2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #1

이번 글은 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: 시뮬레이션

2Star WorstPerform 풋옵션 가격: 시뮬레이션

 

에서 이어집니다. 저번 글에서는 기초자산 2개(2star) 의 워스프포퍼머에 대한 풋옵션 가격을 시뮬레이션 방법으로 풀어봤습니다. 

그러면, 해당 상품의 closed form도 있을까요? 일견 생각했을 땐, 두 기초자산이 어지러이 얽혀 움직여 1star 풋옵션의 Black Scholes formula같은 공식을 만들어 내기 쉽지 않을 듯 하지만,

 

 

한번 도전해보겠습니다!

 

 

 

2 Star GBM은 다변량 정규분포이다.

 

기초자산인 두 개의  퍼포먼스를 $X_1(t) , X_2(t)$ 라 하고 각각의 GBM 모델을

$$ dX_i(t)/X_i(t) = (r-q_i)dt + \sigma_i dW_i(t)~,~i=1,2$$
라 합시다.  이를 풀면,

$$ 
\begin{align}
X_i(T) &= X_i(0) \exp\left((r-q_i-\frac12\sigma_i^2)T+\sigma_i W_i(T) \right) \\
       & := x_i \exp (d_i +v_i w_i)~~,~~i=1,2
\end{align}
$$

입니다.  수식을 간단히 하기 위해 다음과 같이 치환합니다.

$$
\begin{align}
x_i & := X_i(0)\\
d_i & := \left(r-q_i =\frac12\sigma_i^2\right)T\\
v_i & := \sigma_i \sqrt{T}
\end{align}
$$

중요한 점은,  $w_1, w_2 $는 표준정규분포를 따르는 변수이고, 상관계수가 $\rho$ 입니다(저번 글 참고.) 즉, 이를 다변량 정규분포(multivariate normal distribution, MVN)의 언어를 빌려 표현해보면 다음과 같습니다.

$\mathbf{w}=(w_1 , w_2)$  라 할 때, $\mathbf{w}$는 평균이 $\mathbf{0} =(0,0)$, 공분산행렬이 $$\Sigma = \begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho&1 \end{pmatrix}$$ 인 다변량 정균분포(이변량 정규분포)를 따른다. 기호로는 아래와 같이 쓴다. $$ \mathbf{w} \sim \mathcal{N}_2 ( \mathbf{0}, \Sigma)$$

다변량 정규분포란?

 

일반적으로 $n$개의 변수 $X_1, X_2, \cdots, X_n$이 다변량 정규분포를 따른다는 것은 벡터

$$ \mathbf{X} =(X_1, X_2,\cdots, X_n)$$이 $\mathcal{N}_n(\mu, \Sigma)$를 따른다고 표현합니다.

 

○ $\mu:=(\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n)$는 평균벡터입니다. $i=1,2,\cdots,n$에 대해  $\mu_i$는 변수 $X_i$의 기댓값입니다.

 

○ $\Sigma$는 $n\times n$ 공분산 행렬입니다. 즉, $\Sigma$의  $(i,j)$성분은 $X_i$와 $X_j$의 공분산으로서

$$ \Sigma_{ij} = \mathbb{E}((X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)) = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j$$ 로 표현됩니다.

여기서 $\rho_{ij}$는 $X_i, X_j$의 상관계수, $\sigma_i$는 $X_i$의 표준편차이지요.

 

$\mathcal{N}_n(\mu, \Sigma)$ 의 확률밀도함수(probability density function, pdf)를 $\phi_n(\cdot~, \mu, \Sigma)$, 누적분포함수(cumulative distribution function, cdf)를 $\Phi_n(\cdot~, \mu, \Sigma)$라 씁시다.

위키피디아를 참고하면 $\phi_n$은 아래와 같이 주어집니다.

$$\phi_n(x; \mu,\Sigma) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n |\det \Sigma|}} \exp\left( -\frac12(x-\mu)^t\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$$

 

이제 기초적인 이론 배경을 마치고 Worst Perform Put option 가격을 계산해 보겠습니다.

 

 

2 Star WorstPerform Put opton 가격 구하기

해당 풋옵션의 가격은 만기 페이오프

$$\max(K-wp(T),0)$$

의 기댓값을 계산한 후 현재가치로 할인하면 됩니다. 기댓값

$$\mathbb{E}[\max(K-wp(T),0)]$$

에 초점을 맟춥시다.

 

$$\mathbb{E}[\max(K-wp(T),0)] = \iint_{\mathbb{R}^2} \max(K-\min(X_1(T), X_2(T)),0) d\mathbb{P}\tag{*}$$

 

입니다. 그런데 피적분함수가 $X_1(T), X_2(T)$에 대한 식이고 이는 또 이변량확률변수 $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$에 대한 함수이므로 확률 측도 $\mathbb{P}$는
$$d\mathbb{P} = \phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma)d\mathbf{w}$$
를 만족합니다.
여기서 $0$은 0벡터, $\Sigma$ 는 $w_1,w_2$의 공분산 행렬로써, $\mathbb{Corr}(w_1,w_2)=\rho$이므로

 

$$\Sigma = \begin{pmatrix} 1&\rho \\ \rho &1 \end{pmatrix}$$

입니다.

식 (*)를 구체적으로 써보기 위해 영역 $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$를
$$
\begin{align}
\mathcal{R}_1 &= \left\{ K\geq X_1(T)~,~ X_1(T)\leq X_2(T) \right\} \\
\mathcal{R}_2 &= \left\{ K\geq X_2(T)~,~ X_2(T)\leq X_1(T) \right\} \\
\end{align}
$$

로 정의하면 식(*)는 아래의 두 합의 형태로 쓸 수 있습니다.

$$\underbrace{\iint_{\mathcal{R}_1} (K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}}_{(I)} +\underbrace{ \iint_{\mathcal{R}_2} (K-X_2(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}}_{(II)} \tag{**}$$이다.

식 (I) 의 계산

$$(I) = \iint_{\mathcal{R}_1} (K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}$$을 풀어보겠습니다.

 

우선,  서두에서
$$X_i(T) = x_i \exp (d_i +v_i w_i)~~,~~i=1,2$$

라고 놓은 것을 기억합시다. 그리고 
$$ \eta_i = \ln(x_i)+d_i~,~i=1,2$$ 라 정의하자

 

 

 

$\mathcal{R}_1$ 을 우선 정리해 봅시다. 

$K\geq X_1(T)$는 $K\geq x_1 \exp(d_1 +v_1w_1) $ 이므로, 
$$w_1 \leq \frac{\ln(K/x_1)-d_1}{v_1}$$
이다. 즉,
$$ v_1w_1 \leq \ln(K)-\eta_1 \tag{1}$$ 
또한

$X_1(T) \leq X_2(T)$는 $x_1 \exp(d_1+v_1w_1) \leq x_2\exp(d_2+v_2w_2)$ 입니다. 


$$v_1w_1 -v_2w_2 \leq \eta_2-\eta_1 \tag{2}$$


이제
$$\begin{align}
a_1 &=v_1w_1\\
a_2 &= v_1w_1-v_2w_2\tag{3}
\end{align}$$
라 정의 합니다. 이 상황을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

○ $ \mathbf{a} =(a_1, a_2),$

○ $ \displaystyle \Lambda_1 = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix}, $

○ $ \mathbf{p_1} =(\ln(K)-\eta_1 , \eta_2-\eta_1)$

라 정의하면, 식(1), (2)에 의해

$$ \mathcal{R}_1 = \{ \mathbf{a} \leq \mathbf{p_1}\}$$

라 쓸 수 있다.

  

※ 기호의 설명 두 $n$차원 벡터 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n) ~,~ \mathbf{y} = (y_1,y_2,\cdots, y_n)$ 이  $$\mathbf{x} \leq \mathbf{y}$$ 라는 것의 정의는 모든 $i$에 대해 $$x_i \leq y_i~~,i=1,2,\cdots, n$$  이라는 뜻이다.

눈치를 채셨겠지만, 지금 변수 $\mathbf{w}$를 변수 $\mathbf{a}$로 변환중에 있습니다.

 

 

이제  $\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma)$를 변환시켜 보겠습니다.

아래의 식이 성립한다. $$\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma) = |\det \Lambda_1|\cdot \phi_2(\mathbf{a};0,D_1)$$, 여기서 $D_1 = \Lambda_1\Sigma\Lambda_1^t$ 이다.

(증명) $$ \begin{align} \phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma) &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2|\det \Sigma|}} \exp\left( -\frac12 \mathbf{w}^t \Sigma^{-1}\mathbf{w} \right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2|\det \Sigma|}} \exp\left( -\frac12 \mathbf{a}^t (\Lambda_1^{-1})^t \Sigma^{-1} \Lambda_1^{-1} \mathbf{a} \right)\\ &~~~(\because \mathbf{w} =\Lambda_1^{-1} \mathbf{a}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2|\det \Sigma|}} \exp\left( -\frac12 \mathbf{a}^t  (\Lambda_1\Sigma\Lambda_1^t)^{-1} \mathbf{a} \right)\\ & ~~(\rm{Let} D_1:=\Lambda_1 \Sigma \Lambda_1^t , \therefore \det D_1 = (\det \Lambda_1)^2 \det \Sigma)\\ & = |\det \Lambda_1| \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2|\det D_1|}} \exp\left( -\frac12 \mathbf{a}^t  D_1^{-1} \mathbf{a} \right)\\ & = |\det \Lambda_1|\cdot \phi_2(\mathbf{a};0,D_1) \end{align} $$

 

 

---

다시 식(I)에 집중해봅시다.
$$
\begin{align}
(I) &= \iint_{\mathbf{R}_1} (K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
& = K \iint_{\mathcal{R}_1} \phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w} -\iint_{\mathcal{R}_1} X_1(T)\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
& = (I.1)-(I.2)
\end{align}
$$

입니다. 이제 식 (I.1)과 (I,2)는 아래처럼 정리됩니다.

 

식 (I.1)은 아래와 같다. $$ (I.1)= K\Phi_2(\mathbf{p_1},0,D_1)$$

(증명) $$ \begin{align}  (I.1) & = K \iint_{\mathcal{R}_1} \phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w} \\ & =K \iint_{\mathcal{R}_1} |\det \Lambda_1|\phi_2(\mathbf{a};0,D_1) \cdot |\det\Lambda_1^{-1}|d\mathbf{a}\\ & ~~~~(\because d\mathbf{w} = |\det \Lambda_1^{-1}|d\mathbf{a})\\ & = K \iint_{\mathbf{a}\leq \mathbf{p_1}} \phi_2(\mathbf{a}; 0,D_1)d\mathbf{a} \\ & = K\Phi_2(\mathbf{p_1},0,D_1) \end{align} $$

 

 

식(I.2)는 다음과 같다. $$ (I.2)= x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D\mathbf{e}_1, D_1) $$, 여기서  $\mathbf{e}_1 = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} }^t$ 이다.

(증명) 먼저 아래의 식을 증명하자. $$ \begin{align} \phi_2( &\mathbf{a}; D\mathbf{e}_1, D_1) \\ & = {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_1|}}} \exp \left( -\frac12  (\mathbf{a}-D_1\mathbf{e_1})^t D_1^{-1}(\mathbf{a}-D_1\mathbf{e_1}) \right)\\ &= {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_1|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t- \mathbf{e_1}^t D_1^t) D_1^{-1}(\mathbf{a}-D_1\mathbf{e_1}) \right)\\ &={\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_1|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t D_1^{-1} \mathbf{a} - \mathbf{a}^t\mathbf{e_1} -\mathbf{e_1}^t \mathbf{a}+\mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1}) \right)\\ & = {\textstyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^2 |\det D_1|}}} \exp\left( -\frac12 (\mathbf{a}^t D_1^{-1} \mathbf{a} - 2a_1+\mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1}) \right) ~~~,~ \rm{Since} \mathbf{a}^t\mathbf{e_1}  = \mathbf{e_1}^t \mathbf{a} =a_1 \\ & = e^{a_1} \exp\left(-\frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right)\phi_2(\mathbf{a};0,D_1) \end{align} $$ 이제 식 (I.2)를 정리하면 다음과 같다. $$ \begin{align}  (I.2) & =\iint_{\mathcal{R}_1} X_1(T)\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\ & = \iint_{\mathcal{R}_1} x_1 \exp(d_1+v_1 w_1) \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\ & = x_1 e^{d_1} \iint_{\mathcal{R}_1} e^{a_1} \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\   & = x_1 e^{d_1} \iint_{\mathcal{R}_1} e^{a_1}|\det \Lambda_1|\phi_2(\mathbf{a};0,D_1) \cdot |\det\Lambda_1^{-1}|d\mathbf{a}\\ & = x_1 e^{d_1} \iint_{\mathcal{R}_1} e^{a_1} \phi_2(\mathbf{a};0,D_1) d\mathbf{a}\\ &=  x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \iint_{\mathcal{R}_1} \phi_2( \mathbf{a}; D_1\mathbf{e}_1, D_1) \\ &= x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D_1\mathbf{e}_1, D_1) \\ \end{align} $$

 

 

 

결론적으로 다음의 식을 얻을 수 있습니다.

 

 

중간 결론

$$ \begin{align} \iint_{\mathcal{R}_1} &(K-X_1(T))\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w} =(I)= (I.1)-(I.2)\\ &= K\Phi_2(\mathbf{p_1},0,D_1) - x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D\mathbf{e}_1, D_1) \\ \end{align} $$

기호는

○ $ \mathbf{p_1} =(\ln(K)-\eta_1 , \eta_2-\eta_1)$
○ $ \Lambda_1  = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix} $
○  $D_1 :=\Lambda_1 \Sigma \Lambda_1^t$ 
○ $ \mathbf{e}_1 = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} }^t$

 

입니다.

 

 

식 (**) 에 등장하는 (II)는 다음 글에서 이어나가도록 하겠습니다.