로(Rho)! 콜옵션의 이자율 민감도는?

 

이 글은 Vega에 관련된 글  Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도

Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도

에 이어 무위험 이자율에 대한 민감도를 알아보려 합니다.

 

 

로(rho, $\rho$)

파생상품의 이자율에 대한 민감도 즉, 파생상품 가격을 이자율로 편미분 한 값을 rho라 하고, 기호로

$$\rho = \frac{\partial V}{\partial r}$$

이라 씁니다. $V(t,S)$는 파생상품의 가치이고, $r$은 (무위험 이자율)입니다.

 

 

 

이자율이 파생상품 가격에 미치는 이론적인 영향

 

잠깐 예전에 다루었던

파생상품의 가격결정 방정식 : Feynman - Kac Formula 

를 복습해 볼까요? 해당 글은 Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

라는 글에서 알 수 있는데요. 만기가 $T$인 어떤 파생상품의 시점 $t$, 기초자산 $S$에서의 가치를 $V(t, S)$라 한다면,

$$V(0,S) = e^{-rT} \mathbb{E}(V(T,S_T))\tag{1}$$

라 구할 수 있다고 했습니다. 여기서, $S_t$는 GBM 모델을 따르는 기초자산으로서 

$$dS_t/S_t = (r-q)dt+\sigma dW_t$$ 의 형태입니다($r,q,\sigma$는 각각 무위험이자율, 연속배당률, 변동성이고 $W_t$는 위너 프로세스입니다.)

 

GBM모델을 풀면

$$S_T = S_0 \exp \left( (r-q-\frac12\sigma^2)T+\sigma W_T\right) \tag{2}$$ 이죠. 이를 식(1)에 대입하고 만기 조건인 $V(T,S_T)$의 기댓값을 해당 파생상품의 가치 $V(0,S_0)$를 알 수 있게 되죠.

 

이런 관점에서 볼 때, 파생상품의 가격에는 이자율이 두 군데 반영됩니다.

 

(반영 1) 할인팩터 : 식 (1)의 $e^{-rT}$ 부분

이 부분은 이자율 $r$ 이 증가할수록  값이 감소하기 때문에 파생상품의 가격을 낮추는 역할을 합니다.

 

(반영 2) 기초자산의 drift 항

식(1)의 기댓값 $\mathbb{E}(\cdot)$ 안의 $S_T$의 drift항에 $r$이 포함되어 있습니다. 이 drift항이 식(2)의 

$$r-q-\frac12\sigma^2$$

로 나타나게 되는데, $r$이 증가할수록 위 항이 커지면서 $S_T$가 증가하게 되죠. 만일 만기 페이오프인 $V(T,S_T)$가 $S_T$에 대한 증가함수라면, $S_T$가 증가하면서 파생상품의 가격도 커지게 됩니다.

 

만기 페이오프가 $S_T$의 증가함수인 대표적인 예는 콜옵션이 있겠죠(풋옵션은 만기 페이오프가 $S_T$에 대한 감소함수)

 

(반영 1)과 (반영 2)로 비추어 봤을 때, 파생상품의 가격을 크게 만드는 요인(반영 2)과 작게 만드는 요인(반영 1)이 공존하여 실제적으로 어떻게 되는지는 조금 아리송할 수 있습니다.

 

 

실제 콜옵션의 예를 들어, 콜옵션의 로(rho)를 계산해 봐야겠습니다.

 

 

콜옵션의 로(rho)

 

콜옵션 가격 $c(t, S)$를 이자율로 미분해야 합니다.  다시 한번 콜옵션의 가격 공식을 리마인드 해보겠습니다(관련글을 참고해 주세요.)

$$c(t, S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -  Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)\tag{3}$$

$$d_1 = \frac{\ln(S/K)+(r-q+\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}~~,~~ d_2= d_1-\sigma\sqrt{T-t} \tag{4}$$

위의 공식에서 $\Phi(\cdot)$는 누적표준정규분포함수(cdf of normal distribution)이고 $\phi(\cdot)$는 표준정규분포의 확률밀도 함수입니다.

 

또 관련글에서 다음의 관찰 1을 유도한 사실이 있습니다.

 

관찰 1                                                         $Se^{-q(T-t)}\phi(d_1) = e^{-r(T-t)} K \phi(d_2) \tag{5}$

 

이제 로(rho)를 구해보도록 하죠. 식(3)을 무작정 $r$로 편미분 해보겠습니다.

 

 

$$\begin{align} \frac{\partial c}{\partial r} &= Se^{-q\tau}\phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial r} - \left( -\tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2) + Ke^{-r\tau}\phi(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial r} \right)\\ & = \left(  Se^{-q\tau}\phi(d_1) -Ke^{-r\tau}\phi(d_2) \right)  \frac{\partial d_1}{\partial r} +\tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2)\\ & = \tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2) \end{align}$$

 

첫 번째 등식에서는 

$$\frac{\partial d_1}{\partial r} = \frac{\partial d_2}{\partial r} = \frac{\sqrt{\tau}}{\sigma}$$

가 쓰였고, 두 번째 등식에서는 관찰 1이 쓰였습니다.

 

 

이상을 정리하면

 

구분	정의	수식
로($\rho$,1차 도함수)	$$\rho= \frac{\partial c}{\partial r}$$	$$\tau Ke^{-r\tau} \Phi(d_2) \tag{6}$$

입니다.

 

 

 

로(rho)의 직관적인 해석?

 

위 식 (6)에서 로(rho)를 구했습니다. 바로 다음의 식이죠

$$\rho =\tau Ke^{-r\tau}\Phi(d_2)$$

 

이를 직관적으로 해석해 보겠습니다. 식(1)에 따르면

 

 

$$\begin{align} c(0,S) &= e^{-rT} \mathbb{E}(c(T,S_T))\\        & = e^{-rT} \mathbb{E}(\max(S_T-K,0))\\        & = e^{-rT} \mathbb{E} \left[ \max \left( S_0 \exp\left((r-q-\frac12\sigma^2)T+\sigma \sqrt{T}z \right)-K,0 \right) \right]\\       & \sim \mathbb{E} \left[ \max \left( S_0 \exp\left((-q-\frac12\sigma^2)T+\sigma \sqrt{T}z \right)-Ke^{-rT},0 \right) \right]\\ \end{align}$$

 

우변의 기댓값 안의 $\max(\cdot,\cdot)$가 살아남기 위해서는 이것이 행사가 되는 경우, 즉 ITM의 경우여야 하고 이러한 확률은 $\Phi(d_2)$가 됩니다(why?)

 

ITM을 뜻하는 $S_T >K$ 는 

$$S_0 \exp \left( (r-q-\frac12\sigma^2)T +\sigma \sqrt{T}z  \right) >K$$  입니다.

여기서 $z\sim \mathcal{N}(0,1)$입니다.

따라서
$$z > \frac{ \ln(K/S_0)-(r-q-\frac12\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}z }=-d_2$$
이고 따라서
$$\mathbb{P}(z>-d_2) = \Phi(d_2)$$
입니다. 

 

 

이러한 아래, $c(0,S)$를 $r$로 미분하면, 우변의 $r$에 대한 함수는 $-Ke^{-rT}$ 형태뿐이므로 예를 미분한 

$$TKe^{-rT}$$ 입니다. 띠라서 이 값에 확률인 $\Phi(d_2)$를 구하면 되겠죠. 이것이 바로 직관적인 풀이법입니다.

 

 

다음 글에서 로(rho)에 대해 코딩을 통하여 알아보도록 하겠습니다.