위험중립측도와 market price of risk

이번 글은

2022.06.27 - [금융공학] - GBM 은 어떤 모델일까?

GBM 은 어떤 모델일까?

에서 이어집니다.

주식이나 지수의 움직임을 나타내는 가장 유명하고 간결한 모델이 바로 GBM이라는 얘기를 했습니다. 복습해보면 주식을 $S_t$라 했을 때,

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt +\sigma dW_t$$

라고 쓸 수 있습니다.

그리고 이러한 모델이 존재하는 확률공간은 

$$ (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_t, \mathbb{P})$$

라고 했습니다. 

 

개개인의 위험 성향이 반영된 확률 측도(physical measure)로 부터

 

여기서 확률측도 $\mathbb{P}$에 주목해 보죠.  얘는 주식 $S_t$의 찰나의 수익률인 $dS_t/S_t$를 평균 $\mu dt$이고 표준편차가 $\sigma \sqrt{dt}$가 되는 정규분포를 따르게 하는 확률 측도입니다.

여기서 $\mu$는 실제 기대되는 수익률인 것이죠. 

 

하지만 주식의 기대 수익률을  투자자의 성향에 따라 각기 다르겠죠. 리스크를 좋아하는 사람은 더 많은 수익률을 원할 것이고, 리스크를 회피하는 사람들은 작은 수익에도 만족할 것입니다. 즉, 개개인의 선호도에 따라 $\mu$는 결정되고, 주식이나 여러 금융상품의 가격도 보는 이에 따라 천차만별이 되겠죠. 이때 개개인이 가지고 있는 확률측도를 physical measure라고 합니다.

 

금융상품의 가치 결정을 위해서는 통일된 프레임 하에서 계산을 해야 합니다. 이를 위험 중립(risk nuetral)이라 합니다. 통일된 프레임이란 뭘까요? 바로 무위험 이자율입니다. 즉, 절대 망할 일 없는 은행 같은 기관에 드는 예금 금리 같은 것입니다. 무위험 이자율(risk free rate)은 영어 단어에서도 볼 수 있듯이, 위험이 정말 없는 기대수익률입니다. 현실 세계에서 봤을 땐 우리나라 국고채권의 수익률이 있습니다. 국가처럼 부도 가능성이 없는 주체에서 발행한 채권의 금리, 또 더 나아가서는 대마불사들의 은행에서 주는 금리 등이  있겠죠.

 

그럼 왜 무위험 이자율이 통일된 프레임일까요?

무위험 이자율을 $r$, 주식의 기대수익률을 $\mu$라 해봅시다.

주식의 기대수익률 > 무위험 이자율인 경우, 즉 $\mu >r$

1) 은행에서 $r$의 이율로 돈을 빌린다.
2) 그 돈으로 주식을 산다.
3) 주식의 수익률이 $\mu$이므로 망외의 수익 $\mu-r$을 얻는다(Free Lunch)

반대로

주식의 기대수익률 < 무위험 이자율인 경우, 즉 $\mu < r$

1) 주식을 하나 빌린다. (빌리는 비용은 없다고 가정)
2) 그 돈으로 예금한다.
3) 일정 기간 후 예금을 해약해서 그 돈으로 주식을 사서 갚는다. 수익이 $r-\mu$ 만큼 생긴다(Free Lunch)

 

 

공짜 점심은 없어! 를 주장하시는 밀턴 프리드만(엄청난 카리스마의 경제학자)

 

따라서 모든 금융상품을 무위험 이자율이라는 통일된 잣대에서 본다면

1) 개개인의 위험 성향을 고려하지 않은 통일된 가격이 도출됨

2) No free lunch, 즉 아무것도 하지 않은 채 돈 버는(또는 돈을 까먹는) 일이 발생되지 않음(No arbitrage)

 

 

위험 중립 측도의 등장

 

risk lover도, risk averse도 아닌 그 사이의 박쥐같은 존재 Risk nuetral, 위험이 있던 없던 무관심~

이제 개개인의 확률 측도(physical measure)를 위험과 관계없고, free lunch가 없는 세계로 바꿔봅시다.

 

명확한 구분을 위해 physical measure를 $\mathbb{P}$라 씁시다. 즉 $\mathbb{P}$측도 하에서

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}\tag{1}$$

입니다.

 

그러면

2022.06.28 - [수학의 재미/확률분포] - 확률측도를 바꿉시다: Girsanov Theorem에 의해 확률측도를 마음껏 바꿀수가 있습니다. 그 중

$$ dW_t^{\mathbb{Q}} = \frac{\mu-r}{\sigma} dt + dW_t^{\mathbb{P}} \tag{GIR} $$

이 되는 $\mathbb{Q}$를 선택해 보죠.

 

그러면 수식(1)은

 

$$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$

 

로 바뀌게 됩니다. 

 

즉 우리가 원하는 위험중립적인, 다시 말해 기대수익률이 더도 말고 덜도 말고 딱 무위험 이자율 $r$ 이 나오는 모델이 되죠. 또한

 

$$
\begin{align}
d\left( \frac{S_t}{e^{rt}} \right) &= d\left( e^{-rt}S_t \right) \\
& = -re^{-rt} S_t dt + e^{-rt} dS_t \\
& = e^{-rt} (-rS_t dt+ rS_t dt+\sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}})\\
& = e^{-rt} \sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}}\\
\end{align}
$$

 

를 보니, 

$$ \frac{S_t}{e^{rt}} \tag{2} $$

는 $dt$ 항을 가지고 있지 않습니다. 그렇다면

2022.06.24 - [수학의 재미/확률분포] - 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?) 에 의하여

 

식(2)의 process는 마팅게일이 됩니다. 즉!  시점 $t<T$가 주어져 있을 때,

 

$$ \frac{S_t}{e^{rt}} = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(\frac{S_T}{e^{rT}} \Big| \mathcal{F_t} \right) \tag{3}$$

가 성립합니다.  $e^{rt}$와 $e^{rT}$는 확률 값이 아니므로 식(3)을 더 정리해 보면

 

$$ S_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(S_T | \mathcal{F_t} \right) $$

로 정리할 수 있습니다. 심지어, 현재 시점 $t=0$에서의 값은

$$ S_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(S_T | \mathcal{F_0} \right)= e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left(S_T\right) $$

 

가 됩니다. 

 

이것이 위험 중립 측도 $\mathbb{Q}$의 powerful 한 점입니다. 곧 살펴보겠지만 금융상품의 가격결정식을 마팅게일로 만들어 도출할 수 있기 때문이죠. 오히려 마팅게일 측도가 존재해 줌으로써 금융상품의 가격이 공짜 점심 없게, 위험 중립적으로 구해질 수 있는 것입니다.

 

 

 

끝으로 앞으로 자주 쓰일 수도 있는 용어들을 정리하고 넘어가겠습니다.

 

 

용어 정리

market price of risk

수식 (GIR)에 등장하는 숫자

$$\frac{\mu-r}{\sigma}$$

를 market price of risk 라 합니다. 샤프지수와 일맥상통하는 정의입니다.

 

위험중립측도(risk neutral measure)

수식 (GIR)에 나오는 확률 측도 $\mathbb{Q}$를 위험중립측도라 합니다. physical meaure들이 market price of risk 만큼 보정되면 위험중립측도를 얻을 수 있습니다.

중요한점은 아래와 같습니다.

 

○ 위험 중립 측도 하에서 모든 금융상품의 기대수익률은 무위험 이자율 $r$이다.

○ 모든 금융상품의 가격을 마팅게일 이론으로 구할 수 있게 만들어주는 확률 측도이다.

 

Numeraire

식(3)의 프로세스 $S_t / e^{rt}$ 의 분모를 차지하는 

$$ e^{rt}$$

를 numeraire라 합니다. 위험중립 측도 공간 하에서 Numeraire로 나눠준 GBM는 마팅게일이 됩니다.

 

 

자, 이제 거의 다 왔습니다. 주가 모델링도 했고, 특히나 위험 중립 하에서 무위험 이자율만큼의 기대수익률을 가지는 것이 타당함도 설명되었습니다.

 

이제 남은 일은 온갖, 각종 금융상품의 가격을 계산해 보는 일만 남았네요. 아, 그전에 GBM 모델의 여러 확장 버전이 있는데 다음 글에서 살펴보도록 하겠습니다.