Vega! 변동성에 대한 콜옵션 가격 민감도

 

이 글은 

2023.05.26 - [금융공학] - 콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩터 분석

콜옵션의 움직임을 낱낱이 파헤쳐보자: 민감도 팩터 분석

에서 이어집니다. 위 글에서는 콜옵션 가격함수 $c(t, S)$가 계산 시점 $t$와 그때의 기초자산 가격 $S$에 대한 2 변수 함수처럼 보이지만, 

 

기초자산 변동성, 배당률, 무위험 이자율의 값에도 영향을 받는 함수

 

이다는 얘기를 했습니다. 기초자산의 변동성, 배당률은 항상 변하는 값이고, 시장 금리 역시 시장 상황에 따라 변하기 마련이죠. 따라서 얘네들을 파라미터로 쓰는 콜옵션 가격 역시 영향을 받을 것이고 자연스레 민감도가 생길 것입니다. 

그중 변동성의 변화에 대한 콜옵션 가격의 변화는 어느 다른 파라미터보다 중요한 역할을 합니다.  첫째로, 배당률이나 이자율은 크게, 시시각각으로 바뀌는 값이 아닙니다. 비교적 고정되어 있는 값입니다.

 

둘째로,  옵션은 거래소에 상장되어 거래되는 파생상품이죠. 따라서 수급에 의해 시장가격이 형성됩니다(물론, 유동성이 떨어지는 만기, 행사가에 대해서는 거래가 거의 없죠.) 따라서, 이 시장 가격을 설명하는 변동성을 찾아내고, 이것을 내재 변동성이라 부릅니다. 이 변동성을 관찰하여 옵션 거래 전략이나, 헤지 운용 전략을 취하게 되는 만큼 변동성이라는 개념은 옵션 거래에 있어 중요합니다.

(예전글에서 내재변동성에 대한 언급이 있긴 했지만, 자세한 설명은 아직 안 했네요. 차차 해보도록 하겠습니다.)

 

 

 

베가(Vega)

 

기초자산 변동성의 변화에 대한 파생상품의 변화를 베가(Vega)라 부릅니다. 사싷, 베가는 그리스 문자는 아닙니다. 위키피디아의 설명에 제 생각을 더해보자면, 베가는 원래 $\nu$(nu)라는 그리스 분자를  쓰려한 것 같습니다. 왜냐면 변동성을 뜻하는 volatility가 v로 시작하고, 이와 비슷하게 생긴 게 $\nu$이죠. 그런데 $\nu$의 대문자는 $N$으로 쓰이기 때문에 민감도로 기호로서의 변별력도 떨어지고,  여기에 더해 알파, 베타, 감마 차럼 아 발음으로 끝나는 v 발음으로 시작하는 단어를 만들려 했던 것으로 보입니다.  

 

어쨌든 

기초자산 변동성의 변화에 대한 파생상품의 변화를 베가

라 합니다.

 

 

 

콜옵션의 베가

시점 $t$, 기초자산 $S$에 대해, 콜옵션의 가격을 $c(t, S)$라 하면, 베가는

$$\mathcal {V} = \frac {\partial c}{\partial \sigma}$$

입니다(앞서 말했듯이 $\nu$의 대문자는 없어서 \mathcal{V}로 조판한 $\mathcal {V}$입니다.)

 

 

먼저 콜옵션의 가격 공식을 리마인드 해보겠습니다(관련글을 참고해 주세요.)

$$ c(t, S) = S e^{-q(T-t)} \Phi(d_1) -  Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)\tag{1}$$

$$ d_1 = \frac{\ln(S/K)+(r-q+\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}~~,~~ d_2= d_1-\sigma\sqrt{T-t} \tag{2}$$

위의 공식에서 $\Phi(\cdot)$는 누적표준정규분포함수(cdf of normal distribution)이고 $\phi(\cdot)$는 표준정규분포의 확률밀도 함수입니다.

 

또 관련글에서 다음의 관찰1을 유도한 사실이 있습니다.

 

관찰 1                                                         $ Se^{-q(T-t)}\phi(d_1) = e^{-r(T-t)} K \phi(d_2) \tag{3}$

 

이제 베가(Vega)를 구해보도록 하죠. 식(1)을 무작정 $\sigma$로 편미분 해보겠습니다.

 

$$
\begin{align}
\frac{\partial c}{\partial \sigma} &= Se^{-q\tau}\phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} - Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial \sigma}\\
& =  Se^{-q\tau}\phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} - Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \left( \frac{\partial d_1}{\partial \sigma}-\sigma\sqrt{\tau} \right)\\
& = \left[  Se^{-q\tau}\phi(d_1) - Ke^{-r\tau} \phi(d_2\right] \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} +Ke^{-r\tau} \sqrt{\tau}\phi(d_2) \\
&= Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}  
\end{align}
$$

 

관찰1에서 보시다시피 $Se^{-q\tau}\phi(d_1) = Ke^{-r\tau}\phi(d_2)$를 만족하므로 베가는 다음과 같이 쓸 수도 있겠습니다.

$$ \mathcal{V} = {\rm{Vega}} = Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}$$

 

이상을 정리하면

 

구분	정의	수식
1차 도함수	$$\mathcal{V}= \frac{\partial c}{\partial \sigma}$$	$$Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}= Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}\tag{4}$$

입니다.

 

 

변동성에 대한 고차 편미분은?

 

변동성 $\sigma$에 대한 1차 편미분을 알아봤습니다. 그렇다면 델타에 이은 감마, 스피드처럼 베가에 이어 2차 편미분, 3차 편미분 값도 존재할까요? 당연히 존재합니다.

 

2차 편미분, Volga

변동성에 대한 2차 편미분을 Volga라 부릅니다. 이 외에 Vomma ( 왠지 Gamma를 따라한 느낌),  Vega Convexity(곡률이 2번 미분한 값이라는 데서 유래), DVegaDVol ( $\frac{d {\mathcal{V}}{\sigma}$에서 유래) 로도 불립니다.

Volga는 

$$ {\rm{Volga}} = \frac{\partial^2 c}{\partial \sigma^2} $$

을 구하면 됩니다. 이미 한번 미분한 Vega의 값을 알고 있으니 (식 (4) 참조) Vega를 한번 더 편미분 해보면 될 것입니다.

 

그 전에 간단한 관찰을 하나 보시죠.

관찰 1

$$ \sigma  \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} = -d_2 ,\sigma  \frac{\partial d_2}{\partial \sigma} = -d_1 $$ 이 성립한다.

(증명) $$d_1 \sigma = \frac{\ln(S/K)+(r-q+\frac12\sigma^2)\tau}{\sqrt{\tau}} $$ 의 양변을 $\sigma$로 미분하면 $$ \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} \sigma + d_1 = \sigma \sqrt{\tau} $$ 이므로 $$ \sigma  \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} = -d_1 + \sigma \sqrt{\tau}=-d_2 $$ 마찬가지로 $$  \begin{align} \sigma  \frac{\partial d_2}{\partial \sigma}& =\sigma \left( \frac{\partial d_1}{\partial \sigma}  -\sqrt{\tau}\right) \\ & =\sigma \left(- \frac{-d_2}{\sigma} - \sqrt{\tau} \right)\\ & = -d_2 - \sqrt{\tau} = -d_1  \end{align} $$

 

이제 Volga를 구해보겠습니다.

$$ 
\begin{align}
{\rm{Volga}} & = S e^{-q\tau} \phi'(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} \sqrt{\tau}\\
& =  S e^{-q\tau}\phi(d_1)\sqrt{\tau}   (-d_1)  \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} \\
& = {\rm{(Vega)}} (-d_1) \frac{\partial d_1}{\partial \sigma}\\
& = {\rm{(Vega)}} \frac{d_1d_2}{\sigma}
\end{align}
$$

 

두 번째 등식에서는, 표준정규분포 확률밀도함수 $\phi(x)$가 $\phi'(x) = -x \phi(x)$를 만족한다는 사실이 쓰였고,  3번째 등식에서는 Vega의 공식 (4)가 쓰였습니다.

여기까지 정리를 하면,

 

구분	정의	수식
1차 도함수 (Vega)	$$\mathcal{V}= \frac{\partial c}{\partial \sigma}$$	$$Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}= Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}$$
2차 도함수 (Volga)	$$\frac{\partial^2 c}{\partial \sigma^2}$$	$$  {\rm{(Vega)}} \frac{d_1d_2}{\sigma} \tag{5}$$

입니다.

 

 

3차 편미분, Ultima

변동성에 대한 3차 편미분은 Ultima라 부릅니다. 이름이 웅장하네요. 구해보겠습니다.  식(5)에 따르면 아래의 식이 성립합니다.

$$ \sigma \cdot {\rm{Volga}} = {\rm{Vega}} \cdot d_1d_2 $$
이므로 이 식의 양변을 $\sigma$로 미분하면

$$ {\rm{Volga}} +\sigma \cdot {\rm{Ultima}} = {\rm{Volga}} \cdot d_1d_2 + {\rm{Vega}}\frac{\partial d_1d_2}{\partial \sigma}  $$
를 얻습니다. 따라서

$$
\begin{align}
\sigma \cdot {\rm{Ultima}} &= {\rm{Volga}} (d_1d_2-1) + {\rm{Vega}}\frac{\partial d_1d_2}{\partial \sigma} \\
& = {\rm{Vega}}\cdot \left( \frac{d_1d_2(d_1d_2-1)}{\sigma} + \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} d_2+ \frac{\partial d_2}{\partial \sigma} d_1 \right) \\
&= -\frac{1}{\sigma} {\rm{Vega}}\cdot \left( d_1d_2(1-d_1d_2) + d_1^2+d_2^2 \right)
\end{align}
$$

 

구분	정의	수식
1차 도함수 (Vega)	$$\mathcal{V}= \frac{\partial c}{\partial \sigma}$$	$$Ke^{-r\tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau}= Se^{-r\tau}\phi(d_1) \sqrt{\tau}$$
2차 도함수 (Volga)	$$\frac{\partial^2 c}{\partial \sigma^2}$$	$$  {\rm{(Vega)}} \frac{d_1d_2}{\sigma} $$
3차도함수 (Ultima)	$$\frac{\partial^3 c}{\partial \sigma^3}$$	$$ -\frac{1}{\sigma} {\rm{Vega}}\cdot \left( d_1d_2(1-d_1d_2) + d_1^2+d_2^2 \right)$$

입니다.

 

물론, 4차 이상의 도함수도 모두 구할 수 있습니다만, 그 값이 현저하게 작아서 무시할 수 있는 수준입니다(어쩌면 Ultima도 신경 안 써도 될 듯합니다.)

 

 

공식을 구해봤으니 다음 글에서는 직접 코딩을 하여, 변동성 변화에 따라 콜옵션 가격은 어떻게 변하고 가격 변동을 Vega, Volga, Ultima로 어떻게 설명할 수 있는지 알아보도록 하겠습니다.