주식의 수학적 모델#2

2022.06.02 - [수학의 재미/아름다운 공식] - dW^2 = dt ?

 

이 글은

2022.05.27 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델

주식의 수학적 모델

에서 이어집니다. 위 글에서 우리는

• Wiener process $W_t$의 개념을 도입하고,
• 연간 수익률의 표준편차 $\sigma$를 설정하고
• 기대수익률을 $\mu$라고 세팅하여

주식 $S_t$의 극히 짧은 시간 $dt$동안의 움직임을

$$\frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t \tag{*}$$

라고 모델링하였습니다. ($dS_t = S_{t+dt} - S_t , dW_t = W_{t+dt}-W_t$ 입니다. 사실 $t+dt$ 이런 표현이 웃기긴 하지만, 이렇게 써놓으면 이해가 쉽습니다.)

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그럼 (여러 번) 미분 가능한 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 가 있을 때,  

$$df(S_t) = f(S_{t+dt}) -f(S_t)$$

는 식이 어떻게 될까요? 이것이 이 글의 핵심입니다. 다시 한번 말하지만 $t+dt$라는 표현은 좀 그래도 이해를 쉽게 하기 위한 표현이라는 점..

테일러 전개를 이용해 볼 생각입니다. 테일러 전개는 1 변수 함수의 테일러 전개 또는 다변수 함수의 테일러 전개를 이용해봅니다.

우선 위의 $f(S_t)$는 $S$라는 변수에 대한 일변수 함수이므로 1 변수 함수의 테일러 전개를 씁니다.

여기서 하나 중요한 게 주식을 $S_t$라고 마치 시점 $t$에 의존하는 함수처럼 표시해놓았는데, $S$는 시간에 대한 함수가 아니고 주식 가격 그 자체를 뜻하는데, 시점 $t$를 같이 병기한 표현이라고 이해하시면 됩니다.

그리고 아래에 이어지는 식들은 수학적으로 오용의 표현들이 있으나, 직관적으로 이해하기 쉽게 러프하게 쓴 것임을 알아주세요.

$$f(S+dS) = f(S) + \frac{\partial f(S)}{\partial S} dS + \frac12 \frac{\partial^2 f(S)}{\partial S^2}  (dS)^2 +\frac16 \frac{\partial^3 f(S)}{\partial S^3}  (dS)^3\cdots \tag{1}$$

 

이것을 더 정리하기 위해 $(dW_t)^2$ 은 어떤 값인지 간단하게 알아보도록 하죠.

(엄밀한 증명은 2022.06.02 - [수학의 재미/아름다운 공식] - dW^2 = dt ? 을 보시면 됩니다)

$(dW_t)^2 =dt$ 이다. 왜일까?

이미 우리는 $dW_t = W_{t+dt}-W_t$ 이므로 이는 평균이 $0$이고 분산이 $(t+dt)-t=dt$인 정규분포임을 알고 있습니다. 따라서 
$$dt = \mathbb{V}(dW_t) = \mathbb{E}[(dW_t)^2] -(\mathbb{E}(dW_t))^2 =\mathbb{E}[(dW_t)^2]$$
이므로 
$$\mathbb{E}[(dW_t)^2] =dt$$
입니다. 그럼 $(dW_t)^2$ 의 분산을 구해볼까요?
$$\begin{align} \mathbb{V}[(dW_t)^2] &=\mathbb{E}[(dW_t)^4] - (\mathbb{E}[(dW_t)^2])^2 \\ & =3dt^2 - dt^2\\ &=2dt^2 \end{align}$$
입니다. (여기서 아래 Fact1이 쓰였는데, 이것은 조만간 또 다뤄볼 것입니다.) 정리하자면,
$$\mathbb{E}[(dW_t)^2] =dt,   \mathbb{V}[(dW_t)^2]=2dt^2 \tag{2}$$
이네요.

여기서 한 가지 짚고 넘어갈 것은, $dt. dS_t , dW_t$등 앞에 $d$가 붙은 것은 미분소로서, 바꾸어 말하면 적분할 때 의미가 있는 것입니다. 예컨대,
$$\int_0^T dt = T \tag{3}$$ 이런식으로요, 구분구적법으로 얘기하자면 $[0,T]$ 사이를 매우 매우 잘게 나누어, 즉 $n$개의 구간으로 나누면 한 구간이 $\frac Tn$이 되어 합한 뒤 $n$을 무한대로 보내죠? 그만큼 $dt$는 작은 숫자입니다.
 
그래서 $dt$는 아무리 작은 값이라도 적분 인자로서 그 가치가 살아 있습니다. 그런데 $dt^2$은 어떨까요? 작은 수를 두 번 곱했으니 그 작음은 이루 말할 수 없을 겁니다, 충분히 무시할만하죠. 아주 직관적으로 설명하자면, 수식(3)처럼 
$$\int_0^T dt^2$$ 을 계산해본다 합시다. 그러면 이것은 $dt \rightarrow 0$ 일 때,
$$\int_0^T dt^2  = \left(\int_0^T dt \right) \cdot dt = T\cdot dt \rightarrow 0$$
이렇게 되는 것이죠.
수식(2)로 돌아가 볼까요? $\mathbb{V}(dW_t^2) =2dt^2$ 으로, 그냥 값이 0이라 생각할 수 있습니다. 어떤 확률변수의 분산이 0이다. 이 뜻이 뭘까요? 바로 확률변수 자체가 평균이랑 또옥같다 이런 말입니다, 즉,
$$(dW_t)^2  = dt$$
라고 볼 수 있는 것이지요.



Fact1. 확률변수 $X$가 $N(0,\sigma^2)$의 정규분포를 따를 때, $\mathbb{E}(X^4) = 3\sigma^4$ 입니다.

다시 식(1)로 돌아가 봅시다. 식 (1)에는 $dS$와 $dS^2, dS^3$ 이라는 항들이 보이죠?  얘네을 계산해 보도록 합시다.

$$\require{cancel}\begin{align} dS^2 & =  (\mu S_t dt +\sigma S_t dW_t)^2 \\         & = \mu^2 S_t^2 dt^2 + 2\mu\sigma dt dW_t + \sigma^2 S_t^2 dW_t^2 \\         & = \cancelto{0}{\mu^2 S_t^2 dt^2} +   \cancelto{0}{2\mu\sigma dt \sqrt{dt}} + \sigma^2 S_t^2 dt \end{align}$$

$dt$의 degree가 1 초과된 것들 즉 $\alpha>1$ 에 대해 $dt^\alpha$는

$$dt^\alpha = dt\cdot dt^{\alpha-1}  \rightarrow 0$$

임을 이용한 것입니다. $dt^2 , dt\sqrt{dt}$모두 $0$인 것이죠. $dt$만 살려주는 거죠.

그럼 $dS^3$을 계산해 볼까요? $dt^3 , dt^2 \sqrt{dt} , dt^2, dt\sqrt{dt}$ 항들로 이루어져 있습니다. 얘네들 모두 $0$이죠.

$dS^4 , dS^5, \cdots$ 얘네들도 마찬가지입니다. 죄다 $0$입니다.

즉 이렇게 Wiener process가 끼어있는 확률과정에 대한 테일러 전개는

2차식까지만 살아남는다! 2차식은 $dW_t^2  = dt$ 때문에 산다!!

 

입니다. 이 이론을 수학적으로 확장시킨 것이 바로 Ito Lemma 입니다. 말이 너무 길어지네요, 이제 수식 (*)를 정리해봅시다.

 

$$\begin{align}  f(S+dS) &= f(S) + \frac{\partial f(S)}{\partial S} (\mu S_t dt +\sigma S_t dW_t)+ \frac12 \frac{\partial^2 f(S)}{\partial S^2}  \sigma^2 S_t^2 dt \\             & = f(S) +\left(\mu S_t  \frac{\partial f}{\partial S} + \frac12 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}  \sigma^2 S_t^2 \right) dt + \left(\sigma S_t  \frac{\partial f}{\partial S} \right) dW_t  \end{align}$$

(수식이 복잡해 보여, $f(S) =f$라고 그냥 썼습니다.) 한 번만 더 정리할게요. $df =f(S+dS) -f(S)$ 이므로

$$df(S) = \left(\mu S_t  \frac{\partial f}{\partial S} + \frac12 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}  \sigma^2 S_t^2 \right) dt + \left(\sigma S_t  \frac{\partial f}{\partial S} \right) dW_t \tag{**}$$

 

입니다. 이 식 외우기가 벅차죠? 딱 3개만 알고 있으면 됩니다.

• 테일러 전개
• $(dW_t)^2 = dt$
• $dt$의 1승 초과하는 승은 모두 $0$

이 세가지만 알면 식(**)은 외울 필요가 없습니다. 이제 이걸 이용해서 어떤 것들을 할 수 있는지 다음 글에서 알아보도록 하겠습니다.