디지털 옵션 #1. 디지털 옵션이란? 수학공식은?

이번 글부터 시작하여 몇 회에 걸쳐 다룰 파생상품은 바로 디지털 옵션(Digital Option)입니다.

 

디지털 옵션이 뭘까요? 옵션이라는 단어가 붙어 있는 걸로 봐서, 어떤 배리어나 행사가가 존재하고, 특정 조건을 만족시켰을 때 수익을 챙겨주는 상품일 듯합니다. 

디지털은 어떤 의미일까요? 다음의 그림을 보시죠.

 

Analog vs. Digital - learn.sparkfun.com 에서 발췌

저도 잘 알지는 못하지만 SPI라는 것이 사용하는 Digital Signal에 관련된 그림입니다. 0과 1의 조합으로 이루어진 일련의 수열을 주고받으며 정보를 공유하죠. 위 그림의 그래프에 주목을 해 보면, 0과 1 두 신호에 따라 두 높낮이로 결정된 계단형 모습입니다. 이 모습을 기억하며 디지털 옵션을 정의해 보겠습니다.

 

 

디지털 옵션이란?

금융상품은 페이오프 그래프로 설명하는 것이 편리합니다.

 

디지털 콜옵션

디지털 콜옵션은, 어떤 행사가($K$)가 있어서, 만기 종가가 $K$이상이면 $c_2$만큼의 페이오프를, $K$미만이면 $c_1$만큼의 페이오프를 주는 단순한 구조입니다. 마치 디지털 신호처럼 계단형 모양이라 디지털 옵션이라는 명칭이 붙었습니다.

그림에서 $c_2>c_1$인 상황인데, 이처럼 주가가 오를 때 더 많은 수익이 생기는 구조이므로 콜옵션이라 합니다.

 

디지털 풋옵션

디지털 풋옵션은, 행사가 $K$에 대해 만기 종가가 $K$이상이냐 이하이냐에 따라 각각 $c_2, c_1$의 페이오프를 챙겨주는 구조입니다. 그림에서 $c_2<c_1$상황이므로 주가가 하락할 때 더 많은 수익이 생기는 구조입니다.

 

디지털 옵션은 이렇게 조건에 따라 페이오프가 두 값 중 하나로 결정되므로 Binary라는 표현을 써서 Binary Option이라고도 합니다.

 

디지털 옵션은 보통 $c_1=0$인 콜옵션의 상품이 많습니다.  기초자산 주가가 행사가를 넘지 못하면 꽝인, 복권 같은 상품이죠. 이 옵션을 어떻게 계산해야 할까요?

 

 

디지털 옵션은 얼마? (Closed Form)

 

다행히도 디지털옵션도 Closed Form인 수학 공식이 있습니다. 디지털 옵션의 행사가를 $K$, 만기를 $T$라 하고, 시점 $t$, 기초자산 $S_t$ 에서의 옵션 가치를 $f(t, S_t)$라 합시다. 디지털 옵션의 만기 페이오프는

 

$$ f(T, S_T) = \begin{cases} c_2 &, S_T \geq K \\c_1 &, S_T\leq K \end{cases} $$

 

입니다. 이것을 수학적으로 유식한 표현으로 써보면

 

$$ f(T,S_T) = c_2 \mathbb{I}(S_T\geq K) + c_1 \mathbb{I}(S_T < K) \tag{1}$$

 

이때, 디지털옵션의 가격 $f(t,S_t)$의 가격은

$$ f(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}(f(T,S_T)|\mathcal{F}_t)\tag{2}$$

입니다.  이 공식에 대해서는

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

를 복습해 보시면 됩니다. 따라서 식 (1)과 (2)를 조합하면

$$ 
\begin{align}
f(t,S_t)  & = e^{-r(T-t)} \left(\mathbb{E}(c_2 \mathbb{I}(S_T\geq K) + c_1 \mathbb{I}(S_T < K) |\mathcal{F}_t)\right)\\
& = c_2e^{-r(T-t)} \mathbb{E}( \mathbb{I}(S_T\geq K)|\mathcal{F}_t) + c_1 e^{-r(T-t)}\mathbb{E}( \mathbb{I}(S_T < K)|\mathcal{F}_t)\\
&  = c_2 e^{-r(T-t)} \mathbb{P}(S_T\geq K |\mathcal{F}_t) + c_1 e^{-r(T-t)}\mathbb{P}(S_T < K |\mathcal{F}_t)\tag{3}
\end{align}
$$

입니다. 먼저

$$  \mathbb{P}(S_T\geq K |\mathcal{F}_t) $$에 주목합니다. $S_t$는 GBM 모델

$$ dS_t/S_t = (r-q)dt + \sigma dW_t$$ 를 따른다고 가정합시다. 계속해 왔던 대로, $r$은 무위험 이자율, $q$는 연속 배당률, $\sigma$는 기초자산의 변동성입니다.

 

$$S_T = S_t \exp\left( (r-q-\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)+\sigma (W_T -W_t) \right) $$
이므로 $S_T \geq K$는
$$ W_T -W_t = \frac{\ln(K/S_t)-(r-q-\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma}$$
입니다. $W_T -W_t \sim \mathcal{N}(0,\sqrt{T-t}^2)$이므로

$$
\begin{align}
\mathbb{P}(S_T\geq K|\mathcal{F}_t) &= \mathbb{P} \left( z\geq \frac{\ln(K/S_t)-(r-q-\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \right)\\
& = \mathbb{P} \left( z\leq \frac{\ln(S_t/K)+(r-q-\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \right)\\
& = \Phi(d_2)\tag{4}
\end{align}
$$   

입니다. $\Phi$는 표준 정규분포의 누적 분포 함수이고, $d_2$는 2022.08.17 - [금융공학] - 옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form)에서 정의하였던 그 값입니다.

 

그럼 

$$  \mathbb{P}(S_T <K |\mathcal{F}_t) $$

는 어떻게 구할까요? 

$$
\begin{align}
\mathbb{P}(S_T <K |\mathcal{F}_t) & = 1- \mathbb{P}(S_T\geq K|\mathcal{F}_t) \\
& = 1- \Phi(d_2)\\
& = \Phi(-d_2)\tag{5}
\end{align}
$$

입니다. 이제 식(4)와 식(5)를 식(3)에 대입해 보면, 다음을 얻습니다.

 

디지털 옵션의 가격

$$ f(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \left[ c_2 \Phi(d_2) + c_1 \Phi(-d_2) \right] ,$$
$$ d_2 = \frac{\ln(S_t/K)+(r-q-\textstyle{\frac12}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} $$
입니다. $t=0$을 대입하면,  디지털 옵션의 현재가를 구할 수 있음.

 

디지털 풋도 유사한 방식으로 구할 수 있습니다. 사실 위의 식에서 $c_1$과 $c_2$ 위치만 바꾸면 되겠죠.

 

다음 글에서는 직접 코딩을 통해 디지털옵션의 가격을 구해보고,  어떤 특징이 있는지 살펴보겠습니다.