워스트포퍼머의 기댓값 #2 : Python Code

이 글은

2023.01.22 - [금융공학] - 워스트포퍼머의 기댓값

워스트포퍼머의 기댓값

에서 이어집니다.

 

저번 글에서는 WorstPerformer의 기댓값을 구하는 Closed form을 유도했습니다. 

 

이제 코드를 통하여 Closed form과 MC 시뮬레이션의 가격을 크로스체크해 보도록 하겠습니다.

 

코드의 기본 얼개는 

2023.01.21 - [금융공학] - 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

에서 소개한 코드와 거의 흡사합니다. 감상해보죠.

 

 

Python Code

# 만기시 WorstPerform의 기댓값을 구하는 함수
# 현재가로 환산하려면 discountfactor exp(-r*T)를 곱해주면 됨

def TwoStarWorstPerform_Expectation(objUnderlyings: Underlying, objMarket: Market, maturity, n_iteration, cal_type):
    nUnderlying = 2
    spot = []
    refprice = []
    vol = []
    div = []
    drift = []
    diffusion = []
    rfr = objMarket._rfr
    corr = objMarket._correl

    if cal_type == 'MC':         # 산출방법 MC simulation

        for i in range(nUnderlying):
            spot.append(objUnderlyings[i]._spot)
            refprice.append(objUnderlyings[i]._refprice)
            vol.append(objUnderlyings[i]._volatility)
            div.append(objUnderlyings[i]._dividend)
            drift.append((rfr - div[i] - 0.5 * vol[i] ** 2) * maturity)
            diffusion.append((vol[i] * np.sqrt(maturity)))

        spot = np.array(spot)
        refprice = np.array(refprice)
        drift = np.array(drift)
        diffusion = np.array(diffusion)

        norm_rand = np.random.normal(size=(n_iteration, 2))
        norm_rand_correlated = norm_rand
        norm_rand_correlated[:, 1] = corr * norm_rand[:, 0] + np.sqrt(1 - corr ** 2) * norm_rand[:, 1]

        mat_price = spot / refprice * np.exp(drift + diffusion * norm_rand_correlated)
        worst_perf = np.min(mat_price, axis=1)          # worst performer 를 n_iteration만큼 산출
        worst_perf_expectation = worst_perf.mean()      # worst performer의 기댓값

        return worst_perf_expectation

    elif cal_type == 'CF':       # 산출방법 CF :Closed Form
        corrMatrix = np.array([[1, corr], [corr, 1]])

        for i in range(nUnderlying):
            spot.append(objUnderlyings[i]._spot)
            refprice.append(objUnderlyings[i]._refprice)
            vol.append(objUnderlyings[i]._volatility)
            div.append(objUnderlyings[i]._dividend)
            drift.append((rfr - div[i] - 0.5 * vol[i] ** 2) * maturity)
            diffusion.append((vol[i] * np.sqrt(maturity)))

        spot = np.array(spot)
        refprice = np.array(refprice)
        vol = np.array(vol)
        div = np.array(div)
        drift = np.array(drift)
        diffusion = np.array(diffusion)

        eta = np.log(spot / refprice) + drift
        p0 = np.array([np.inf, eta[1] - eta[0]])  # numpy.inf는 무한대를 뜻함
        p1 = np.array([eta[0] - eta[1], np.inf])
        points = np.array([p0, p1])
        lambda0 = np.array([[diffusion[0], 0], [diffusion[0], -diffusion[1]]])

        lambda1 = np.array([[-diffusion[0], diffusion[1]], [0, diffusion[1]]])
        dMatrix0 = lambda0 @ corrMatrix @ lambda0.transpose()
        dMatrix1 = lambda1 @ corrMatrix @ lambda1.transpose()
        dMatrix = np.array([dMatrix0, dMatrix1])
        e0 = np.array([1, 0]).transpose()
        e1 = np.array([0, 1]).transpose()
        elementVec = np.array([e0, e1])

        value = np.zeros(2)

        for i in range(nUnderlying):
            dist = mvn(mean=dMatrix[i] @ elementVec[i], cov=dMatrix[i])
            value[i] = spot[i] / refprice[i] * np.exp(
                drift[i] + 0.5 * elementVec[i].transpose() @ dMatrix[i] @ elementVec[i]) * dist.cdf(points[i])

        return (value[0] + value[1])
    else:
        return -999

 

○ numpy.inf 는 무한대를 뜻합니다.  자세한 내용은 관련 tutorial를 보시기 바랍니다.

 

 

 

이제 다음의 코드를 실행해 보겠습니다.  두 기초자산의 변동성은 30%로 동일하고 연속배당률이 없으며 만기 1인 워스트 포퍼머의 기댓값입니다.

 

두 기초자산의 현재가의 수준(100)과 비교하기 위해 discount factor를 곱해 현재가로 할인했습니다.

 

if __name__ == '__main__':

    rfr = 0.03
    maturity = 1

    wp_val_cf_list = []
    wp_val_mc_list = []
    spot_vec = np.arange(50, 150 + 10, 10)
    market = Market(rfr=rfr, correlation=- 0.9999)  # correlation을 -1로 둠

    for spot in spot_vec:
        two_assets = []
        # 기초자산의 현재가, 기준가, 변동성을 각각 100, 100, 30%로 동일시함
        underlying_spot1 = Underlying(refprice=100, spotvalue=spot, volatility=0.3, dividend=0)
        underlying_spot2 = Underlying(refprice=100, spotvalue=spot, volatility=0.3, dividend=0.0)
        two_assets.append(underlying_spot1)
        two_assets.append(underlying_spot2)

        # closed form과 mc가격 둘다 계산
        wp_val_cf = TwoStarWorstPerform_Expectation(objUnderlyings=two_assets, objMarket=market, maturity=maturity,
                                                    n_iteration=10000, cal_type='CF')
        wp_val_mc = TwoStarWorstPerform_Expectation(objUnderlyings=two_assets, objMarket=market, maturity=maturity,
                                                    n_iteration=10000, cal_type='MC')

        wp_val_cf_list.append(wp_val_cf)
        wp_val_mc_list.append(wp_val_mc)

    #할인율을 곱하여 worstperformer의 현재기댓값을 구함
    discountfactor = np.exp(-rfr * maturity)
    wp_val_cf_list = discountfactor * np.array(wp_val_cf_list)
    wp_val_mc_list = discountfactor * np.array(wp_val_mc_list)

    plt.plot(spot_vec, wp_val_cf_list, marker='o', label='WorstPerform Expectation(Closedform)')
    plt.plot(spot_vec, wp_val_mc_list, label='WorstPerform Expectation(MC)')
    plt.xlabel('stock')
    plt.legend()
    
    # plotting에 주석을 달기위한(annotate) 함수
    for x, y in zip(spot_vec, wp_val_cf_list):
        label = '({:.0f}, {:.2f})'.format(x, y)  # x, y좌표를 문자열로 만듬.

        plt.annotate(label,  # 출력할 텍스트, 여기에선 y좌표
                     (x, y),  # 텍스트를 출력할 좌표
                     textcoords="offset points",  # 텍스트 위치를 (x,y)로 부터의 오프셋 (offset_x, offset_y)로 지정
                     xytext=(0, 5),  # (x, y)로 부터의 오프셋 (offset_x, offset_y), 여기에선 y 좌표로 +20 이동합니다.
                     ha='center')  # 수평방향으로 중앙정렬합니다.

    plt.show()

    print(wp_val_cf_list - wp_val_mc_list)

○ plt.annotate 로 그래프에 점의 좌표, 주석 등 글을 쓸 수 있습니다. 자세한 용법은 tutorial을 참고해 보세요.

 

다음은 결과입니다.

 

상관계수 -1일 때

현재가 100인 상환에서 변동성 30%을 가지고 완전 반대로 움직이는(correlation=-1) 두 자산의 워스트포퍼머는 76%수준까지 떨어지는 것을 알 수 있습니다.

 

 

다음은 상관계수를 0으로 놓았을 때입니다.

상관계수 0일 때

현재가 100인 상환에서 변동성 30%을 가지고 서로 독립적으로 움직이는 두 자산의 워스트포퍼머는 83%수준까지 떨어지는 것을 알 수 있습니다.

 

 

마지막으로 상관계수 1일 때입니다. 1을 넣으면 오류가 나므로 0.9999 정도를 넣어봅니다.

상관계수 1일 때

 

상관계수가 1이라는 얘기는 그냥 하나의 기초자산이라는 뜻이죠. 당연히 현재가와 워스프 포퍼머가 일치합니다.

 

따라서 워스트 포퍼머의 직관적인 움직임이 공식을 통하여 잘 설명이 되고, 세 그림에서 살펴봤듯이 MC 가격과 Closed form가격이 일치하며, 이를 통해

워스트포퍼머를 기초자산으로 하는 델타원 상품

의 가격도 구할 수 있게 되었습니다.