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dW^2 = dt ?
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에 이어
dWtdt=0 , dt2=0
을 증명해 보도록 하겠습니다. 사실 저번 글에서 dWt는 √dt와 비슷하므로
dWtdt=dt⋅√dt=0 , dt2=dt⋅dt=0
과 같이 쉽게 결과를 알 수 있습니다. 좀 더 엄밀하게 수학적으로 증명해 볼까요?
Wiener process를 다시 remind 해보죠.
위너 프로세스(Wiener process)
간단히 살펴보자면, 위너 프로세스는 다음의 4가지 성질을 만족하는 확률과정입니다.
1. 임의의 시점 t>0 와 time interval Δt>0에 대하여, Wt+Δt−Wt는 N(0,(Δt)2) 을 따른다. |
2. (현재)시점 t=0에서 이 값은 0이다. 즉, W0=0 이다. |
3. 임의의 시점 t1<t2<t3 에 대하여 Wt3−Wt2 와 Wt1은 독립이다. (즉, 시점 t_1 전까지 발생한 사건들은 그 이후 시점에 벌어진 사건들과는 관계가 없다.) |
4. t에 대해서 연속함수이다. |
우선 다음부터 증명해 보겠습니다.
dWt⋅dt=0
미분소로 이루어진 관계식이 사실은 적분에 관련된 식이라는 것은 위의 링크된 글에서 이미 설명한 바 있습니다.
즉 임의의 t≥0에 대하여,
∫t0dWsds=0
임을 증명하면 됩니다. 저번에도 말했듯이 좌변은 확률변수이고, 우변은 0이라는 상수이므로 L2 norm 접근을 하여
E[(∫t0dWsds−0)2]=0
임을 보이면 됩니다.
∫t0dWsds 은 어떻게 정의되는 값일까요? 구분구적법으로 접근해 봅시다.
0부터 t까지 구간을 n 등분하여 Δt=tn 이라 하고 ti=i⋅Δt라 합시다. 그러면
∫t0dWsds=lim
이므로 식(1)에서
\mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i} \Delta t_i \right)^2 \right]
의 극한값을 구하면 되고 \Delta t_i =\frac{t}{n} 이므로
\begin{align} \mathbb{E} \left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i} \Delta t_i \right)^2 \right] & = \frac{t^2}{n^2} \mathbb{E}\left(\sum_{i=0}^{n-1} \Delta W_{t_i}\right)^2\\ &=\frac{t^2}{n^2} \cdot \mathbb{E}\left(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta W_{t_i})^2 + \sum_{0\leq i\neq j <n} \Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j} \right)\\ & =\frac{t^2}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left(\Delta W_{t_i}^2\right)+\frac{t^2}{n^2}\sum_{0\leq i\neq j <n}\mathbb{E}(\Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j})\\ & =\frac{t^2}{n^2} \cdot n \cdot \frac{t}{n} + 0\\ & = \frac{t^3}{n^2} \rightarrow 0 \rm{~ as ~} n \rightarrow \infty \end{align}
세번째 줄에서, \Delta W_{t_i} 와 \Delta W_{t_j}가 독립이므로, \mathbb{E}(\Delta W_{t_i} \cdot \Delta W_{t_j}) = \mathbb{E}((\Delta W_{t_i})\cdot\mathbb{E}((\Delta W_{t_j}) = 0 입니다.
따라서 증명되었죠.
dt^2 =0
이건 어떻게 증명할까요? 임의의 t\geq 0에 대해
\int_0^t ds^2 = 0
이라는 뜻인데, 구분구적법으로 해석하면
\int_0^t ds^2 =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i)^2 = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{t^2}{n^2} \cdot n = \frac{t^2}{n} =0
이죠. 따라서 증명되었습니다((위의 dW_t dt=0을 보일 때 기댓값을 취했는데 여기서는 안 취했죠? ds^2자체가 확률변수가 아니므로 굳이 기댓값을 안 구해도 되는 것입니다.)
이런 식으로 하면
- dt^2 , dt^3, dt^4, \cdots = 0 ,
- dW_t^3 , dW_t^4, dW_t^5 ,\cdots =0
- dt\cdot dW_t 가 들어간 항은 모두 다 0
라는 것도 다 알 수 있습니다.
이제 그냥 구구단 하듯이 하면 됩니다.
dt와 dW_t와 dW_t^2 만 살아남는다는 것을.. 또 살아남은 dW_t^2는 결국엔 dt라는 것을..

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