풋옵션 시간가치가 없어지는 영역은?

 

이번 글에서는 European 풋옵션의 내재가치와 실제 프리미엄의 관계를 간단히 이야기해보도록 하겠습니다.

지난 글

2023.01.02 - [금융공학] - 풋옵션 시간가치의 비밀

풋옵션 시간가치의 비밀

에서 풋옵션은 시간가치가 음수가 되는 영역, 즉

당장 권리 행사하는 것이(intrinsic value) 풋옵션 프리미엄보다 값어치 있는 영역

 

이 존재한다는 것을 보았습니다. 그래프로 그려보면,

 

위와 같이 되었죠.

 

이제 위의 그림에서 내재가치(intrinsic value)와 풋옵션 프리미엄이 교차하는 부분을 구해보도록 하겠습니다. 기호로는 아래그림과 같이 $S^\ast$로 쓰도록 하겠습니다.

 

그렇다면, 이자율 $r$이 양수일 때, 항상 저 점 $S^\ast$가 $0\leq S\leq K$사이에서 존재하는지를 판단해 보겠습니다.

 

유로피안 풋옵션 가격을 다시 환기시켜보면 다음과 같습니다.

$$p(t,S) = e^{-r\tau} K\Phi(-d_2) - S e^{-q\tau} \Phi(-d_1),\tag{1}$$

여기서 $$d_1= \frac{\ln(S/K)+(r-q+\frac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, d_2= d_1 -\sigma \sqrt{\tau}$$

 

이고 $q$는 연속배당률, $\tau:=T-t$는 잔존만기, $\sigma$는 기초자산의 변동성, $\Phi(\cdot)$는 표준정규분포의 cdf입니다. 식(1)과 내재가치 

$$\max(K-S,0)$$

의 차이를 $f$라 합시다. 즉, $f$는 시간가치이고, 

$$f(S) =  e^{-r\tau} K\Phi(-d_2) - S e^{-q\tau} \Phi(-d_1) - \max(K-S,0)$$

입니다. 이 친구를 분석해 보기로 하죠.

 

 

$S^\ast$는 존재합니다.

 

우선

$$\lim_{S\rightarrow 0} f(S) < 0$$

을 증명하겠습니다. $S\rightarrow 0^+$ 일 때, $\ln(S/K)\rightarrow -\infty$이므로 $d_1, d_2 \rightarrow -\infty$ 입니다.

따라서 $-d_1 , -d_2 \rightarrow \infty$이고 $\Phi(-d_2) , \Phi(-d_1) \rightarrow 1$입니다. 즉,

$$\lim_{S\rightarrow 0} p(t,S) = e^{-r\tau}K - Se^{-q\tau} \rightarrow e^{-r\tau}K~~~(\because S\rightarrow 0)$$ 입니다. 반면에 내재가치는

$$\lim_{S\rightarrow 0} \max(K-S, 0) \rightarrow K$$

입니다. 또한 이자율이 양수이므로 $e^{-r\tau}<1$이죠. 따라서, $S$가 0 근처에서는 

$$p(t,S) < \max(K-S,0)$$

즉, $f(0^+)<0$ 이죠

 

그리고 자명한 이야기지만, 풋옵션 프리미엄은 항상 양수입니다. 옵션 #2. 옵션 프리미엄 구하기(Closed form) 글에서도 다루었듯이

$$p(t,S) = e^{-r\tau} \mathbb{E} [ \max(K-S_T,0) ] \tag{2}$$

을 푼 식이 바로 식(1)이고 식 (2)는 항상 양수인 $\max(K-S_T,0)$ 인 확률 변수의 기댓값으로 표현되기 때문에 양수가 나올 수밖에 없죠.

따라서 특별히 $S=K$일 때, 즉 ATM(at the money, 등가격) 일 때도 $p(t,K)$는 양수입니다. 따라서

$f(K) >0$입니다.

 

따라서, 중간값정리(위키 참조)에 의해 $f(S^\ast)=0$ 즉,

$$p(t,S^\ast) =\max(K-S^\ast,0) ~~,~~0<S^\ast <K$$

인 $S^\ast$가 존재하게 됩니다.

 

 

 

$S^\ast$ 찾기: python code

 

재미 삼아, $S^\ast$가 어떤 특징을 가지는지 한번 살펴보겠습니다.

 

위에서 함수 $f$가 $0$과 $K$사이에서 근을 가진다고 했고, 이 근을 $S^\ast$라 했습니다. 따라서 내재가치를 $K-S$로 봐도 무방합니다. 이때,

$$f(S) = p(t,S) -(K-S)$$ 의 해를 구하는 것이 목표인데, 2차방정식처럼 근의 공식이 있는 것도 아니고 해를 찾기가 굉장히 난해합니다. 이 때 쓰는 방법이 있었죠.  바로

[수학의 재미/아름다운 이론] - 해를 향하여 #1 : Bisection Method  또는

[수학의 재미/아름다운 이론] - 해를 향하여 #2: Newton-Raphson Method  입니다.

 

이 중, Bisection Method는 해가 있을만한 구간을 절반씩 줄여나가면서 결국엔 해의 근사치를 찾는 방법인데, 위의 함수 $f$처럼 복잡한 함수의 해를 찾는데 적합합니다. 

 

아래 코드를 볼까요? 간단한 설명은 주석을 참고하시기 바랍니다. 

# bisection method로 해찾는 함수
def my_bisection(f, a, b, tol):
    # approximates a root, R, of f bounded
    # by a and b to within tolerance
    # | f(m) | < tol with m the midpoint
    # between a and b Recursive implementation

    # check if a and b bound a root
    if np.sign(f(a)) == np.sign(f(b)):
        raise Exception(
            "The scalars a and b do not bound a root")

    # get midpoint
    m = (a + b) / 2

    if np.abs(f(m)) < tol:
        # stopping condition, report m as root
        return m
    elif np.sign(f(a)) == np.sign(f(m)):
        # case where m is an improvement on a.
        # Make recursive call with a = m
        return my_bisection(f, m, b, tol)
    elif np.sign(f(b)) == np.sign(f(m)):
        # case where m is an improvement on b.
        # Make recursive call with b = m
        return my_bisection(f, a, m, tol)


def find_putPremium_instrinsic_cross():
    s0 = 100
    strike = 100
    maturity = 1
    rfr = 0.02
    vol = 0.3
    div = 0.01

    vol_step = 0.01
    vol_vec = np.arange(0.1, 0.5 + vol_step, vol_step)
    # vol : 10% ~ 50% 사이 1%pt 증가

    strike_step = 1
    strike_vec = np.arange(10, 100 + strike_step, strike_step)
    # strike : 10 ~100 사이 1씩 증가
    
    maturity_step = 0.25
    maturity_vec = np.arange(0.25, 5 + maturity_step, maturity_step)
    # 만기: 3M - 5Y 사이 3M씩 증가
    
    tol = 10 ** -5    #bisection method 의 tolerance 설정
    s_tgt_vec = []
    error_vec = []
    s_min, s_max = 0.01, strike
    for v in vol_vec:
        put_premium = lambda x: PutOptionBS(x, strike, maturity, rfr, div, v) - (strike - x)
                      # 글에서 정의한 함수 f(S)
        s_tgt = my_bisection(put_premium, s_min, s_max, tol)
                      # 0<S<행사가 범위에서 해를 찾음
        error = PutOptionBS(s_tgt, strike, maturity, rfr, div, v) - (strike - s_tgt)
                      # 찾은 해를 함수 f에 넣어서 진짜 해가 맞는지 검증
        s_tgt_vec.append(s_tgt)
        error_vec.append(error)

    plt.subplot(1, 3, 1)
    plt.plot(vol_vec, s_tgt_vec, label='vol vs s*', color='b')
    plt.xlabel('vol')
    plt.legend()

    s_tgt_vec = []
    for k in strike_vec:
        put_premium = lambda x: PutOptionBS(x, k, maturity, rfr, div, vol) - (k - x)
        s_tgt = my_bisection(put_premium, s_min, k, tol)
                      # s_max 대신 k를 s_max로 했음에 주목: strike를 움직이는 상황이라..
        s_tgt_vec.append(s_tgt)

    plt.subplot(1, 3, 2)
    plt.plot(strike_vec, s_tgt_vec, label='strike vs s*', color='c')
    plt.xlabel('strike')
    plt.legend()

    s_tgt_vec = []
    for m in maturity_vec:
        put_premium = lambda x: PutOptionBS(x, strike, m, rfr, div, vol) - (strike - x)
        s_tgt = my_bisection(put_premium, s_min, s_max, tol)
        s_tgt_vec.append(s_tgt)

    plt.subplot(1, 3, 3)
    plt.plot(maturity_vec, s_tgt_vec, label='maturity vs s*', color='m')
    plt.xlabel('maturity')
    plt.legend()

    plt.show()

 

즉,  변동성, 행사가, 만기를 각각 움직여가면서 해를 찾은 것입니다. 각 상황별로 다른 파라미터들은 고정입니다. 예를 들어 아래 첫 번째 그림의 경우, 변동성별로 $S^\ast$를 찾는 것인데, 이때, 만기, 행사가, 배당률, 이자율 등 다른 파라미터는 모두 고정입니다(고정된 상수값은 위 python code에 나와 있습니다.)

 

[그림1]

 

결과를 분석해 볼까요?

 

○	변동성이 클수록 $S^\ast$ 값은 작아지고, 변동성이 작으면 $S^\ast$는 행사가에 가까워집니다.  Why? 변동성이 작으면 기초자산 움직임이 조용하다는 이야기이고, 그러면 바로 권리 행사했을 때 얻는 가치가 더 커지게 되는거죠. 어차피 횡보하는 상황에서 더 기다려봤자, 더 좋은 행사가치를 기대하기 어렵기 때문입니다.
○	행사가가 클수록 $S^\ast$ 가 커집니다.  Why? 일견 당연한 내용처럼 보입니다. 행사가가 커지면 거기에 비례해서 시간가치가 0이 되는 지점이 더 늘어나게 되는거죠. 이 현상에 대해서는 아래서 좀 더 자세하게 다루겠습니다
○	만기가 길수록 $S^\ast$ 가 작아집니다. Why?  만기가 길면 아직 기초자산의 만기 종가가 결정되기 까지 많은 시간적 여유가 있습니다. 따라서 으레 풋옵션 가치는 커지겠죠. 따라서 바로 권리 행사했을때 가치가 높아지는 경우가 줄어듭니다. 즉 $S^\ast$가 작아지는 방향입니다.

 

 

$S^\ast$와 행사가의 관계

위 [그림 1]의 중간 그래프를 보시죠. 행사가 별 $S^\ast$가 마치 직선을 이루는 것처럼 보입니다. 회귀분석을 통해 엄밀히 해볼까요?

 

위 코드를 중간 그래프만 나오게끔 수정하고, 회귀분석 과정을 추가해 보겠습니다.

 

# linear regression을 위한 sklearn libarary 이용
# LinearRegression library
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def find_putPremium_instrinsic_cross():
    s0 = 100
    strike = 100
    maturity = 1
    rfr = 0.02
    vol = 0.3
    div = 0.01

    strike_step = 1
    strike_vec = np.arange(10, 100 + strike_step, strike_step)

    s_min, s_max = 0.01, strike

    tol = 10 ** -5

    s_tgt_vec = []
    for k in strike_vec:
        put_premium = lambda x: PutOptionBS(x, k, maturity, rfr, div, vol) - (k - x)
        s_tgt = my_bisection(put_premium, s_min, k, tol)
        s_tgt_vec.append(s_tgt)

    plt.plot(strike_vec, s_tgt_vec, label='strike vs s*', color='c')
    plt.xlabel('strike')
    plt.legend()
    
    # y_train = a * X_train + b 
    # 를 만족하는 a, b를 구할 예정
    # a: weight coefficient(가중치) 또는 slope(기울기)라 부름
    # b : intercept (y절편) 이라 부름
    
    X_train = strike_vec.reshape(-1, 1)          # linear regression을 위한 X data형식 
    y_train = np.array(s_tgt_vec).reshape(-1, 1) # linear regression을 위한 y data형식

    model = LinearRegression()                # 선형 모델을 선택
    model.fit(X_train, y_train)               # 회귀분석 실행 (fit)
    score = model.score(X_train, y_train)     # model의 score (R square) 계산
    w = model.coef_                           # 가중치 계산
    b = model.intercept_                      # y절편(intercept) 계산

    print('weight: ', w)
    print('intercept: ', b)
    print('R2 : ', round(score, 3))
    plt.show()

 

결과는 아래와 같습니다.

 

weight:  [[0.68583875]]
intercept:  [4.36916949e-06]
R2 :  1.0

위 결과를 종합해 보면,  행사가 $K$와 $S^\ast$의 관계는

$$S^\ast = wK + b$$ 이고 $w=0.686 , b \approx 0$ 이므로

$$S^\ast= 0.686 K$$

입니다. 이 회귀분석의 R-square는 1입니다. 즉, 완전 선형의 관계가 있다는 이야기겠죠. 이론적으로 설명하면 아래의 이유 때문입니다.

 

점 $S^\ast$는 함수 $f$, 즉 $p(t,S)=(K-S)$의 해라고 했습니다.  즉, $S^\ast$는

$$e^{-r\tau} K\Phi(-d_2) - S e^{-q\tau} \Phi(-d_1)-(K-S) =0$$
의 해입니다.
따라서 $x=S/K$ 라 하면 $x$는
$$e^{-r\tau} \Phi(-d_2) - x e^{-q\tau} \Phi(-d_1)-(1-x) =0 \tag{3}$$
의 해입니다. 또한
  $$d_1= \frac{\ln(x)+(r-q+\frac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, d_2= d_1 -\sigma \sqrt{\tau}$$
입니다.

식(3)은 $S$와 $K$에 관계없는 $x$에 대한 함수이고 이 식의 근 $x^\ast$를 구할 수 있겠죠.

따라서, $S/K = x^\ast$  즉,

$$S= x^\ast K$$

가 바로 함수 $f$의 근이 되는 것입니다.  

위의 예제에서 $x^\ast = 0.686$인 셈인 것이죠.

즉 $S$가 $S/K$로 치환되며 degenerated 되므로 $S^\ast$와 $K$는 비례관계가 있는 것입니다.