KOSPI수익률의 표준편차는? #2

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2022.05.17 - [금융공학] - KOSPI 수익률의 표준편차는? #1

KOSPI 수익률의 표준편차는? #1

에서 이어집니다. 지난 글에서는 KOSPI 데이터를 가지고 $N$일 간격 수익률(또는 등락률)을 구해봤습니다.

$N=1$부터 $N=10$까지 구해봤었죠.

이제 각각의 $N$에 대해서 수익률의 표준편차를 구해보겠습니다.

 

엑셀에서 제공하는 표준편차 수식은 STDEV입니다. 링크를 따라 들어가 보면 아시겠지만, STDEV함수는 

• 데이터가 모집단인 경우: STDEV.P
• 데이터가 표준편차인 경우: STDEV.S

를 씁니다. 본 KOSPI 자료는 표본집단이므로 STDEV.S를 사용하겠습니다.(사실 표본갯수가 워낙많아 STDEV.P를 써도 값이 거의 변하지 않습니다.)

 

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2012.3.6 - 2022.4.29 사이의 KOSPI지수의 $N$일 간격 수익률 2500개가 그 대상입니다. 

예를 들어, 위 그림에서 C5:C2504의 2500개 셀의 1일 간격 수익률의 표준편차는 STDEV.S로 구할 수 있습니다.

 

 

이를 C열에서 L열까지 드래그하여 각 표준편차를 구합니다.

이를 엑셀차트(분산표나, 표식이 있는 꺾은선)으로 그려보면 위와 같습니다.

 

이제, 추세선을 그려볼 생각입니다.  추세선에 대한 내용은 추세선내용정리 를 참고하면 됩니다.

추세선 내용정리 링크를 따라가 보면 이 추세선은 선형으로 선택할 수도, 아니면 지수나 로그같은 곡선으로 선택할 수도 있습니다.

위 그림을 보면 조금 위로 볼록해 보이지 않은가요? 따라서 추세선이 곡선의 형태일수도 있을 것 같습니다.

추세선이 선형인 경우와 거듭제곱인 경우의 $R^2$을 비교해 볼까요?

 

선형인 경우 $R^2$은 0.97로서 무척 높은 수치이긴 하나, 거듭제곱의 값에 비하면 초라해보입니다. 거듭제곱으로 추세선을 선택할 경우 $R^2$이 거의 1이 나오죠. 또한 중요한 사실이 있습니다!

 

거듭제곱의 경우 추세선의 수식이

$$y=0.0097 x^{0.5133}$$

이 나왔습니다.

 

이 식의 앞에 곱해진 0.0097, 바로 위의 표준편차표의 1일 간경의 표준편차랑 값이 똑같습니다.

 

바로 이렇게 말입니다. 또한, 예단하기는 어렵지만, $x$의 거듭제곱 수인 0.5133 은 0.5에 근사합니다.

 

따라서 정리를 해보자면,

 

1. $N$일 간격 수익률의 표준편차는 거듭제곱 $y=ax^b$ 형의 추세를 따르는 거 같은데,

2. 상수로 곱해진 $a$는 왠지 1일 간격 수익률의 표준편차이고.

3. 지수승인 $b$는 0.5 로 해석할 수 있다.

즉,

 

$N$일 수익률의 표준편차 = 1일 수익률의 표준편차 $\cdot \sqrt{N}$

 

이 성립하지 않겠느냐 하는 것입니다. 이는 매우 중요한 관찰 결과입니다.

 

이 관찰결과는 또 다른 수학적 방법으로도 설명할 수 있는데, 이에 대해서는 다음 글에서 소개하도록 하겠습니다.