이번 글에서는 여러 개의 지수/주식을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격 결정식을 소개할까 합니다. 하나의 기초자산을 가지는 파생상품 결정식은 다음의 글에서 다룬 바 있습니다.
2022.08.02 - [금융공학] - 파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation
파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation
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잠깐 환기해 보면 아래와 같습니다.
시점 t에서, S를 기초자산으로 하는 파생상품의 가치를 f(t,St)라 하면, ∂f∂t+(r−q)S∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2−rf=0 가 성립한다. 이 방정식의 Terminal Condition 은 f(T,S)=V(S) 이다. 여기서 T는 파생상품의 만기, r은 무위험 이자율, q,σ는 각각 기초자산의 연속배당률 및 변동성이고 V(S)는 만기 페이오프이다. |
식(1)을 푸는 방법은 또 다른 글
2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.
Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.
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에서 설명한 바 있습니다.
결론적으로, 위험중립측도 Q에서 정의된 GBM 주가 프로세스
dSt/St=(r−q)dt+σdWQt
에 대해 식(1)의 해는
f(t,St)=e−r(T−t)E(V(ST)|Ft) 특히, 시점 t=0에서는 f(0,S0)=e−rTE(V(ST)) |
입니다. 이제 식(2)의 기댓값을 수학적으로 전개하여 공식을 얻으면 closed form 방법이 되는 것이고, V(ST)의 샘플을 수만 개 생성하여 평균 내는 MonteCarlo Simulation을 도입할 수도 있습니다(참고로 식(1) 편미분방정식을 이산화 시켜 연립방정식을 풀면 FDM 방법이었죠.)
그럼 기초자산이 2개인 경우에는 파생상품의 가치가 어떻게 결정되는지 보겠습니다.
기초자산이 2개인 경우는 2 Star라고 부릅니다.

2 Star 파생상품 가격 결정식
Xt,Yt 2개의 자산을 기초자산으로 파생상품의 가격을 f(t,Xt,Yt) 라 합시다. 그리고 Xt,Yt는 GBM 모델을 따른다고 합시다.
dXt/Xt=(⋯)dt+σXdWt,dYt/Yt=(⋯)dt+σYdZt
(여기서 drift 는 확률측도에 따라 달라지는 값이라 말줄임표를 썼습니다. 아래서 보시겠지만, 위험중립 측도 Q하에서 r−q로 주어집니다.)
또 기초자산이 2개이므로 자산 수익률 간의 상관관계가 존재할 것입니다. 두 기초자산의 수익 dXt/Xt,dYt/Yt의 상관계수를 ρ라 하면
dWtdZt=ρdt
이다(상관관계를 보이는 두 자산의 움직임 모델 글을 참고하시기 바랍니다.)
이제 다음의 순서를 따라가 보겠습니다.
1. 포트폴리오의 구성
파생상품 1 unit과 ΔX개의 Xt 자산, ΔY개의 Yt 자산으로 이루어진 포트폴리오
π(t)=f(t,Xt,Yt)+ΔXXt+ΔYYt
를 고려합시다.
2. 포트폴리오 가치 변화
포트폴리오 π(t)는 ΔX개 만큼의 주식 Xt , ΔY개 만큼의 주식 Yt를 소유하고 있으므로 연속배당률에 따라 배당이익이 발생한다. 아주 짧은 순간 dt동안의 배당수익은 주식 X,Y 각각
qXΔXXtdt , qYΔYYtdt
이 됩니다. 이 사실과 Ito 보조정리( Ito의 보조정리글 참조)에 의하면
dπt=dft+ΔXdXt+ΔYdYt+qXDeltaXXtdt+qYDeltaYYtdt=ftdt+fXdXt+fYdYt+12fXXdX2t+12fYYdY2t+fXYdXtdYt +ΔXdXt+ΔYdYt+qXΔXXtdt+qYΔYYtdt
입니다. ∂f∂t:=ft,∂f∂X:=fX 등의 축약표현을 썼습니다.
3. Risk Free
앞서 구성한 포트폴리오는 파생상품의 가격변동을 주식의 변화로 헤지 하는 개념입니다. 완벽한 헤지가 되면, 포트폴리오 π(t)의 변화에 리스크, 즉 확률변수가 없어야 합니다.
따라서 식(3)에서 리스크가 있는 팩터, 즉 확률값을 가지는 팩터dXt,dYt 는 없어져야 하는 값입니다.
반면에 Ito 보조정리에 의하면,
dX2t=σ2XX2tdt , dY2t=σ2YY2t
이고
dXt⋅dYt=σXσYdWtdZt=ρσXσYdt
입니다. 즉 dXt,dYt의 2차 모멘텀항은 모두 dt관련된 term으로서 확률변수가 아니다.
어찌 됐든 식(3)의 dXt,dYt항을 제거하기 위해
ΔX=−fX , ΔY=−fY
라 놓으면 됩니다. 이 사실을 다시 식(3)에 넣으면
dπt=ftdt+12fXXdX2t+12fYYdY2t+fXYdXtdYt+qXΔXXtdt+qYΔYYtdt=(ft+12σ2XX2tfXX+12σ2YY2tfYY+ρσXσYXtYtfXY−qXXtfX−qYYtfY)dt
를 얻습니다.
4. Arbitrage Free
무위험 이자율 r에 대해
dπ(t)=rπ(t)dt
를 만족해야 합니다. 예컨대 포트폴리오의 변화 dπ(t)가 rπ(t)보다 크면, 은행에서 이자율 r의 대출금리로 돈을 빌려, 그 돈으로 포트폴리오 π(t)를 구축한 뒤 운용하면 수익률이 r보다 크게 되어 남는 장사(free lunch!)가 되기 때문입니다. 따라서 식(4)의 () 안이
rπ(t)=r(f(t,Xt,Yt)+ΔXXt+ΔYYt)=r(f−XtfX−YtfY)
을 만족해야 합니다.
5. 결론
바로 위의 식을 정리하면,
∂f∂t+(r−qX)X∂f∂X+(r−qY)X∂f∂Y+12σ2XX2∂2f∂X2+12σ2YY2∂2f∂Y2+ρσXσYXY∂2f∂X∂Y−rf=0
을 얻습니다.
2022.08.02 - [금융공학] - 파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation에서 얻었던 식과 상당히 유사합니다. 딱 하나 기억해야 할 항은
ρσXσYXY∂2f∂X∂Y
입니다. Xt,Yt 자산이 서로가 서로에게 영향을 주는 항이 생겨나게 되는 것이죠.
2 star 파생상품의 가격 결정식(기댓값)
다시, Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자. 글에서 관찰했던 논리를 따라가 봅시다.
Mt=e−rtf(t,Xt,Yt)
라고 정의하면, Mt는 마팅게일 프로세스가 됩니다(마팅게일에 대한 구체적 설명은 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?) 글을 참고하시기 바랍니다.)
즉 dMt를 계산하면 이 dynamics는 dt항이 사라지게 됩니다. 따라서 이 점을 이용하여 임의의 시점 t에 대해
f(t,Xt,Yt)=e−r(T−t)E(f(T,XT,YT)|Ft)
를 얻게 됩니다. 여기서 f(T,XT,YT)는 만기 시점의 payoff 입니다.
만일 위의 식이 수식으로 잘 풀릴 경우에는 closed form이 존재하게 되는 것이고, 그것이 힘들면 MonteCarlo 시뮬레이션을 통하여 가치를 계산할 수 있습니다.
다음 글에서 2개의 기초자산을 가지는 풋옵션을 가치 평가 해보는 방법을 알아보도록 하겠습니다
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