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2022.05.27 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델 #1
주식의 수학적 모델 #1
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에서 이어집니다. 시점 t에서의 주식(또는지수)의 가격을 St라 하고, 이 주식의 연수익률을 μ, 연간 수익률의 표준편차를 σ라 할 때,
dStSt=μdt+σdWt
라 모델링할 수 있다고 했습니다. Wt는 위너프로세스(Wiener process)입니다.
이 모델을 기하브라운운동(Geometric Brownian Motion) 모델이라고 부릅니다. 이 모델에는 항이 2개 있습니다. dt항, dWt항이 그것인데요.
- drift term : dt 항
- diffusion term : dWt 항
으로 정의합니다. drift term의 계수는 주식의 연수익률, diffustion term의 계수는 주식의 연간수익률의 표준편차인데요. 이 표준편차가 크면 변동이 심한 상태를 의미하고, 표준편차가 작으면 변동이 작은 상태를 의미하는 뜻에서
변동성(Volatility)
라 부릅니다. 이 개념은 금융공학에서 주식이나 지수 같은 기초자산의 움직임을 예측하거나 모델링할 때 굉장히 중요한 개념으로서 나중에 다시 자세하게 다뤄보도록 하겠습니다. 일단 지금은
변동성 = 연간수익률의 표준편차
라고 이해하고 넘어가도록 하겠습니다.
이제 수식(1)을 Ito Lemma로 분석해 볼까요? 글
2022.06.01 - [금융공학] - 주식의 수학적 모델#2
주식의 수학적 모델#2
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에서 1 변수에 대한 확률 과정 테일러 전개, 즉 Ito Lemma라는 개념을 이야기했었습니다. 복습하자면
여러 번 미분 가능한 함수 f:R→R 가 있을 때,
df(St)=f(St+dt)−f(St)
라는 식은
df(S)=(μSt∂f∂S+12∂2f∂S2σ2S2t)dt+(σSt∂f∂S)dWt
가 된다고 하였습니다.
f(S)=lnS
라는 함수라 정의해 보죠.
f′(S)=1S,f″
이므로 Ito Lemma에 의하여
\begin{align} d\ln(S_t) &= \frac{1}{S_t} dS_t - \frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2} dS_t^2 \\ & = \frac{1}{S_t} (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t ) -\frac12 \frac{1}{S_t^2}(\sigma^2 S_t^2 dt) \\ & = \left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right) dt + \sigma dW_t\tag{2} \end{align}
가 성립합니다. 이를 적분식으로 써볼 텐데, 두 가지 경우로 나눠서 보겠습니다.
경우1. t=0과 미래 시점 t=T사이의 적분
수식(2)에 \int_0^T를 취하면,
\int_0^T d\ln(S_t) = \int_0^T \left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right) dt + \sigma dW_t
이고, 좌변은 \ln(S_T) -\ln(S_0)이므로
\require{cancel}\ln(S_t/S_0) = \left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)T + \sigma (W_T -\cancelto{0}{W_0})
이므로 양변에 \exp를 취해 정리하면,
S_t= S_0 \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)T + \sigma W_T \right) \tag{3}
가 됩니다.
경우2. 어떤 (짧은 인터벌) t=t_1과 미래 시점 t=t_2사이의 적분
수식(2)에 \int_{t_1}^{t_2}를 취하면
\int_{t_1}^{t_2} d\ln(S_t) = \int_{t_1}^{t_2} \left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right) dt + \sigma dW_t
이고, 좌변은 \ln(S_{t_2}) -\ln(S_{t_1})이므로
\ln(S_{t_2}/S_{t_1}) = \left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)(t_2- t_1) + \sigma (W_{t_2} -W_{t_1})
이므로 양변에 \exp를 취해 정리하면,
S_{t_2}= S_{t_1} \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)(t_2-t_1) + \sigma (W_{t_2}-W_{t_1}) \right)
가 됩니다. 특히 t_2-t_1이 1 day 하루인 경우에는 년 단위로 환산하여
t_2-t_1 =\frac1{365}
이므로
S_{t_2}= S_{t_1} \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)\cdot\frac1{365} + \sigma (W_{1/365}) \right) \tag{4}
라고도 쓸 수 있겠죠.
(W_{t_2}-W_{t_1}는 분포상 W_{t_2-t_1} = W_{1/365}와 같습니다.)
왜 적분을 수식(4)처럼도 해보고 수식(5) 처럼도 해봤을까요? 여러 금융상품의 가격을 계산하다 보면
- 만기 때 주가의 가격에만 수익/손실이 정해지는 상품
- 현재로부터 만기 때까지 주가의 움직임에 모두 의존하여 수익/손실이 정해지는 상품
등 다양한 상품의 가격을 계산하게 됩니다.
전자의 경우는 수식(3)이 필요합니다. 현재 시점의 주가 S_0에서 만기시점 T의 주가 S_T를 예상할 때, 식(3)이 편하겠죠. 반면, 만기 때까지 모든 주가에 의존하는 상품의 경우, 최악의 경우 일일 주가가 모두 필요한 경우도 있습니다. 그때는 현재 S_0 의 주가부터 S_{1D}, S_{2D} ,\cdots, S_{T} 모두 만들어내야겠죠. 이때에는 식(4)의 점화식을 써서 만들어 내는 것입니다.
마지막으로, 수식(3)과 수식(4)은 서로 모순이 없는 식일까요? 현재 시점 t=0부터 미래 시점 T까지 n개의 단위 시점이 있다고 해봅시다.

시간 간격은 균일하든 균일하지 않든 관계없습니다. 식(4)에 의하면
\begin{align} S_{t_1} &= S_{0} \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)\cdot t_1 + \sigma (W_{t_1}) \right) \\ S_{t_2} &= S_{t_1} \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)\cdot (t_2-t_1) + \sigma (W_{t_2-t_1}) \right)\\ &\vdots\\ S_{t_n} &= S_{t_{n-1}} \exp\left(\left(\mu -\frac12 \sigma^2 \right)\cdot (t_n-t_{n-}) + \sigma (W_{t_n-t_{n-1}}) \right) \end{align}
이고, 양변을 곱하고 지울거 지우고, 편의상 t_0=0이라 하면,
S_{t_n} = S_{0} \exp \left( \left( \mu -\frac12 \sigma^2 \right) \cdot \sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1}) + \sigma\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}}) \right)
이고
\sum_{i=1}^n (W_{t_i}-W_{t_{i-1}}) =W_T
이므로 식(3)과 똑같아집니다. 만기시점 T의 주가를 한 번에 생성하든지, 잘게 쪼개어 day별로 생성하든지 S_T가 만들어지는 방법은 똑같음을 의미합니다.
다음글에서는 실제 VBA나 파이썬을 활용하여 주가를 만들어보도록 하겠습니다.

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