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2022.05.20 - [금융공학] - KOSPI 수익률의 표준편차는? #3 (로그수익률)
KOSPI 수익률의 표준편차는? #3 (로그수익률)
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에서 이어집니다. 하루사이의 지수가 St−1에서 St로 변할 때, 일반수익률과 로그수익률은 각각
구분 | 수식 |
일반수익률 | St−St−1St |
로그수익률 | ln(St/St−1) |
로 정의된다고 했습니다.
로그수익률은 어떤 특징이 있을까요?
지수의 수열(time series라고도 합니다.) St,St+1,⋯,St+N 가 있다고 합시다. 하루하루의 주가지수의 값으로서 오늘을 t시점이라고 하고 N일 뒤를 t+N이라 한 것입니다.
하루하루의 로그수익률은 어떻게 될까요?
시점 | 지수의 값 | 로그수익률 |
t+N | St+N | ln(St+N/St+N−1) |
t+N−1 | St+N−1 | ln(St+N−1/St+N−2) |
⋮ | ⋮ | ⋮ |
t+1 | St+1 | ln(St+1/St) |
t | St |
N개의 로그수익률을 합해볼까요?
ln(St+1St)+ln(St+2St+1)+⋯+ln(St+NSt+N−1)=ln(St+1St⋯St+NSt+N−1)=ln(St+NSt)
최종결과를 보면
ln(St+NSt)
가 나왔습니다. 어떻게 해석이 되나요? 시점 t에서 t+N까지 N일 간격의 로그 수익률이죠
이렇듯 N일 간격의 로그수익률을 1일 간격 로그수익률의 합으로 표시될 수 있습니다.
위의 로그수익률이 성질을 이용해서 다음의 특성을 설명할 수 있습니다. t시점의 로그수익률을 vt라 합시다.
이랬을 때, N일 간격의 로그수익률의 분산을 구해봅시다.
시점 t와 t+N사이의 로그수익률은 ln(St+N/St) 이고 이것은 위의 덧셈 성질에 따라
ln(St+N/St)=lnvt+1+lnvt+2+⋯+lnvt+N
입니다.
그리고 1일 로그수익률의 표준편차를 σ라 해봅시다. (엑셀을 이용해 표준편차 구하는 방법을 참고해 보시기 바랍니다.)
여기서 중요한 사실이 하나 있습니다. 바로 오늘의 수익률은 어제의 수익률과 아예 관계가 없다는 것입니다. 어제 수익률이 플러스라고 해서 오늘 플러스여야 할 이유도 없고, 어제까지 많이 떨어졌다고 해서 오늘은 오른다는 보장도 없죠. 학문적인 말로 이를
주가의 움직임은 Random Walk 이다.
라고 합니다. 지금까지의 과거 움직임과 상관없이 오늘 움직인다 라는 것이죠. 즉, 로그수익률
lnvt+1,lnvt+2,⋯,lnvt+N
는 모두 독립입니다. 또한 이들 각각은 똑같이 일일 로그수익률을 의미하므로 확률변수로서 그 분포가 같습니다.
이를 독립항등분포라 합니다. 영어로는 iid (independent and identically distributed)라고 하죠.
자 드디어 N일 간격의 로그수익률 분산 구할 준비가 되었습니다. 식 (1)에 의해
V(ln(St+N/St))=V(lnvt+1+lnvt+2+⋯+lnvt+N)=V(lnvt+1)+V(lnvt+2)+⋯+V(lnvt+N))=σ2+⋯+σ2=Nσ2
따라서
√V(ln(St+N/St))=σ√N
입니다.
우리가 엑셀 실험으로 추세선까지 그려서 예측했던 √N이 로그수익률로 하니 수학적으로까지 증명이 됩니다. 엑셀실험에서는 일반수익률로 했지만요. 그런데 수익률과 로그수익률이 테일러 전개에 의해 거의 비슷한 값이므로 본 관찰의 결과는 합리적이었던 것 같습니다.
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