KOSPI 수익률의 표준편차는? #3 (로그수익률)

이 글은

 

2022.05.17 - [금융공학] - KOSPI수익률의 표준편차는? #2

KOSPI수익률의 표준편차는? #2

에서 이어집니다. 지난 글에서의 결론은 KOSPI 지수의 $N$일 간격의 표준편차가 왠지

 

$N$일 수익률의 표준편차 = 1일 수익률의 표준편차 $\cdot \sqrt{N}$

 

의 관계식을 가지지 않겠는냐 유추해 본 것이었습니다. 사실 이 추론을 뒷받침하는 수학적 이론의 근거는 또 있습니다.

 

지수수익률에 대한 다른 정의입니다.  수익률의 일반적인 정의를 복습하면 다음과 같습니다.

시점 $t$의 KOSPI 지수를 $S_t$, 바로 전날의 지수값을 $S_{t-1}$ 이라 합시다. 그럼 수익률 $u_t$는

$$u_t = \frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}$$

입니다.

이 식의 의미가 무엇일까요? 

고등학교 때 배운 예금의 단리를 생각해봅시다. 위 그림에서 단리처럼 생각하여 관계식을 세워보면

$$S_t = S_{t-1}(1+r)$$

입니다. 이 식을 $r$에 관해 풀어보면

$$r= \frac{S_t}{S_{t-1}} - 1 = \frac{S_t -S_{t-1}}{S_{t-1}}$$

이 나오고,

$$r= u_t$$

임을 알 수 있습니다. 즉, 우리가 정의한 수익률 $u_t$는 단리 개념의 수익률이었던 것입니다.

 

단리가 있으면 복리 개념의 정의도 있겠죠? 

기간을 2로 나눠서 $t-\frac12$ 시점을 생각해 봅시다. 이 시점에서 지수는

$$S_{t-1/2} = S_{t-1} \big(1+ \frac r2\big)$$

입니다. 또한

$$S_t = S_{t-1/2} \big(1+\frac r2 \big)$$

이죠. 이 둘을 합치면 다음의 식을 얻게 됩니다.

$$S_t = S_{t-1} \big(1+\frac r2 \big)^2$$

 

이번엔 시간을 3분할 해보겠습니다.

이를 수식으로 써 보면

$$S_{t-2/3} = S_{t-1} \big(1+ \frac r3\big),   S_{t-1/3} = S_{t-2/3} \big(1+ \frac r3\big),   S_{t} = S_{t-1/3} \big(1+ \frac r3\big)$$

이를 합쳐보면,

$$S_t = S_{t-1} \big(1+\frac r3 \big)^3$$

이 됩니다. 만일 $n$ 분할 하면 어떻게 될까요? 위 식을 자연스럽게 확장해 보면

$$S_t = S_{t-1} \big(1+\frac rn \big)^n$$

이 됩니다.  이것이 바로 복리 수익률입니다.

그럼 우리가 $n$을 아주 크게 하여 마치 연속적으로 복리 효과를 누리는 상황을 가정해 보면 어떻게 될까요? 식으로는 이렇게 됩니다.

$$S_t = \lim_{n\rightarrow\infty} S_{t-1} \big(1+\frac rn \big)^n$$

이 되고 우변의 극한값은 우리가 이미 알고 있듯이 

$$S_t = \lim_{n\rightarrow\infty} S_{t-1} \big(1+\frac rn \big)^n = S_{t-1}e^{r}$$

이 됩니다. 

따라서 이를 $r$에 대한 식으로 써보면

$$r= \ln\Big(\frac{S_t}{S_{t-1}}\Big)$$

입니다. 

정리해 보면, 지수의 수익률을

• (단리, 단순) 수익률로 따질 때, $r= (S_t -S_{t-1})/S_{t-1}$이 되고,
• (연속복리) 수익률로 따질 떄, $r= \ln(S_t/S_{t-1})$

이 됩니다. 연속복리 개념으로 얻어낸 수익률을 우리는 로그수익률이라 합니다.

 

---

그냥 수익률과 로그수익률은 이렇게 개념이 다릅니다만, 금융공학에서는 혼용해서 쓰기도 합니다.  지수의 일일수익률 자체가 상당히 작은 값이라 그냥 수익률과 로그수익률이 거의 값이 유사하기 때문인데요. 그 이유는 테일러 전개로 설명할 수 있습니다. 테일러 전개의 식 (5) 를 보시면, $|x|<1$ 에 대해,

$$\ln(1+x) = x- \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 -\cdots$$

가 성립합니다. 여기에

$$x=u_t= \frac{S_t-S_{t-1}}{S_t}$$

를 넣어보면,

$$\ln(S_t/S_{t-1}) = u_t - \frac{u_t^2}2+\frac{u_t^3}3 -\approx u_t$$

가 됨을 알 수 있습니다. 왜냐하면 $u_t$ 자체가 아주 작은 값이므로(KOSPI의 일간 수익률이 $\pm 1$% 만 되어도 아주 큰 시장 변동이거든요.) $u_t^2 , u_t^3,\cdots,$ 등은 무시할 수 있을 정도로 작아집니다.

 

따라서 지수수익률에 대해서는 그냥 수익률과 로그 수익률이 거의 같아지게 되는 것입니다.

 

다음 글에서는 로그수익률의 특징과, 이를 이용하여 지수의 $N$일 간격 수익률을 다른 관점에서 분석해 보도록 하겠습니다.