KOSPI 수익률의 표준편차는? #4(로그수익률)

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2022.05.20 - [금융공학] - KOSPI 수익률의 표준편차는? #3 (로그수익률)

KOSPI 수익률의 표준편차는? #3 (로그수익률)

에서 이어집니다. 하루사이의 지수가 $S_{t-1}$에서 $S_t$로 변할 때, 일반수익률과 로그수익률은 각각

구분	수식
일반수익률	$\frac{S_t-S_{t-1}}{S_t}$
로그수익률	$\ln(S_t/S_{t-1})$

로 정의된다고 했습니다.

 

로그수익률은 어떤 특징이 있을까요? 

지수의 수열(time series라고도 합니다.) $S_t , S_{t+1}, \cdots, S_{t+N}$ 가 있다고 합시다. 하루하루의 주가지수의 값으로서 오늘을 $t$시점이라고 하고 $N$일 뒤를 $t+N$이라 한 것입니다.

하루하루의 로그수익률은 어떻게 될까요? 

시점	지수의 값	로그수익률
$t+N$	$S_{t+N}$	$\ln(S_{t+N}/S_{t+N-1})$
$t+N-1$	$S_{t+N-1}$	$\ln(S_{t+N-1}/S_{t+N-2})$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$t+1$	$S_{t+1}$	$\ln(S_{t+1}/S_t)$
$t$	$S_t$

$N$개의 로그수익률을 합해볼까요?

 

 $$
\begin{align}
\ln\Big(\frac{S_{t+1}}{S_t}\Big) &+ \ln\Big(\frac{S_{t+2}}{S_{t+1}}\Big) +\cdots + \ln\Big(\frac{S_{t+N}}{S_{t+N-1}}\Big) \\
& = \ln \Big( \frac{S_{t+1}}{S_t} \cdots \frac{S_{t+N}}{S_{t+N-1}} \Big) = \ln\Big(\frac{S_{t+N}}{S_t}\Big)
\end{align}
$$

 

최종결과를 보면 

$$ \ln\Big(\frac{S_{t+N}}{S_t}\Big) $$

가 나왔습니다. 어떻게 해석이 되나요? 시점 $t$에서 $t+N$까지 $N$일 간격의 로그 수익률이죠

이렇듯 $N$일 간격의 로그수익률을 $1$일 간격 로그수익률의 합으로 표시될 수 있습니다. 

---

위의 로그수익률이 성질을 이용해서 다음의 특성을 설명할 수 있습니다. $t$시점의 로그수익률을 $v_t$라 합시다.

이랬을 때, $N$일 간격의 로그수익률의 분산을 구해봅시다.

시점 $t$와 $t+N$사이의 로그수익률은 $\ln(S_{t+N}/S_{t})$ 이고 이것은 위의 덧셈 성질에 따라

$$\ln(S_{t+N}/S_{t}) = \ln v_{t+1} +\ln v_{t+2} +\cdots +\ln v_{t+N} \tag{1}$$

입니다.

그리고 1일 로그수익률의 표준편차를 $\sigma$라 해봅시다. (엑셀을 이용해 표준편차 구하는 방법을 참고해 보시기 바랍니다.)

 

여기서 중요한 사실이 하나 있습니다. 바로 오늘의 수익률은 어제의 수익률과 아예 관계가 없다는 것입니다. 어제 수익률이 플러스라고 해서 오늘 플러스여야 할 이유도 없고, 어제까지 많이 떨어졌다고 해서 오늘은 오른다는 보장도 없죠. 학문적인 말로 이를 

주가의 움직임은 Random Walk 이다.

라고 합니다. 지금까지의 과거 움직임과 상관없이 오늘 움직인다 라는 것이죠. 즉, 로그수익률

$$\ln v_{t+1},  \ln v_{t+2}, \cdots, \ln v_{t+N} $$

는 모두 독립입니다. 또한 이들 각각은 똑같이 일일 로그수익률을 의미하므로 확률변수로서 그 분포가 같습니다. 

이를 독립항등분포라 합니다. 영어로는 iid (independent and identically distributed)라고 하죠.

 

자 드디어 $N$일 간격의 로그수익률 분산 구할 준비가 되었습니다. 식 (1)에 의해

$$\begin{align}
\mathbb{V}(\ln(S_{t+N}/S_{t})) &= \mathbb{V}(\ln v_{t+1} +\ln v_{t+2} +\cdots +\ln v_{t+N})\\
&= \mathbb{V}(\ln v_{t+1}) +\mathbb{V}(\ln v_{t+2}) +\cdots +\mathbb{V}(\ln v_{t+N}))\\
&= \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 \\
&= N\sigma^2
\end{align}$$

 

따라서

$$\sqrt{\mathbb{V}(\ln(S_{t+N}/S_{t}))} = \sigma \sqrt{N} $$

 

입니다.

우리가 엑셀 실험으로 추세선까지 그려서 예측했던 $\sqrt{N}$이 로그수익률로 하니 수학적으로까지 증명이 됩니다. 엑셀실험에서는 일반수익률로 했지만요. 그런데 수익률과 로그수익률이 테일러 전개에 의해 거의 비슷한 값이므로 본 관찰의 결과는 합리적이었던 것 같습니다.