\right) dt + \sigma(t) dW_t
\end{align}
$$

 

따라서 양변을 $0$에서 $T$까지 적분하면

$$S_T = S_0 \exp \left(\int_0^T \left( \mu(t)-\frac12\sigma^2(t)\right) dt + \int_0^T \sigma(t) dW_t
 \right) \tag{1}$$

 

곁가지로, $S_T$의 기댓값을 구해보도록 하죠. 우선

$$ \mathbb{E}\left( \int_0^T \sigma(t) dW_t\right) = \int_0^T \mathbb{E}(\sigma(t)dW_t ) = \int_0^T \sigma(t) \mathbb{E}(dW_t )  =0 $$

입니다. 그리고 다음이 성립합니다.

 Ito Isometry

$$ \mathbb{E}\left( \int_0^T \sigma(t) dW_t\right)^2 = \int_0^T \sigma^2(t) dt $$

Why) $0$ 부터 $T$ 의 간격을 잘게 쪼개어 $0=t_0 <t_1 \cdots < t_N =T$ 라 합시다. 그러면
$$ \begin{align} \left( \int_0^T \sigma(t) dW_t\right)^2 & \approx \left( \sum_{k=0}^{N-1} \sigma(t_k) dW_k \right)^2 \\ & = \sum_{k=0}^{N-1} \sigma^2(t_k) (dW_k)^2 + 2\sum_{k<j} \sigma(t_k)\sigma(t_j) dW_k dW_j \end{align} $$  

그런데
$$ \mathbb{E}(dW_k)^2 =dt~,~ \mathbb{E}(dW_k dW_j) = \mathbb{E}(dW_k)\mathbb{E}(dW_j) = 0$$ 이므로 $$ \mathbb{E}\left( \int_0^T \sigma(t) dW_t\right)^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \sigma^2(t_k) dt = \int_0^T \sigma^2(t) dt $$
가 성립합니다.

 

따라서 식(1)에서

 

$$ \exp\left(\int_0^T \sigma(t) dW_t \right) \sim \mathcal{LN} \left( 0, \int_0^T \sigma^2(t) dt \right) $$

 

이고, 

Fact
$X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)$ 이면 $\mathbb{E}(X) = \exp\left(\mu+\frac12\sigma^2\right)$ 이다.

라는 Fact (2022.06.20 - [수학의 재미/확률분포] - Log Normal Distribution 참고) 를 이용하면

 

수식(1)에서

$$ \mathbb{E}(S_T) = S_0 \exp \left(\int_0^T \left( \mu(t)-\frac12\sigma^2(t)\right) dt + \frac12\sigma^2(t)\right) dt =S_0 \exp \left(\int_0^T  \mu(t)dt \right)$$

 

가 성립합니다. $\mu(t)$가 상수일 때는 기댓값이 $e^{\mu T}$ 였던 것을 기억해 보면, 자연스러운 확장임을 알 수 있죠.

 

 

배당을 고려하기(다음 글에서)

배당(dividend) 역시 주가를 모델링하는 데 있어서 없어서는 안 될 중요한 요소입니다. 배당락일에 주가가 배당만큼 조정을 받기 때문이죠. 

주가 모델에 배당을 반영하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다. 

• 현실을 반영하여 배당이 한방에 반영되게 하든지(이산 배당, discrete dividend)
• 모델의 편의성을 위해 배당이 연속적으로 일정 비율만큼 반영되게 하든지 (continuous dividend)

둘 중 하나를 선택하여 많이 쓰죠.

다음 글에서 배당을 반영하는 방법에 대해서 자세하게 다뤄보도록 하겠습니다.