주식의 수학적 모델 #1

 

이 글은

2022.05.25 - [금융공학] - KOSPI수익률의 분포는 어떤 모양일까? #2

KOSPI수익률의 분포는 어떤 모양일까? #2

에서 이어집니다. 복습을 하자면, KOSPI의 $N$일  수익률에 대하여 다음의 사실을 관찰했습니다.

 

☞ 1일 수익률의 표준편차를 $\sigma$ 라 하면, $N$일 수익률의 표준편차는 $\sigma \sqrt{N}$ 이다.

☞ 수익률의 분포는 정규분포이다.

 

이제, KOSPI 지수에서 탈피합니다. 위의 관찰은 비단 지수뿐만 아니라 모든 거래가능한 주식, 환율 등에 대해 관찰이 됩니다.  이를 통틀어 간단하게 주식(stock)이라 할게요.

시점 $t$에서의 주식을 $S_t$ 라 씁시다. 

위의 관찰에서 한 가지 바뀌는 게 있습니다. 1일 수익률을 기준으로 $N$일 수익률의 표준편차를 찾아봤다면  이제 

1년 수익률의 표준편차를 기준으로 한다

는 것입니다. 

$\sigma$를 1년 수익률의 표준편차라 합시다(이걸 나중에 변동성이라고 많이 부를 것입니다.) 

그리고 극히 짧은 시간 간격 $\Delta t$를 정의합니다. 이 시간 단위도 1년을 기준으로 합니다.

 

만일 $\Delta t = \frac1{365}$라면 1day를 뜻하는 것이죠. 그렇다면 1일 변동성은 $\sigma\sqrt{\Delta t}$가 되겠죠,

 

또한 $\Delta t$ 시간 동안의 주식 $S_t$의 수익률을 

 $$ \frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t} $$

입니다. 이게 바로 표준편차를 $\sigma\sqrt{\Delta t}$로 가지는 거구요. 

이제 평균 만 세팅하면 주가 모델링이 끝납니다. 이 주식의 기대수익률을 연 $\mu$라 합시다. 그럼 짧은 시간 $\Delta t$동안의 기대수익률은 

$$ \mu \Delta t $$

입니다.

위의 내용을 종합하면,

$$ \frac{S_{t+\Delta t}-S_t}{S_t} \sim N(\mu dt,  (\sigma\sqrt{\Delta t})^2) \tag{1}$$

입니다. 여기서 $N(\alpha,\beta^2)$ 는 평균이 $\alpha$이고 표준편차가 $\beta$인 정규분포의 기호입니다. 

만일 어떤 확률변수 $Z_t$를 $N(0, (\Delta t)^2)$ 을 따르는 정규분포라 가정하고,

$$\Delta S_t = S_{t+\Delta t} - S_t$$

라 한다면, 수식(1)은

$$ \frac{\Delta S_t}{S_t} = \mu\Delta t + \sigma Z_t, ~~Z_t \sim N(0,(\sqrt{\Delta t})^2) \tag{2} $$

라 쓸 수 있습니다. 수식(2)의 $\Delta t,  Delta S_t$를 무한히 작은 값(미분소, differential)으로 바꾸어 보면 다음의 식을 얻게 됩니다.

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma Z_t ~~Z_t \sim N(0, {\sqrt{dt}}^2) \tag{3}$$

 

 

 

여기서 중요한 확률변수가 등장합니다. 이 확률변수는 시간에 따라서도 계속 정의되는 process로써 확률변수 대신 확률과정(stochastic process)이라고 불립니다. 

 

위너 프로세스(Wiener process)

간단히 살펴보자면, 위너 프로세스는 다음의 4가지 성질을 만족하는 확률과정입니다.

 

1. 임의의 시점 $t>0$ 와 time interval $\Delta t >0$에 대하여, $W_{t+\Delta t}-W_t$는 $N(0,(\Delta t)^2)$ 을 따른다.

2. (현재)시점 $t=0$에서 이 값은 0이다. 즉, $W_0 =0 $ 이다.

3. 임의의 시점 $t_1<t_2<t_3$ 에 대하여 $W_{t_3}-W_{t_2}$ 와 $W_{t_1}$은 독립이다.      (즉, 시점 t_1 전까지 발생한 사건들은 그 이후 시점에 벌어진 사건들과는 관계가 없다.)

4. $t$에 대해서 연속함수이다.

이제 위너 프로세스틀 사용하여 수식(3)을 다시 모델링해보겠습니다. 위너 프로세스의 1번 성질에 의해,

$$ Z_t \sim N(0, dt)$$

이 부분을 자연스럽게 

$$ W_{t+dt} - W_{t} \sim N(0, dt)$$

라고 고칠 수 있겠죠? 이렇게 $Z_t$ 대신 위너프로세스 $W_t$로 정의하는 겁니다, (그럼 위의 2~4번 성질도 같이 따라옵니다.)

또한 

$$ dW_t = W_{t+dt} - W_{t}$

로 미분소를 사용하여 쓸 수 있으므로 수식 (3)은 궁극적으로!

$$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t $$

라 쓸 수 있습니다.($W_t$는 위너프로세스) 

 

다음 글에서는 이 주가 모델에 아주 유명한 이름(Geometric Brownian Motion)을 붙여줄 계획입니다.