삼각형의 모양 판단?

 

 

2023.11.17 - [파이썬으로 풀어보는 고딩수학] - 프롤로그

프롤로그

 

위 글에서 말했다시피, 고등학교 수학문제들을 파이썬으로 풀어보는 게 목적이야.

 

평면좌표에서의 점, 직선, 원, 다각형 등 기하에 관련된 문제를 python으로 풀어볼 생각이지. 아래 문제를 먼저 풀어보자구

 

문제.
다음 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 어떤 삼각형인가?
$$ A(1,4), B(-1,2), C(0,1)$$

 

우선 이 삼각형의 그림을 한번 그려볼게. python으로 다음과 같이 그릴 수 있지.

 

from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

p1, p2, p3 = [1,4], [-1,2], [0,1]     # 세 점

point_set = np.array([p1,p2,p3,p1])   # 세 점이 순환하도록 array를 만든다.
plt.xlim([-5,5])
plt.ylim([-5,5])
plt.plot(point_set[:,0], point_set[:,1])   # 점들의 x좌표, y좌표 array를 plotting한다.
plt.text(p1[0],p1[1], "A")
plt.text(p2[0],p2[1], "B")
plt.text(p3[0],p3[1], "C")
plt.axis('equal')                          # 정확한 모형을 보기 위해, 축의 scale를  equal로 둔다.
plt.show()

 

그러면 아래와 같이 삼각형의 그래프가 그려져(주의할 점은 세 점이 순환하도록 point_set이라는 array를 점이 순환하게 만들어 준 것!, 그래야 점들을 선으로 모두 연결하는 그래프가 나오지)

 

 

 

딱 보니까, 각 B가 직각인 직각삼각형으로 보이지 않나? B가 직각이라는데 내 돈 모두를 걸고 싶은 지경이야. 

그런데 여기서 맹점 한 가지 알려줄게. 아래 더 보기를 봐봐

 

 

 

만일 위 코드에서

plt.axis('equal')

 

 를 생략하면 어떻게 될까? 

 

 

 그래프 좀 봐봐. 같은 그래프인데, python matploblib에서 기본으로 제공하는 차트 $x, y$축 비율 때문에 삼각형이 왜곡 져 보여. 도저히 각 $B$가 직각이라는 사실을 알 수 없지.

 

따라서 이렇게 육안으로 판별할 때는, $x, y$축의 scale를 맞춰 주는 함수를 써 줘야 함!

 

자, 다시 돌아가서 $\angle B$가 직각이라는 합리적 의심을 어떻게 python으로 판단할 수 있을까?

 

is_right() 함수

 

 

python 내의 강력한 라이브러리인

 

 

를 쓸 거야. 중고딩 수학채에서 보던 $x, y$등 모든 변수, 그리고 변수와 관련된 함수 및 함수 분석 등 모두 sympy가 담당하지.  아래 나오는 함수(또는 객체)인 Triangle이나 Point, is_right() 함수 등은 모두 sympy 내에 이미 만들어져 있는 애들이야.

 

 

from sympy import *


p1, p2, p3 = Point([1,4]), Point([-1,2]), Point([0,1])     # 세 점을 Point 객체로 만든다.
tr = Triangle(p1, p2, p3)   # p1,p2,p3를 꼭지점으로 하는  삼각형을 만든다.
print(tr.is_right())        # 삼각형 tr이 직각삼각형인지 판별함

 

위와 같이 sympy에 있는 모든 걸 import 하고 이걸 실행해 보면,

 

True

 

답이 True가 나오네. is_right 가 True라는 거야. right는 알다시피 수학용어로 쓰면 직각이라는 단어거든.

위의 code에 다음을 추가해 볼까? 각각의 각 들의 정확한 값을 알고 싶거든

 

ang_A, ang_B, ang_C = tr.angles[p1], tr.angles[p2], tr.angles[p3]

print( "Three angles : ")
print( f"angle A : {ang_A}")
print( f"angle B : {ang_B}")
print( f"angle C : {ang_C}")

 

참고로, 다각형의 각(angle)을 알고 싶을 때는  angles [pt]라는 함수를 쓰면 돼. 결과를 보면,

 

Three angles : 
angle A : acos(2*sqrt(5)/5)
angle B : pi/2
angle C : acos(sqrt(5)/5)

 

간단히 수학 용어를 복습해 보면

 

sympy 기호	수학적인 뜻
acos	$\cos^{-1} $ 또는 $\arccos$
pi	$\pi$, 원주율
sqrt	$\sqrt{\cdot}$, 루트

 

 

따라서 저 결과에 따르면

$$ \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5} ~,~  \angle B = \frac{\pi}{2}~,~ \cos C = \frac{\sqrt{5}}5 $$

라는 얘기야

 

각들을 다 구해봤는데, 진짜 직각이 있네. is_right 하지!!

 

 

다른 삼각형 모양 판별법

sympy로는 직각삼각형뿐 아니라, 정삼각형이냐, 이등변 삼각형이냐 등도 따질 수 있어. 한번 보면,

 

print(f"Is equilateral ? :{tr.is_equilateral()}")
print(f"Is isosceles   ? :{tr.is_isosceles()}")

 

를 추가해서 결과를 보면

 

Is equilateral ? :False
Is isosceles   ? :False​

 

equilateral, isosceles는 각각 정삼각형, 이등변삼각형 여부를 묻는 단어야.  해당 삼각형은 정삼각형도 아니요, 이등변 삼각형도 아니지. 

 

이렇게 판단을 할 수 있는 거야.

 

 

 

sympy 함수 정리

 

위에서 썼던 sympy 함수들을 정리해 볼게

 

함수	뜻
Point	점(point),  점의 좌표를 list 형이나 tuple형으로 받는다.
Triangle	삼각형을 정의함
is_right	직각삼각형이냐를 따지는 함수, True or False
is_equilateral	정삼각형인지를 판단하는 함수, True or False
is_isosceles	이등변 삼각형인지를 판단하는 함수, True or False

 

 

유용하고 멋진 함수들이 많지. 이제 시작일 뿐이야~