테일러 전개 #2 - 다변수의 테일러 전개

 

이번 글은

2022.05.19 - [수학의 재미/아름다운 이론] - 테일러 전개 #1

테일러 전개 #1

를 $n$변수 함수에 대해 확장한 것입니다. 1변수를 함수이고 무한번 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대해서 점 $x=a$에서의 테일러 전개는

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac12 f''(a)(x-a)^2 +\cdots $$

입니다. $x-a = v$로 정의하고 다시 $a$를 $x$로 표시하면, 위 식은

$$ f(x+v) = f(x) + f'(x)v + \frac12 f''(x)v^2 +\cdots \tag{1}$$

이렇게 쓸 수 있습니다. 

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내용을 확장하여 $f$를 $n$변수 함수라 가정합시다. 즉 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 입니다. 그러면 이 함수는 $n$개의 성분으로 이루어진 $n$차원 벡터를 인풋으로 받는 함수겠죠. 이를

$\mathbf{x} =(x_1,x_2,\cdots, x_n)$으로 씁시다. 그럼 수식(1)의 $v$도 자연스럽게 $n$벡터가 되어야 되죠. 즉,

$\mathbf{v} = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$ 입니다.

$\mathbf{x}$를 벡터형식으로 썼는데, 수식에 따라  $n\times 1$행렬

$$ \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
$$

로도 혼용해서 자유롭게 쓰겠습니다. $\mathbf{v}$도 마찬가지입니다.

 

계속 이어서, 수식(1)에서 1계미분, 2계미분을 뜻하는 $f'(x)$와 $f''(x)$는 어떻게 정의될까요?

• $f'(x)$는 $\nabla f(\mathbf{x})$ 에 대응됩니다. $\nabla f$는 $f$의 gradient 즉, 기울기 벡터를 뜻합니다.
• $f''(x)$는 헤세행렬(Hessian matrix) $H_f$에 대응됩니다.be

그러면 수식 (1)에서 각각의 term들은

• $f'(x)v$ 는 $\nabla f(x)^t \cdot \mathbf{v}$ (내적) 으로 대응이 되고
• $f''(x)v^2$는 $\mathbf{v}^t H_f \mathbf{v}$ 로 대응이 됩니다.

마지막으로 gradient와 헤세행렬을 각각 정의해봅시다.

$$\nabla f(\mathbf{x}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^t, $$ 

(행렬로는 $n\times 1$행렬)

 

$$H_f = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}\\
\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_n} \end{pmatrix} $$

입니다. $n=1$일 때를 상상해 보면 우리가 아는 1계미분, 2계미분의 확장판이라는 것을 알 수 있죠.

 

결론적으로 $n$변수 함수 $f$의 테일러 전개는

$f(\mathbf{x} +\mathbf{v}) = f(\mathbf{x}) + \nabla f(x)^t \cdot \mathbf{v} + \frac12 \mathbf{v}^t H_f \mathbf{v} +\cdots \tag{2} $ 

입니다.

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2변수 함수의 테일러 전개

식(2)에서 $\mathbf{x} = (x_1, x_2)$ 라 하고 $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ 라 합시다.

$$ \nabla f(\mathbf{x}) = \left( \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2} \right) $$

이고 

$$ H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_1^2 } &
\frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_1 \partial x_2 } \\
\frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_1 \partial x_2 } & \frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_2^2 } \end{pmatrix} $$

 

정리하면

$$ \begin{align} f(x_1+v_1 , x_2+v_2 ) = f(x_1,x_2) + &\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}v_1 + \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}v_2\\ &+\frac12 \frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_1^2 } v_1^2 + \frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_1 \partial x_2 } v_1v_2 + \frac12 \frac{\partial^2 f(\mathbf{x})}{\partial x_2^2 } v_2^2 +\cdots \end{align}$$

가 됩니다.

 

위의 다변수 테일러전개를 이용하여 금융공학에서 기본이 되는 이토보조정리를 설명할 수 있습니다.