2Star WorstPerform 풋옵션 가격: FDM(OSM)

이 글은  2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

에서 이어집니다. 저번 글에서는 2개의 기초자산의 WorstPerform의 풋옵션 가격을 여러 방법으로 계산해 보았는데, 이 글에서는 FDM 방법을 써서 구하는 방법을 알아보겠습니다. 

 

파생상품의 가격 결정식이 Heat Equation의 형태로 주어진다는 것을 생각하면,  [수학의 재미/아름다운 이론] - 2차원 Heat Equation의 풀이 #1 : Operator Splitting Method(OSM)

2차원 Heat Equation의 풀이 #1 : Operator Splitting Method(OSM)

에서 힌트를 얻어, 2개 기초자산을 가지는 파생상품의 가격을 OSM 방법으로 풀 수 있을 것 같습니다. 우선, 2Star WorstPerform풋옵션이 무엇인지 복습해 보죠.

 

 

2 Star WorstPerform 풋옵션

두 기초자산 $X_t, Y_t$가 있을 때, 기준가를 각각 $X_0, Y_0$라 합니다.  이때 행사가 $K$이고 만기 $T$인 풋옵션의 만기 페이오프는

$$\max(K-wp(T),0)$$

으로 주어집니다. 여기서 

$$ wp(t) = \min(X(t)/X_0 , Y(t)/Y_0)$$

입니다.  앞선 글에서 이 풋옵션의 가격을 Closed form, MC 방법으로 구해보았습니다.

 

Closed form	① 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #1 ②  2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #2 ③ 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)
MC	2Star WorstPerform 풋옵션 가격: 시뮬레이션

 

 

이제 FDM으로 풀어보겠습니다. 어떻게 접근할까요? 

 

 

 

2 Star 파생상품의 가격 결정식

우선, 2개의 기초자산을 갖는 파생상품의 가격 결정식을 알아봅시다. 해당 내용은

 

2023.01.13 - [금융공학] - 여러 개의 기초자산을 가지는 파생상품 가격결정식

여러개의 기초자산을 가지는 파생상품 가격결정식

에서 찾을 수 있습니다.  

두 기초자산 프로세스를

$$\begin{align} dX_t &= (r-q_1)dt + \sigma_1 dW_1(t) \\ dY_t &= (r-q_2)dt+\sigma_2 dW_2(t)\end{align}$$

라 합시다($r$은 무위험 이자율 $dW_1(t)\cdot dW_2(t) = \rho dt$, 즉 $X_t, Y_t$ 수익률의 상관계수는 $\rho$인 상황입니다.) 

위의 링크된 글에 따르면 만기 페이오프 $f(x,y)$를 갖는 파생상품의 가치 $u(t,x,y)$는

$$
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &+ (r-q_1) x\frac{\partial u}{\partial x}+ (r-q_2) y\frac{\partial u}{\partial y}\\
& + \frac12\sigma_1^2 x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac12\sigma_2^2 y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+\rho\sigma_1\sigma_2 xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} -ru =0,\tag{BS}
\end{align}
$$

$$ u(T,x,y)=f(x,y)\tag{TC}$$
입니다. (BS)은 Black Scholes Equation이라는 뜻, (TC)은 terminal condition이라는 뜻입니다.

 

그런데 예전 글에서 살펴본 논리대로라면, 위의 식 (BS)는 바로 Heat Equation입니다.  

게다가 Heat Equation은 FDM의 방법을 사용하여 풀 수 있다고 하였습니다. 바로 아래의 글이었죠.

2023.02.06 - [수학의 재미/아름다운 이론] - 2차원 Heat Equation의 풀이 #1 : Operator Splitting Method(OSM)

2차원 Heat Equation의 풀이 #1 : Operator Splitting Method(OSM)

 

위 글에서는  Heat Equation 스타일의 편미분 방정식을 이산화 시켜 OSM 방법으로 풀 수 있음을 설명했습니다.  이제 식 (BS) 이 친구를 이산화(discretization) 하여 봅시다.

 

 

 

편미분 방정식 (BS)의 이산화

자산이 2개인 만큼 $t, x, y$에 대한 3차원 그리드를 생각해야 합니다. 아래와 같이 각 변수를 분할합니다.

 

$$0=t_0<t_1<\cdots<t_{N-1}<t_n = T~,~~~ t_1-t_0 = k$$
$$ x_{\min} = x_0 < x_1<\cdots <x_{I-1}<x_I = x_{\max}~,~~~ h_1 = x_1-x_0$$
$$ y_{\min} = y_0 < y_1<\cdots <y_{I-1}<y_I = y_{\max}~,~~~ h_2 = y_1-y_0$$

 

위의 식 (BS)는 initial condition이 아닌 TERMINAL condition (TC)를 갖는 것에 착안하여 시점에 대해 backward로 풀어내려 오는 방법을 쓰겠습니다.

또한 $x,y$ 두 변수가 있는 관계로 OSM 방법을 써서 변수 분리를 시키겠습니다. 그러기 위해서는

 

$n$과 $n+1$ 시점 사이에 $n+\frac12$ 필요

 

합니다.

 

 

위의 그림처럼

○ $n+1$에서 $n+1/2$ 시점까지 backward로 $x$에 관하여 푼다.

○ $n+1/2$에서 $n$시점까지 backward로 $y$에 대해 푼다

 

그런데 문제가 있습니다. 아래 표를 보시죠. 식 (BS)를 분해해보면

 

$t$에 대한 식	$$\frac{\partial u}{\partial t}$$
$x$에 대한 식	$$(r-q_1) x\frac{\partial u}{\partial x} + \frac12\sigma_1^2 x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$	$n+1$에서 $n+1/2$까지
$y$에 대한 식	$$(r-q_2) y\frac{\partial u}{\partial y}+\frac12\sigma_2^2 y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$	$n+1/2$에서 $n$까지
기타 이도저도 아닌 식	$$\rho\sigma_1\sigma_2 xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} -ru$$	???

과연 저 이도저도 아닌 식은 어떻게 처리해야 하는가입니다. $x, y$가 혼재되어 있어서 혼란스럽습니다.

또 기타 이도저도 아닌 식은 어떻게 이산화 시켜야 될까요.

 

 

Cross Term의 이산화

$x,y$가 섞여 있는 

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} $$

을 cross term이라 합니다. 이것은 어떻게 이산화가 될까요? 점 $(x,y)$에서

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y }(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y}\right)(x,y)$$

입니다. 

그런데 작은 수 $h_2$에 대해서

$$\frac{\partial u}{\partial y} (x,y) \approx \frac{u(x,y+h_2)-u(x,y-h_2)}{2h_2} $$

입니다. 이것을 다시 $\frac{\partial}{\partial x}$를 취해보면,

 

$$
\begin{align}
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y }&(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y}\right)(x,y)\\
& = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u(x,y+h_2)-u(x,y-h_2)}{2h_2} \right)\\
& = \frac{1}{2h_1} \left( \frac{u(x+h_1,y+h_2)-u(x+h_1,y-h_2)}{2h_2} - \frac{u(x-h_1,y+h_2)-u(x-h_1,y-h_2)}{2h_2} \right)\\
& = \frac{u(x+h_1,y+h_2)-u(x+h_1,y-h_2) -u(x-h_1,y+h_2)+u(x-h_1,y-h_2)}{4h_1h_2}
\end{align}
$$

 

이도 저도 아닌 식을 분할 반영

$x$나 $y$로 명쾌히 나눠지지 않는 항인

$$\rho\sigma_1\sigma_2 xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} -ru$$

은 절반씩 다음과 같이 나눕니다.

 

$n+1$에서 $n+1/2$까지	$x$에 대한 식에	$$\frac12\rho\sigma_1\sigma_2 xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} -\frac12ru$$
$n+1/2$에서 $n$까지	$y$에 대한 식에	$$\frac12\rho\sigma_1\sigma_2 xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} -\frac12ru$$

절반씩 나누는 게 가장 간명해서 그렇지 위/아래 순서대로 $\lambda$, $1-\lambda$로 나누는 방법도 가능합니다.

 

 

이산화

늘 그래왔듯이 

$$u(t_n, x_i, x_j) := u_{ij}^n$$

이라 표기합시다. 그리고 식 (BS)를 아래와 같이 이산화 합니다.

 

$$ 
\begin {align}
\frac{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}}{k} & + \mathcal{L}_x u_{ij}^{n+1/2} =0  \tag{1}\\
\frac{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^{n}}{k} & + \mathcal{L}_y u_{ij}^{n} =0\tag{2}   
\end{align}
$$

 

여기서

$$
\begin{align}
 \mathcal{L}_x  u_{ij}^{n+1/2} = (r-q_1)& x_i\frac{u_{i+1,j}^{n+1/2} - u_{i-1,j}^{n+1/2}}{2h_1} + \frac12 \sigma_1^2x_i^2 \frac{u_{i+1,j}^{n+1/2}-2u_{ij}^{n+1/2}+u_{i-1,j}^{n+1/2}}{h_1^2} \\
& +\frac12 \rho x_iy_j \frac{u_{i+1,j+1}^{n+1}-u_{i+1,j-1}^{n+1}-u_{i-1,j+1}^{n+1}+u_{i-1,j-1}^{n+1}}{4h_1h_2} -\frac12 r u_{ij}^{n+1/2}
\end{align}
$$

이고

$$
\begin{align}
 \mathcal{L}_y  u_{ij}^{n} = (r-q_2)& y_j\frac{u_{i+1,j}^{n} - u_{i-1,j}^{n}}{2h_2} + \frac12 \sigma_2^2 y_j^2 \frac{u_{i+1,j}^{n}-2u_{ij}^{n}+u_{i-1,j}^{n}}{h_2^2} \\
& +\frac12 \rho x_iy_j \frac{u_{i+1,j+1}^{n+1/2}-u_{i+1,j-1}^{n+1/2}-u_{i-1,j+1}^{n+1/2}+u_{i-1,j-1}^{n+1/2}}{4h_1h_2} -\frac12 r u_{ij}^{n}
\end{align}
$$

입니다. $\mathcal{L}_x  u_{ij}^{n+1/2},  \mathcal{L}_y  u_{ij}^{n}$는 각각 $n+1/2$ 시점레벨과 $n$시점 레벨을 중심으로 이산화를 시켰는데, 유독 3번째 항인 cross term들은 각각 $n+1$, $n+1/2$ 시점에서 이산화 시켰습니다. 이는 계산의 편의를 위한 것으로서

cross term들은 이미 결정된 알려진 값으로 가정을 하고 Thomas Algorithm를 푸는 것

 

 

입니다. 참고로,  식(1), (2)를 더해보면, 식 (BS)를 얻을 수 있습니다.

 

(1) 번 식을 정리하면 아래와 같음

$$\alpha_i u_{i-1,j}^{n+1/2} +\beta_i u_{ij}^{n+1/2} +\gamma_i u_{i+1,j}^{n+1/2} = \eta_i$$

$$ \begin{align} \alpha_i &= -\frac{r-q_1}{2h_1}+\frac{\sigma_1x_i^2}{2h_1^2}\\ \beta_i & = -\frac1k-\frac{\sigma_1x_i^2}{h_1^2}-\frac r2\\ \gamma_i&=\frac{r-q_1}{2h_1}+\frac{\sigma_1x_i^2}{2h_1^2}\\ \eta_i &= -\frac1ku_{ij}^{n+1} -\frac12 \rho x_iy_j \frac{u_{i+1,j+1}^{n+1}-u_{i+1,j-1}^{n+1}-u_{i-1,j+1}^{n+1}+u_{i-1,j-1}^{n+1}}{4h_1h_2} \end{align} $$

 

(2) 번 식을 정리하면 아래와 같음

$$\alpha_j u_{i,j-1}^{n} +\beta_j u_{ij}^{n} +\gamma_j u_{i,j+1}^{n} = \eta_j$$ $$ \begin{align} \alpha_j &= -\frac{r-q_2}{2h_2}+\frac{\sigma_2y_j^2}{2h_2^2}\\ \beta_j & = -\frac1k-\frac{\sigma_2y_j^2}{h_2^2}-\frac r2\\ \gamma_j&=\frac{r-q_2}{2h_2}+\frac{\sigma_2y_j^2}{2h_2^2}\\ \eta_j &= -\frac1ku_{ij}^{n+1/2} -\frac12 \rho x_iy_j \frac{u_{i+1,j+1}^{n+1/2}-u_{i+1,j-1}^{n+1/2}-u_{i-1,j+1}^{n+1/2}+u_{i-1,j-1}^{n+1/2}}{4h_1h_2} \end{align} $$

 

당연히 위 박스의 $(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$와 아래박스의 $(\alpha_j, \beta_j, \gamma_j)$는 서로 다른 기호이지만, 이해의 편의를 위해 같은 기호를 썼습니다.

 

종합하면 다음과 같이 푸는 것입니다.

 

 

 

경계조건은 어떻게 하나?

예전 글에서  FDM의 경계 조건을 다룬 바가 있습니다. 그 중 경계조건이 선형이 되도록, 즉 두 번 미분한 값이 0 이 되도록 하는 방법을 Neumann condition(노이만 조건)이라 부르며 이 조건을 사용하여 경계치를 설정해 보도록 하겠습니다.

 

임의의 time level $n$에 대하여, 또 모든 $i, j$에 대해,

 

$$
\begin{align}
u_{2,j}^n -2u_{1,j}^n +u_{0,j}^n &=0\\
u_{I,j}^n -2u_{I-1,j}^n +u_{I-2,j}^n &=0\\
u_{i,2}^n-2u_{i,1}^n +u_{i,0}^n&=0\\
u_{i,J}^n-2u_{i,J-1}^n +u_{i,J-2}^n&=0
\end{align}
$$

을 경계조건이라  봅니다. 즉, $x_1, x_{I-1}$ 에서 $x$축 방향으로 선형, $y_1, y_{J-1}$에서 $y축 방향으로 선형 (2번 미분한 값이 0)이 되도록 설정하는 것입니다. 

 

 

 

이제 다음 글에서 직접 Python code를 통해 2 Star WorstPerform Put option의 가치를 계산해 보도록 하겠습니다.