GBM 은 어떤 모델일까?

이번 글은

2022.06.19 - [금융공학] - GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!

GBM 주가패스 만들기 #2: EveryDay 주가까지!

에서 이어집니다. 

이번 글에서는 Geomtric Brownin Motion이 과연 어떤 성질들을 가지고 있는지 알아보겠습니다.

 

GBM을 복습하자면, 시점 $t$에서의 주식의 가격 $S_t$는

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t,$$

더 풀어쓰면, 만기시점 $T$의 예상 주가는

$$ S_T = S_0 \exp\left( \left(\mu-\frac12\sigma^2\right)T+\sigma W_T \right)$$

입니다. 몇 가지 성질을 정리해 보겠습니다.

 

1. GBM 은 Log normal 분포를 따른다.

Ito Lemma를 사용하면

$$\ln(S_T) = \ln(S_0)+\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)T+\sigma W_T ~,~ W_T \sim \mathcal{N}(0,\sqrt{T})$$

을 만족합니다. 여기를 참고하시면 됩니다. 

따라서,

 

$$\ln(S_T) \sim \mathcal{N} \left( \ln(S_0)+ \left(\mu-\frac12\sigma^2\right)T, (\sigma\sqrt{T})^2 \right) $$

입니다. $ln$을 취한 값이 정규분포이므로 $S_t$는 log normal 본포를 따릅니다.

로그노말에 대한 설명에 따르면 기호로

 

$$ S_T \sim \mathcal{LN}\left( \ln(S_0)+\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)T, (\sigma\sqrt{T})^2 \right)$$

입니다.

 

2. GBM을 따르는 $S_T$의 기댓값과 분산은?

log normal에 대한 설명에 따르면, $\ln(X)\sim \mathcal{N}(m,s^2)$일 때,

$$ \mathbb{E}(X) = \exp \left(m+ \frac12 s^2 \right), \mathbb{V}(X) = e^{2m+s^2}\left( e^{s^2} - 1 \right) $$

을 만족합니다. 

$S_T$ 에 대해서는, $m =\ln(S_0)+\left(\mu-\frac12\sigma^2 \right)T , s^2 =\sigma^2 T$ 인 상황이므로

$$ \mathbb{E}(S_T) = \exp\left( \ln S_0 +\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)T+\frac12\sigma^2 T\right) = S_0 \exp(\mu T)$$

입니다.

또한

$$ \mathbb{V}(S_T) = S_0^2 e^{2\mu T}\left(e^{\sigma^2 T}-1\right)$$

입니다.

 

3. GBM 은 어떤 마팅게일 프로세스와 연관이 된다?

마팅게일을 판단하는 유용한 기준 중에 하나인 Ito Lemma를 이용해 볼 생각입니다. 관련 내용은

2022.06.24 - [수학의 재미/확률분포] - 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?)에 있습니다.

 

$$M_t = e^{-\mu t}S_t$$라 놓고 Ito Lemma를 적용해 볼까요?

$$
\begin{align}
dM_t &= d(e^{-\mu t}S_t) \\
       & = d(e^{-\mu t}) S_t + e^{-\mu t} dS_t +d(e^{-\mu t}) dS_t\\
       & = -\mu e^{-\mu t} dt S_t + e^{-\mu t}(\mu S_tdt +\sigma S_t dW_t) +0 \\
      & = e^{-\mu t} \sigma S_t dW_t   
\end{align}
$$

즉, $dM_t$에 dt 항이 사라집니다. 즉

$M_t$는 $\mathcal{F}_t = {\rm{span}}(W_s, s\leq t)$인 filtration에 대해서 마팅게일이 된다는 뜻입니다.

수식으로 쓰면

$$ \mathbb{E}(M_T |\mathcal{F}_t) = M_t$$

입니다. 따라서

$$ e^{-\mu T }\mathbb{E}(S_T|\mathcal{F}_t)  =e^{-\mu t} S_t$$

가 성립합니다. 

즉!

$$ S_t = e^{-\mu (T-t) }\mathbb{E}(S_T|\mathcal{F}_t)$$

이죠. 

분석을 해 보면, 아래 그림처럼 주식의 불확실성(noise)을 제거하면 주식의 가격은 평균적으로 $\mu$라는 기대수익률 가지고 움직인다는 것입니다.

왠지 은행 예금같어~

 

 

 

하지만 한 가지 번잡스러운 것이, 

• 주식마다 모두 기대수익률 $\mu$가 다르다.
• 또 기대수익률은 시간이 지나 봐야 아는 거라, 추정하기가 거의 불가능하다.

라는 사실입니다. 세상에 존재하는 수많은 주식(지수 포함)들을 한 프레임 안에 넣어서 관찰하고 싶고, 또 모두가 인정하는 기대수익률을 찾아 그걸로 분석하고 싶은데,  방법이 없을까요? 

 

다음 글에서 한번 알아보도록 하겠습니다.