테일러 전개 #1

무한번 미분가능한 함수 $f(x):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 이 있다고 합시다.

테일러전개(Taylor Expansion)의 요지는 무한번 미분가능한 함수를 우리가 아주 잘 알고 있는 다항식으로 표현하고자 하는 것입니다.

물론 원래 주어진 함수 $f$는 일반적으로 다항식이 아니므로 이것을 유한차항의 다항식의 합으로 쓸 순 없게죠. 보통 테일러 전개는 무한차항의 다항식의 합으로 표현이 됩니다.

 

무한을 다룸에 있어서 수학적으로 엄밀한 증명이 요구되는 주제이지만, 본 블로그의 속성상, 가볍게, 많은 논리적 허점들은 쉬쉬 건너뛰면서 한번 이야기해보도록 하겠습니다.

 

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특정한 점 $x=a$를 기준으로 잡읍시다. 그리고 (무한)다항식을 다음과 같이 설정합니다.

$$f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2+ \cdots + a_n (x-a)^n +\cdots \tag{1}$$

 

$a_0$는 어떻게 구할까요?

우변의 다항식에 $x=a$를 넣으면 우변은 $a_0$ 만 남게 됩니다. 좌변은 $f(a)$죠. 따라서

$$a_0 = f(a)$$

입니다.

이제 양변을 미분해 봅시다.

$$f'(x) = a_1 +2a_2(x-a) + 3a_3(x-a)^2 + \cdots $$

입니다. 여기에 다시 $x=a$를 대입하면, 

$$ a_1 = f'(a)$$

를 얻습니다.

일반적으로 $a_n$은 어떻게 얻을까요? 

수식(1)을 $n$번 미분해 보면 됩니다. 좌변은 $f^{(n)}(x)$가 되고 우변은 어떻게 될까요. $a_n(x-a)^n$ 항 전의 항들인

$$a_0 + a_1(x-a) +\cdots + a_{n-1}(x-a)^{n-1}$$

은 미분을 $n$번 하면 다 0 이 됩니다. 그리고 $a_n(x-a)^n$항 후의 항들인

$$ a_{n+1}(x-a)^{n+1}+a_{n+2}(x-a)^{n+2} +\cdots $$

은 $n$번 미분하면 어떤 복잡한 식이 나오겠지만 항 각각이 모두 $(x-a)$항이 곱해져 있습니다.

어차피 우리는 여기에 $x=a$를 대입할 것이므로 이 항들도 결국은 $0$이 됩니다. 그러면 우리가 관심가질 만한 유일한 항은 바로

$$a_n(x-a)^n$$

입니다.

$n$번 미분하면 어떻게 될까요? 바로

$$ n! a_n $$

이 됩니다. 따라서

$$f^{(n)}(a) = n! a_n $$ 

이므로

$$ a_n = \frac1{n!} f^{(n)}(a) $$

를 얻습니다.

따라서 최종적으로

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}2 (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\cdots  = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

를 얻습니다.

 

여기서, 한가지 주의해야 할점이 있습니다. 우변이 무한개의 합이죠? 항상 이럴때는 수렴성이 문제가 됩니다. 결론만 말하면 $|x-a|$값이 얼마나 작은지, 얼마나 큰지에 따라 수렴할지 안할지가 결정되게 됩니다. 더욱 신기한것은, 수렴반경이라 불리는 $R$이라는 숫자가 있어서 이 숫자가 수렴성 모든 것을 결정합니다. 구체적으로

• $|x-a|<R$을 만족하는 모든 실수 $x$에 대해 무한다항식은 수렴한다.
• $|x-a|>R$을 만족하는 모든 실수 $x$에 대해 무한다항식은 발산, 즉 저러 다항식 확장이 의미가 없어진다.
• $|x-a| =R$인 경우는 $x= a\pm R$ 인데, 이 때는 각각 수렴, 발산을 따져 봐야 하다.

입니다. 

또한 증명은 생략하겠지만, 테일러 전개의 양변 미분, 적분을 하여도 등식이 성립합니다. 이 사실로 인해 다양한 함수의 테일러 전개를 아주 쉽게 얻어 낼수 있습니다. 

 

테일러 전개의 몇몇 예제를 보겠습니다.

$f(x)=\exp(x)$ 의 테일러 전개

$f(x)=\exp(x)$는 몇번을 미분하더라도 자기자신입니다. 따라서 $x=0$ 에서의 테일러 전개를 구하면

$$f(x) = 1+x+\frac12x^2 +\frac1{3!}x^3 + \cdots + \frac1{n!}x^n +\cdots $$

입니다. 

수렴반경은 따로 없고, 모든 실수 $x$에 대해서 우변이 수렴합니다.

 

$f(x) = \sin x, f(x) = \cos x$의 테일러 전개

$f(x) = \sin(x)$ 를 먼저 보겠습니다. $x=0$에서의 테일러 전개를 구합니다.

삼각함수의 특성상 $f$를 짝수번 미분하면 $\pm \sin x$가 됩니다. 따라서 짝수번 미분한 것에 $x=0$을 대입하면 0이 나오므로 짝수항의 계수가 모두 $0$이 나옵니다. 홀수 번 미분한 것을 보면,

$$f'(x) = \cos x, f^{(3)}(x) = -\cos x, f^{(5)}(x) = \cos x , \cdots $$

이렇게 $\pm \cos x$ 가 나옵니다. 따라서 $x=0$을 대입하면 $f^{(2m+1)}(0) = (-1)^m $이 나옵니다($m\ge 0$) 즉,

$$a_{2m+1} = \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} $$ 이 되므로 

$$ \sin x = x - \frac1{3!}x^3 + \frac1{5!}x^5 + \cdots + \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1} +\cdots $$

입니다.

이제 양변을 $x$로 미분하면

$$ \cos x = 1- \frac1{2!}x^2 + \frac1{4!}x^4 + \cdots +\frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m} +\cdots $$

을 얻습니다.

이 함수들도 수렴반경이 따로 없습니다. 모든 실수 $x$에 대해서 성립하는 것이죠.

 

무한등비 급수와 관련된 테일러 전개

고등학교 때, $|x|<1$인 실수 $x$에 대하여 

$$ \frac1{1-x} = 1+x+x^2 + \cdots \tag{2}$$

가 성립함을 배웠을 것입니다. 우변은 무한 다항식의 형태이므로 이는 함수 $\frac1{1-x}$의 $x=0$에서의 테일러 전개입니다.(고등학교 때 이미 테일러 전개의 한 예제를 배운것이죠) 

 

또한 이 예제는 수렴반경의 중요성을 이야기 해줍니다. 만일 수렴반경을  고려하지 않고 수식 (2)의 양변에 $x=2$를 대입하면 어떤일이 일어날까요?

$$ -1 = 1+2+2^2 + 2^3 +\cdots $$ 

이런 말도 안되는 등식이 나오게 됩니다. 따라서 항상 수렴반경이 중요함을 염두에 두어야 합니다. 

 

수식(2)에서 얻을 수 있는 식이 굉장히 많습니다.

수식(2)의 양변에 $x$ 대신 $-x$를 넣으면

$$ \frac1{1+x} = 1-x+x^2- x^3 +\cdots \tag{3} $$ 

을 얻습니다.

 

수식(2)을 적분해 볼까요? 수식(2)의 변수 $x$를 다른 이름 $t$로 치환하고 양변에 $\int_0^x$를 취하면

$$ \int_0^x \frac1{1-t} dt = \int_0^x (1+t+t^2 + \cdots )dt $$

이므로

$$[-\ln (1-t)]_{0}^x = x+\frac{x^2}2 +\frac{x^3}3 +\cdots $$ 

즉

$$ \ln (1-x) =-x - \frac12x^2 -\frac13 x^3 -\cdots \tag{4} $$

를 얻게 됩니다. 자세한 설명은 생략하지만, 테일러 전개의 미분,적분은 수렴반경을 유지하는 특징이 있습니다. 따라서 수식(4)의 수렴반경도 $1$, 즉 $|x|<1$에서 수렴합니다.

 

수식(4)에 $x$대신 $-x$를 집어넣으면

$$ \ln (1+x ) = x -\frac12x^2 + \frac13 x^3 -\frac14 x^4 +\cdots  \tag{5} $$ 

를 얻습니다. 

 

수식(3)에 $x$대신 $t^2$을 집어넣어 볼까요?

$$\frac1{1+t^2} = 1-t^2 + t^4 -t^6 +\cdots $$ 가 성립합니다.

양변을 $t=0$에서 $t=x$까지 적분하면

$$ \arctan x = \int_0^x \frac1{+t^2}dt = \int_0^x (1-t^2 + t^4 -\cdots )dt = x-\frac13 x^3 + \frac15 x^5 -\cdots \tag{6}$$을 얻습니다.

 

다음 글에서는 테일러 전개로 과연 어떤 결과들을 얻을 수 있는지 재미있는(?) 내용들을 준비해 보겠습니다.