dWdt=0? dt^2=0?

 

이 글에서는

2022.06.02 - [수학의 재미/아름다운 공식] - dW^2 = dt ?

dW^2 = dt ?

에 이어

$$ dW_t dt = 0 ~,~ dt^2 =0 $$

을 증명해 보도록 하겠습니다. 사실 저번 글에서 $dW_t$는 $\sqrt{dt}$와 비슷하므로

$$ dW_t dt = dt \cdot \sqrt{dt} =0 ~,~ dt^2 = dt\cdot dt =0 $$

과 같이 쉽게 결과를 알 수 있습니다. 좀 더 엄밀하게 수학적으로 증명해 볼까요?

Wiener process를 다시 remind 해보죠.

 

위너 프로세스(Wiener process)

간단히 살펴보자면, 위너 프로세스는 다음의 4가지 성질을 만족하는 확률과정입니다.

1. 임의의 시점 $t>0$ 와 time interval $\Delta t >0$에 대하여, $W_{t+\Delta t}-W_t$는 $N(0,(\Delta t)^2)$ 을 따른다.

2. (현재)시점 $t=0$에서 이 값은 0이다. 즉, $W_0 =0 $ 이다.

3. 임의의 시점 $t_1<t_2<t_3$ 에 대하여 $W_{t_3}-W_{t_2}$ 와 $W_{t_1}$은 독립이다.      (즉, 시점 t_1 전까지 발생한 사건들은 그 이후 시점에 벌어진 사건들과는 관계가 없다.)

4. $t$에 대해서 연속함수이다.

우선 다음부터 증명해 보겠습니다.

$dW_t \cdot dt =0 $

미분소로 이루어진 관계식이 사실은 적분에 관련된 식이라는 것은 위의 링크된 글에서 이미 설명한 바 있습니다.

즉 임의의 $t\ge 0$에 대하여,

$$ \int_0^t dW_s ds =0$$

임을 증명하면 됩니다. 저번에도 말했듯이 좌변은 확률변수이고, 우변은 $0$이라는 상수이므로 $L^2$ norm 접근을 하여

$$\mathbb{E}\left[ \left(\int_0^t dW_s ds -0\right)^2\right] =0 \tag{1} $$

임을 보이면 됩니다.

 

$\int_0^t dW_s ds$  은 어떻게 정의되는 값일까요?  구분구적법으로 접근해 봅시다.

$0$부터 $t$까지 구간을 $n$ 등분하여 $\Delta t = \frac tn$ 이라 하고 $t_i = i\cdot \Delta t$라 합시다. 그러면

$$\int_0^t dW_s ds =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i} \Delta t_i$$

이므로 식(1)에서

$$\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i} \Delta t_i  \right)^2 \right] $$

의 극한값을 구하면 되고 $\Delta t_i =\frac{t}{n}$ 이므로

 

$$
\begin{align}
\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i} \Delta t_i  \right)^2 \right] & = \frac{t^2}{n^2}  \mathbb{E}\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i}\right)^2\\
&=\frac{t^2}{n^2} \cdot \mathbb{E}\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 + \sum_{0\leq i\neq j <n} \Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j} \right)\\
& =\frac{t^2}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left(\Delta W_{t_i}^2\right)+\frac{t^2}{n^2}\sum_{0\leq i\neq j <n}\mathbb{E}(\Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j})\\
& =\frac{t^2}{n^2} \cdot n \cdot \frac{t}{n} + 0\\
& = \frac{t^3}{n^2} \rightarrow 0 \rm{~ as ~} n \rightarrow \infty
\end{align}
$$

 

세번째 줄에서, $\Delta W_{t_i}$ 와 $\Delta W_{t_j}$가 독립이므로, $\mathbb{E}(\Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j}) = \mathbb{E}((\Delta W_{t_i})\cdot\mathbb{E}((\Delta W_{t_j}) = 0$ 입니다.

따라서 증명되었죠.

 

 

$dt^2 =0 $

이건 어떻게 증명할까요? 임의의 $t\geq 0$에 대해

$$ \int_0^t ds^2 = 0 $$

이라는 뜻인데, 구분구적법으로 해석하면

$$ \int_0^t ds^2 =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i)^2 = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{t^2}{n^2} \cdot n = \frac{t^2}{n} =0$$

 

이죠. 따라서 증명되었습니다((위의 $dW_t dt=0$을 보일 때 기댓값을 취했는데 여기서는 안 취했죠? $ds^2$자체가 확률변수가 아니므로 굳이 기댓값을 안 구해도 되는 것입니다.)

 

이런 식으로 하면

• $ dt^2 , dt^3, dt^4, \cdots = 0 ,$
• $ dW_t^3 , dW_t^4, dW_t^5 ,\cdots =0 $
• $ dt\cdot dW_t $ 가 들어간 항은 모두 다 $0$ 

라는 것도 다 알 수 있습니다.

 

이제 그냥 구구단 하듯이 하면 됩니다.

$dt$와 $dW_t$와 $dW_t^2$ 만 살아남는다는 것을.. 또 살아남은 $dW_t^2$는 결국엔 $dt$라는 것을..