옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)

이번 글은

2022.08.17 - [금융공학] - 옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..

옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..

에서 이어집니다. 옵션 프리미엄, 즉 옵션의 가격은 어떻게 구할까요? 

 

결론부터 얘기하면, 옵션의 가격을 구하는 수식으로 쓸 수 있는 수학공식(analytic form, close form)이 존재합니다. 해당 식은 1970년 Black, Scholes, Merton 세 명의 학자에 의해 유도되었는데, 이 공식은 금융시장을 획기적으로 발전시키는데 공헌하였고,  금융에 대한 계량적인 접근을 가능하게 하였으며, 공식을 발견한 세 학자는 부와 명성을 거머쥐었죠. 파생상품의 거래를, 이 공식에 맞는 상황이 아니면 하지 않을 정도로 근 50년간 강력한 프레임으로 작용한 공식을 지금부터 소개합니다.

 

 

파생상품의 가격 결정(복습)

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

에서 소개하였던 Feynman-Kac Formula를 리마인드 해보겠습니다.

Feynman-Kac Formula

파생상품의 시점 $t$, 기초자산 $S_t$에서의 가격을 $f(t,S_t)$라 하면, $f(t,S_t)$는 편미분 방정식
$$ f_t(t,S_t) + (r-q) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0$$
을 만족하고, 만기 payoff는 $f(T,S_T)$이다.

$$ f(t, S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T) |\mathcal{F_t} ) \tag{*} $$
이다. 여기서 $S_t$는
$$ dS_t/S_t = (r-q) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$의 dynamics를 따른다. 

특히 현재 시점 $t=0$에서는
$$ f(0,S_0 ) = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T))$$
이다.

 

 

콜옵션의 가격 결정

만기 $T$이고 행사가가 $K$인 콜옵션의 가격을 구해보도록 합시다.  콜옵션의 시점 $t$, 기초자산 $S_t$에서의 가격을

$$c(t,S_t)$$라 쓰면, 위의 식(*)에 의해 다음이 성립합니다.

 

$$ c(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}(c(T,S_T) |\mathcal{F_t})$$

 

또한 다음과 같은 사실이 성립합니다.

 

○ $c(T,S_T) = \max(S_T -K,0)$ 입니다 (콜옵션의 만기조건)

○ $\mathbb{E}$ 는 위험중립 측도 $\mathbb{Q}$ 하에서의 기댓값이고 이 측도 하에서 기초자산의 dynamics은 

$$ \frac{dS_t}{S_t} = (r-q)dt +\sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$

입니다. $r$은 무위험 이자율, $q$는 연속 배당률, $\sigma$는 변동성입니다.

 

만기조건을 대입하면 콜옵션의 가격은

$$ c(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}\left[\max(S_T-K,0)|\mathcal{F_t}\right]\tag{CALL}$$

입니다. 기댓값 부분을 한번 풀어볼까요?

 

 

$$
\begin{align}
\mathbb{E}\left[\max(S_T-K,0)|\mathcal{F_t}\right] & = \int_{S_T\geq K} (S_T -K)d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}}\\
& = \int_{S_T\geq K} S_T d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}} -K \int_{S_T\geq K} d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}}\\
& = (I) - (II) \tag{1}
\end{align}
$$
입니다. 반면 기초자산의 dynamics는

$$S_T =S_t \exp\left( \left(r-q- {\textstyle\frac12}\sigma^2\right)(T-t)+\sigma \sqrt{T-t}z \right)~~,~~ z \sim \mathcal{N}(0,1) \tag{2}$$
입니다. $S_t$은 $\mathcal{F}_t$ 정보공간 하에서는 확률변수가 아닌 알려진 상수이기 때문에 $\mathcal{F}_t$ 하에서는 확률변수가 아닙니다.

$$ \alpha = S_t \exp\left( \left(r-q-{\textstyle\frac12}\sigma^2\right)(T-t) \right)~,~ \beta = \sigma\sqrt{T-t}$$
라 놓으면 식(2)은
$$ S_T = \alpha e^{\beta z}$$
라 쓸 수 있죠.  또한 식(2)에 따르면 $S_T$ 자체는 표준 정규분포 $z$에 연동된 값이므로 
$$d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}} = \phi(z) dz$$
입니다. 여기서, $\phi(z)$는 표준평규분포의 확률 밀도 함수(pdf)입니다. 즉,
$$\phi(z) = \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$$입니다.

 

우선 $S_T \geq K$는 $\alpha e^{\beta z} \geq K$이므로
$$ \{ S_T \geq K\} = \{ z \geq {\textstyle\frac1\beta} \ln(K/\alpha)\}$$
입니다. 

이제 식(1)의 (I) 부분을 다뤄봅시다.  

 

식 (I)의 계산

$$
\begin{align}
(I)          &=  \int_{S_T\geq K} S_T d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}}\\
&= \int_{z\geq \frac1\beta \ln(K/\alpha)} \alpha e^{\beta z} \phi(z)dz \\
&= \int_{\frac1\beta \ln(K/\alpha)}^{\infty} \alpha e^{\beta z} \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz\\
&= \alpha e^{\frac12 \beta^2} \int_{\frac1\beta \ln(K/\alpha)}^{\infty} \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-(z-\beta)^2/2}\\
& =  \alpha e^{\frac12 \beta^2} \int_{\frac1\beta \ln(K/\alpha)-\beta}^{\infty} \phi(w) dw~(w:=z-\beta )\\
& =  \alpha e^{\frac12 \beta^2} \left(1-\Phi({\textstyle\frac1\beta} \ln(K/\alpha)-\beta)\right)\\
& = \alpha e^{ \frac12 \beta^2} \Phi(\beta - {\textstyle\frac1\beta} \ln(K/\alpha))\tag{3}\\
\end{align}
$$

입니다. $\Phi(\cdot)$는 표준 정규분포의 누적분포함수(cdf)입니다.

각각의 항목을  더 정리하면
$$  \alpha e^{\frac12 \beta^2} = S_t e^{(r-q)(T-t)}$$
이고
$$ \beta -{\textstyle \frac1\beta} \ln(K/\alpha) = \frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}:=d_1 $$

 

이므로 

$$(I) = S_t e^{(r-q)(T-t)}\Phi(d_1), $$
$$ d_1 = \frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

입니다.

 

 

식 (II)의 계산

$$
\begin{align}
K \int_{S_T\geq K} d\mathbb{P}_{\mathcal{F_t}} & = K \int_{z\geq {\textstyle \frac1\beta}\ln(K/\alpha)} \phi(z) dz \\
& = K (1-\Phi( {\textstyle \frac1\beta}\ln(K/\alpha)))\\
& = K \Phi(-{\textstyle \frac1\beta}\ln(K/\alpha))\\
& = K \Phi\left(\frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)\\
& = K\Phi(d_2)
\end{align}
$$

 

$$ (II) = K\Phi(d_2), $$
$$ d_2 = 
\frac{\ln(S_t/K)+(r-q-{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

 

콜옵션의 가격

 

이제 정리하는 일만 남았습니다. 식(CALL)과 식(1), (I), (II) 를 한데 묶으면

$$
\begin{align}
c(t,S_t) &= e^{-r(T-t)}((I)-(II))\\
& = e^{-r(T-t)}(S_t e^{(r-q)(T-t)}\Phi(d_1) -K \Phi(d_2) \\
& = S_t e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)
\end{align}
$$

 

 

이 식은 무척 중요하므로 강조해서 다시 한번 쓰겠습니다. 제일 처음 공식을 고안해 낸 Black과 Scholes를 기려 Black Scholes Formula라 부릅니다.

Black Scholes Formula (콜옵션의 가격)

$$c(t,S_t) = S_t e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2),$$
$$ d_1 =\frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, $$
$$ d_2 = \frac{\ln(S_t/K)+(r-q-{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} = d_1 -\sigma \sqrt{T-t}$$

 

 

풋옵션의 가격 결정

 

만기 $T$, 행사가 $K$인 풋옵션의 시점 $t$, 기초자산 $S_t$에서의 가격을 $p(t, S_t)$라고 하면, 콜옵션과 마찬가지로

 

$$ c(t, S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}\left[\max(K-S_T,0)|\mathcal{F_t}\right]\tag{PUT}$$

를 계산하여 얻을 수 있습니다. 하지만 좀 더 쉬운 방법이 있습니다. 바로 

2022.08.17 - [금융공학] - 옵션 #1. 옵션이란? 옵션의 유명한 관계식이 있다던데..에서 다룬 

풋콜 패리티

를 이용하는 거죠. 풋콜 패리티를 풋옵션의 관점으로 써보면

$$ p(t, S_t) = c(t, S_t) + Ke^{-r(T-t)} - S_t e^{-q(T-t)}$$

입니다. 따라서

 

$$
\begin{align}
p(t,S_t)  &= c(t,S_t) + Ke^{-r(T-t)} - S_t e^{-q(T-t)} \\
& = S_t e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2) + Ke^{-r(T-t)} - S_t e^{-q(T-t)}\\
& =  S_t e^{-q(T-t)}(\Phi(d_1)-1) + Ke^{-r(T-t)}(1-\Phi(d_2))\\
& =  Ke^{-r(T-t)}\Phi(-d_2) - S_t e^{-q(T-t)}\Phi(-d_1) 
\end{align}
$$

 

를 얻습니다. 이 식 역시 중요하므로 볼드체로 한번 더 쓰겠습니다.

 

Black Scholes Formula(풋옵션의 가격)

$$p(t,S_t) =  Ke^{-r(T-t)}\Phi(-d_2) - S_t e^{-q(T-t)}\Phi(-d_1),$$
$$ d_1 =\frac{\ln(S_t/K)+(r-q+{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, $$
$$ d_2 = \frac{\ln(S_t/K)+(r-q-{\textstyle\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} = d_1 -\sigma \sqrt{T-t}$$

 

 

참으로 기상천외한 식이 얻어집니다. Black, Scholes, Merton은 바로 이 식을 얻어냄으로써 금융공학의 발전에 일대 혁신을 가져왔고, 파생 시장이 걷잡을 수 없이 커질 단초를 제공해 주었습니다. 심지어, 거래소나 OTC로 거래되는 옵션을 이 식에 맞추어 판단하고 해석하며 50여 년의 파생 프레임을 지배해온 식입니다. 

 

만기조건이 비교적 복잡하게 생겼으나, 오히려 식이 잘 풀리며 closed form까지 도출이 되었는데요. 모든 파생상품이 이렇게 잘 풀리는 것은 아닙니다. 오히려 안 풀리는 게 훨씬 많죠. 이때에는 예전 글에서 다루었던 유한 차분법(FDM)이나 시뮬레이션(Simulation)을 이용하여 구하게 됩니다. 

 

앞으로 이어질 글들에서 여러 계산 기법을 이용해 산출한 결과가 위 식과 일치하는지를 검증해 보겠습니다.