STDEV 함수

엑셀에서 stdev 함수는 대표적으로 stdev.p,  stdev.s 두 종류가 있고 각각 모집단의 표준편차, 표본 집단의 표준편차를 구하는 함수입니다. 인풋으로는 보통 배열을 받습니다.

• 모집단은 관심을 갖고 분석을 하고 싶은 대상의 전체 집단입니다. 대선의 향방을 가늠하기 위해  출구조사를 할 때, 투표권을 가진 모든 국민들이 바로 모집단입니다. 하지만 모든 사람들을 붙잡고 출구조사 하기란 불가능하죠. 따라서 대표자들을 추려 표본을 만들게 됩니다.
• 표본집단은 모집단의 분석이 현실적으로 어려워 대표자들을 합리적인 방법으로, 결과가 한 방향으로 치우치지 않게 선발하여  만든 표본들의 집단입니다. 당연히 모집단의 부분집합이겠죠. 합리적인 방법으로 표본을 선발하는 것이 중요합니다. 앞선 예에서 특정 지역이나, 특정 인터넷사이트에서 표본을 다수 뽑게 된다면 아무래도 옳은 결과 예측을 장담하긴 힘들 것입니다. 

이제 표본집단을 선정하게 되면, 표본집단의 평균값이나 분산 등의 통계량으로 모집단의 통계량을 추측하게 됩니다.  모집단의 평균과 분산을 구하는 식은 다음과 같습니다.

 

모집단을 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 이라 하고 이것을 통으로 $X$ 라는 변수로 써봅시다. $X$의 평균을 $\mu$, 분산을 $\sigma^2$ 이라 하면,

$$ \mu = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n},$$

$$\sigma^2 = \frac{(X_1-\mu)^2+\cdots+(X_n-\mu)^2}{n} $$

 

따라서 모집단의 표준편차를 의미하는 엑셀함수 STDEV.P는

STDEV.P($X_1 , X_2, \cdots, X_n$) = $\sigma$

입니다. 

이제 모집단 $X$에서 표본 $X_1,X_2,\cdots,X_n$을 추출합니다.(앞서 이들은 모집단을 이루는 원소로 정의했는데 기호의 편의상 똑같이 쓴 것입니다. 표본으로 생각해 주세요). 이 표본집단의 평균을 $\bar{X}$, 분산을 $S$ 라 하면

 

$$ \bar{X} = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n},$$

$$S^2 = \frac{(X_1-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2}{n-1} $$

 

따라서 표본집단의 표준편차를 구하는 엑셀함수 STDEV.S는

STDEV.S($X_1 , X_2, \cdots, X_n$) = $S$

$\sigma^2$ 과 $S^2$ 구하는 식의 형태가 유사하지만, 분모가 다름을 알 수 있습니다. 모분산의 경우에는 데이터의 개수인 $n$으로 나누어 주고, 표본집단의 경우에는 $n-1$로 나눕니다. 자세한 내용은 여기서 확인 가능합니다.

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예제1	1부터 10까지 데이터의 표준편차

 

1부터 10까지의 데이터가 있을 때, 이 데이터를 모집단으로 보고 표준편차를 구한 값과,  이 데이터를 표본집단으로 보고 표준편차를 구한 값은 위와 같이 다릅니다. 분산 구하는 공식을 이용하여 이 값들을 직접 검증해 보겠습니다.

 

우선 모집단의 표준편차를 구해봅시다.

1. 위 그림처럼 AVERAGE() 함수를 사용하여 모평균을 구합니다.

 

2.  데이터 각각과 모평균의 차이를 계산하기 위해 B열에 모평균의 값을 절대참조 걸어줍니다.

3.  각 데이터와 모평균 차이의 제곱을 위와 같이 구합니다. 

4. 차이제곱의 합을 SUM() 함수를 이용하여 구합니다.

5. 데이터의 개수로 나누어 모분산을 구합니다(모분산 구할 땐, 데이터의 개수로 나눕니다!)

6. 마지막으로 제곱근을 구하기 위해 SQRT() 함수를 사용하여 모표준편차를 구합니다. 

이 값은 STDEV.P() 함수를 이용하여 구한 값과 똑같습니다.

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두번째로 표본집단의 표준편차를 구해봅니다.

위의 1~4과정은 똑같습니다. 5번 부터 달라지는데 한번 살펴보시죠.

 

5' 표본분산을 구하기 위해 데이터의 개수에서 1을 빼주었습니다.

6' 표본표준편차를 구하기 위해 SQRT() 함수를 사용하여 제곱근을 구합니다.

이 결과는 STDEV.S() 함수를 쓴 결과와 같습니다.