2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #2

이번 글에서는

2023.01.17 - [금융공학] - 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form

2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form

에서 계산이 안되었던 나머지 부분을 계산해 보도록 하겠습니다. 연결해서 보시면 도움이 될 것 같습니다.

 

 

저번글에서는...

저번 글에서는 2개의 기초자산 $X_1(t), X_2(t)$ 를 아래와 같이 계산하기 쉽게 세팅했었습니다.

 

$$ 
\begin{align}
X_i(T) &= X_i(0) \exp\left((r-q_i-\frac12\sigma_i^2)T+\sigma_i W_i(T) \right) \\
       & := x_i \exp (d_i +v_i w_i)~~,~~i=1,2
\end{align}
$$

입니다.  수식을 간단히 하기 위해 다음과 같이 치환합니다.

$$
\begin{align}
x_i & := X_i(0)\\
d_i & := \left(r-q_i =\frac12\sigma_i^2\right)T\\
v_i & := \sigma_i \sqrt{T}
\end{align}
$$

 

이 때, $\mathbf{w}=(w_1 , w_2)$  는

$$ \mathbf{w} \sim \mathcal{N}_2(0,\Sigma)~~,~~ \Sigma = \begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho&1 \end{pmatrix} $$

인 이변량정규분포를 따른다고 했지요.

 

또한 2Star WorstPerform Put option의 만기페이오프의 기댓값은

 

$$\mathbb{E}[\max(K-wp(T),0)] = \iint_{\mathbb{R}^2} \max(K-\min(X_1(T), X_2(T)),0) d\mathbb{P}\tag{*}$$

였고, 두 개의 영역 

$$
\begin{align}
\mathcal{R}_1 &= \left\{ K\geq X_1(T)~,~ X_1(T)\leq X_2(T) \right\} \\
\mathcal{R}_2 &= \left\{ K\geq X_2(T)~,~ X_2(T)\leq X_1(T) \right\} \\
\end{align}
$$

 

을 정의하면 식(*)은

$$\underbrace{\iint_{\mathcal{R}_1} (K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}}_{(I)} +\underbrace{ \iint_{\mathcal{R}_2} (K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}}_{(II)} \tag{**}$$

와 같이 쪼개 쓸 수 있습니다. 

 

저번 글에선 구한건 바로 위 수식 중 (I)이었습니다. 이제 식(II)을 구해보도록 합시다(구하는 과정은 저번글과 대동소이할 것입니다.)

 

식 (II)의 계산

$$(II) = \iint_{\mathcal{R}_2} (K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}$$을 풀어보겠습니다.

 

$$X_i(T) = x_i \exp (d_i +v_i w_i)~~,~~i=1,2$$

이고 저번글에서 $\eta_i$ 를
$$ \eta_i = \ln(x_i)+d_i~,~i=1,2$$

라 정의했음을 기억합시다.

 

영역 $\mathcal{R}_2$ 을 정리해 볼까요?

 

$$
\begin{align}
\mathcal{R}_2 & = \{ K \geq X_2(T)~~,~~ X_2(T) \leq X_1(T) \} \\
& = \{ K \geq x_2 \exp(d_2+v_2w_2)~,~ x_2 \exp(d_2+v_2w_2) \leq x_1 \exp(d_1+v_1w_1) \} \\
& = \{v_2 w_2 \leq \ln(K)-\eta_2~,~ v_2w_2-v_1w_1 \leq \eta_1-\eta_2\}\\
& = \{ a_1 \leq \eta_1-\eta_2~,~ a_2 \leq \ln(K)-\eta_2 \}\\
& = \{ \mathbf{a} \leq \mathbf{p}_2\}
\end{align}
$$

 

여기서 $a_1 = v_2w_2-v_1w_2 ~,~ a_2 = v_2w_2$라 정의하고, $\mathbf{a} = (a_1,a_2)$, $\mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \ln(K)-\eta_2\}$라 합시다.

 

또

$$ \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix} $$ 라 하면,

$$\mathbf{a} = \Lambda_2 \mathbf{w}$$

이죠.

 

저번 글에서와 마찬가지로, 눈치를 채셨겠지만, 지금 변수 $\mathbf{w}$를 변수 $\mathbf{a}$로 변환해 보겠습니다.

 

 

이제  $\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma)$를 변환시켜 보겠습니다.

아래의 식이 성립한다. $$\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma) = |\det \Lambda_2|\cdot \phi_2(\mathbf{a};0,D_2),$$ 여기서 $D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 이다.

(증명) 증명은 저번글의 이것과 똑같은 증명에서 $\Lambda_1$대신 $\Lambda_2$,  $D_1$ 대신 $D_2$로  생각하면 된다.

 

---

다시 식(II)를 살펴봅시다.
$$
\begin{align}
(II) &= \iint_{\mathbf{R}_2} (K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
& = K \iint_{\mathcal{R}_2} \phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w} -\iint_{\mathcal{R}_2} X_2(T)\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
& = (II.1)-(II.2)
\end{align}
$$

입니다. 이제 식 (II.1)과 (II.2)는 아래처럼 정리됩니다.

 

식 (II.1)은 아래와 같다. $$ (II.1)= K\Phi_2(\mathbf{p}_2,0,D_2)$$

(증명) $$ \begin{align}  (II.1) & = K \iint_{\mathcal{R}_2} \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w} \\ & =K \iint_{\mathcal{R}_2} |\det \Lambda_2|\phi_2(\mathbf{a};0,D_2) \cdot |\det\Lambda_2^{-1}|d\mathbf{a}\\ & ~~~~(\because d\mathbf{w} = |\det \Lambda_2^{-1}|d\mathbf{a})\\ & = K \iint_{\mathbf{a}\leq \mathbf{p_2}} \phi_2(\mathbf{a}; 0,D_2)d\mathbf{a} \\ & = K\Phi_2(\mathbf{p_2},0,D_2) \end{align} $$ 여기서, $D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 이다.

 

 

식(I.2)는 다음과 같다. $$ (I.2)= x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p}; D\mathbf{e}_1, D) $$

(증명) 먼저, $\mathbf{e}_2 = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} }^t$ 이라 하면 아래의 관계식을 증명할 수 있다. $$ \begin{align} \phi_2( &\mathbf{a}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) \\ & = {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_2|}}} \exp \left( -\frac12  (\mathbf{a}-D_2\mathbf{e_2})^t D_2^{-1}(\mathbf{a}-D_2\mathbf{e_2}) \right)\\ &= {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_2|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t- \mathbf{e_1}^t D_2^t) D_2^{-1}(\mathbf{a}-D_2\mathbf{e_2}) \right)\\ &={\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_2|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t D_2^{-1} \mathbf{a} - \mathbf{a}^t\mathbf{e_2} -\mathbf{e_2}^t \mathbf{a}+\mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2}) \right)\\ & = {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_2|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t D_2^{-1} \mathbf{a} - 2a_2+\mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2}) \right) ~~~,~ \rm{Since~} \mathbf{a}^t\mathbf{e_2}  = \mathbf{e_2}^t \mathbf{a} =a_2 \\ & = e^{a_2} \exp\left(-\frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right)\phi_2(\mathbf{a};0,D_2) \end{align} $$ 이제 식 (I.2)를 정리하면 다음과 같다. $$ \begin{align}  (I.2) & =\iint_{\mathcal{R}_2} X_2(T)\phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\ & = \iint_{\mathcal{R}_2} x_2 \exp(d_2+v_2 w_2) \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\ & = x_2 e^{d_2} \iint_{\mathcal{R}_2} e^{a_2} \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\   & = x_2 e^{d_2} \iint_{\mathcal{R}_2} e^{a_2}|\det \Lambda_2|\phi_2(\mathbf{a};0,D_2) \cdot |\det\Lambda_2^{-1}|d\mathbf{a}\\ & = x_2 e^{d_2} \iint_{\mathcal{R}_2} e^{a_2} \phi_2(\mathbf{a};0,D_2) d\mathbf{a}\\ &=  x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \iint_{\mathcal{R}_2} \phi_2( \mathbf{a}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) \\ &= x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \Phi_2(\mathbf{p_2}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) \\ \end{align} $$

 

 

 

결론적으로 다음의 식을 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

중간 결론 (II)

$$ \begin{align} \iint_{\mathcal{R}_2} &(K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w} =(II)= (II.1)-(II.2)\\ &= K\Phi_2(\mathbf{p_2},0,D_2) - x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \Phi_2(\mathbf{p_2}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) \\ \end{align} $$

여기서 기호들은
○ $\mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \ln(K)-\eta_2\}$
○ $ \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix} $
○  $D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 
○ $\mathbf{e}_2 = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} }^t$

 

 

 

---

최종정리: 2Star WorstPerform Put Option 가격

 

해당 풋옵션의 가격을 $p$ 라 하면,  $p$는 만기 페이오프의 기댓값을 현재가치로 할인해 온 것입니다. 즉,

$$ p = e^{-rT}  \mathbb{E}[\max(K-wp(T),0)] $$

입니다. 그런데 저번글에서 기댓값 부분을

$$\mathbb{E}[\max(K-wp(T),0)] = (I)+(II)$$

게 나누었습니다. 

 

이제 끝났습니다. 저번글과 이번글을 정리하면 다음의 결론을 얻습니다.

$$p= e^{-rT}[(I)+(II)]$$

$$ \begin{align} (I) &= \iint_{\mathcal{R}_1} (K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\ (II) & = \iint_{\mathcal{R}_2} (K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w} \end{align} $$

$$(I)=  K\Phi_2(\mathbf{p_1},0,D_1) - x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D_1\mathbf{e}_1, D_1)  $$
$$(II)= K\Phi_2(\mathbf{p_2},0,D_2) - x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \Phi_2(\mathbf{p_2}; D_2\mathbf{e}_2, D_2)  $$ 

기호는

○ $ \mathbf{p_1} =(\ln(K)-\eta_1 , \eta_2-\eta_1), \mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \ln(K)-\eta_2\} $
○ $ \Lambda_1  = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix},  \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix}$
○ $D_1 :=\Lambda_1 \Sigma \Lambda_1^t , D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 
○ $\mathbf{e}_1 = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} }^t, \mathbf{e}_2 = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} }^t$

○ $d_i = \left(r-q_i-\textstyle{\frac12}\sigma_i^2\right)T~~,~~ v_i = \sigma_i\sqrt{T}~,~i=1,2$

○ $\Sigma= \begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho &1 \end{pmatrix} $

○ $\eta_i = \ln(x_i)+d_i~,~i=1,2$

 

 

 

이 식이 과연 맞는지 시뮬레이션 결과와 비교를 해봐야겠습니다.

시뮬레이션 방법은  2Star WorstPerform 풋옵션 가격: 시뮬레이션에서 소개한 바 있습니다.

 

다음글에서 비교 한번 해보도록 하겠습니다.