여러개의 기초자산을 가지는 파생상품 가격결정식

 

 

 

이번 글에서는 여러 개의 지수/주식을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격 결정식을 소개할까 합니다. 하나의 기초자산을 가지는 파생상품 결정식은 다음의 글에서 다룬 바 있습니다. 

2022.08.02 - [금융공학] - 파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation

파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation

 

잠깐 환기해 보면 아래와 같습니다.

시점 $t$에서, $S$를 기초자산으로 하는  파생상품의 가치를 $f(t, S_t)$라 하면, $$\frac{\partial f}{\partial t} + (r-q) S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} -rf =0 \tag{1}$$ 가 성립한다. 이 방정식의 Terminal Condition 은  $$f(T,S) = V(S)$$ 이다.  여기서 $T$는 파생상품의 만기, $r$은 무위험 이자율, $q,\sigma$는 각각 기초자산의 연속배당률 및 변동성이고 $V(S)$는 만기 페이오프이다.

 

식(1)을 푸는 방법은 또 다른 글

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

 

에서 설명한 바 있습니다.

 

결론적으로, 위험중립측도 $\mathbb{Q}$에서 정의된 GBM 주가 프로세스

$$ dS_t/S_t =(r-q)dt +\sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$

에 대해 식(1)의 해는

$$ f(t,S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}(V(S_T) | \mathcal{F}_t) \tag{2} $$ 특히, 시점 $t=0$에서는 $$f(0,S_0) = e^{-rT}\mathbb{E}(V(S_T))$$

입니다. 이제 식(2)의 기댓값을 수학적으로 전개하여 공식을 얻으면 closed form 방법이 되는 것이고, $V(S_T)$의 샘플을 수만 개 생성하여 평균 내는 MonteCarlo Simulation을 도입할 수도 있습니다(참고로 식(1) 편미분방정식을 이산화 시켜 연립방정식을 풀면 FDM 방법이었죠.)

 

 

그럼 기초자산이 2개인 경우에는 파생상품의 가치가 어떻게 결정되는지 보겠습니다. 

기초자산이 2개인 경우는 2 Star라고 부릅니다.

 

기초자산 2개

 

 

 

2 Star 파생상품 가격 결정식

 

$X_t, Y_t$ 2개의 자산을 기초자산으로 파생상품의 가격을  $f(t,X_t,Y_t)$ 라 합시다. 그리고 $X_t, Y_t$는 GBM 모델을 따른다고 합시다.

$$ dX_t /X_t = (\cdots)dt +\sigma_X dW_t, dY_t/Y_t = (\cdots)dt +\sigma_Y dZ_t$$

 

(여기서 drift 는 확률측도에 따라 달라지는 값이라 말줄임표를 썼습니다. 아래서 보시겠지만, 위험중립 측도 $\mathbb{Q}$하에서 $r-q$로 주어집니다.)

 

또 기초자산이 2개이므로 자산 수익률 간의 상관관계가 존재할 것입니다.  두 기초자산의 수익  $dX_t/X_t , dY_t/Y_t$의 상관계수를 $\rho$라 하면
$$ dW_t dZ_t = \rho dt$$
이다(상관관계를 보이는 두 자산의 움직임 모델 글을 참고하시기 바랍니다.)

 

이제 다음의 순서를 따라가 보겠습니다.

 

1. 포트폴리오의 구성

 

파생상품 1 unit과 $\Delta_X$개의 $X_t$ 자산, $\Delta_Y$개의 $Y_t$ 자산으로 이루어진 포트폴리오

$$\pi(t) = f(t,X_t,Y_t) +\Delta_X X_t + \Delta_Y Y_t $$

 

를 고려합시다.

 

 

2. 포트폴리오 가치 변화

 포트폴리오 $\pi(t)$는 $\Delta_X$개 만큼의 주식 $X_t$ , $\Delta_Y$개 만큼의 주식 $Y_t$를 소유하고 있으므로 연속배당률에 따라 배당이익이 발생한다. 아주 짧은 순간 $dt$동안의 배당수익은 주식 $X, Y$ 각각
$$ q_X \Delta_X X_t dt ~,~ q_Y \Delta_Y Y_t dt$$
이 됩니다.  이 사실과 Ito 보조정리( Ito의 보조정리글 참조)에 의하면

$$ 
\begin{align}
d\pi_t  & = df_t+ \Delta_X dX_t + \Delta_Y dY_t + q_X Delta_X X_t dt + q_Y Delta_Y Y_t dt \\
       & = f_t dt + f_X dX_t +f_Y dY_t + \frac12 f_{XX}dX_t^2 + \frac12 f_{YY}dY_t^2 + f_{XY} dX_tdY_t \\
       & ~~~~~~~ +\Delta_X dX_t + \Delta_Y dY_t +q_X \Delta_X X_t dt + q_Y \Delta_Y Y_t dt \tag{3} \\
\end{align}
$$

입니다.  $ \frac{\partial f}{\partial t}:=f_t , \frac{\partial f}{\partial X}:=f_X$ 등의 축약표현을 썼습니다.

 

3. Risk Free

 

앞서 구성한 포트폴리오는 파생상품의 가격변동을 주식의 변화로 헤지 하는 개념입니다. 완벽한 헤지가 되면, 포트폴리오 $\pi(t)$의 변화에 리스크, 즉 확률변수가 없어야 합니다. 

따라서  식(3)에서 리스크가 있는 팩터, 즉 확률값을 가지는 팩터$dX_t , dY_t$ 는 없어져야 하는 값입니다. 

 

반면에 Ito 보조정리에 의하면,
$$ dX_t^2= \sigma_X^2 X_t^2 dt~ ,~ dY_t^2= \sigma_Y^2 Y_t^2 $$

이고
$$ dX_t\cdot dY_t= \sigma_X \sigma_Y dW_t dZ_t= \rho\sigma_X\sigma_Y dt$$

 

입니다. 즉 $dX_t , dY_t$의 2차 모멘텀항은 모두 $dt$관련된 term으로서 확률변수가 아니다.

어찌 됐든 식(3)의  $dX_t, dY_t$항을 제거하기 위해
$$\Delta_X = -f_X~,~ \Delta_Y = -f_Y$$
라 놓으면 됩니다.  이 사실을 다시 식(3)에 넣으면

$$ 
\begin{align}
d\pi_t  &  = f_t dt +  \frac12 f_{XX}dX_t^2 + \frac12 f_{YY}dY_t^2 + f_{XY} dX_t dY_t + q_X \Delta_X X_t dt + q_Y \Delta_Y Y_t dt \\
      & = \left( f_t + \frac12 \sigma_X^2 X_t^2   f_{XX}  +\frac12 \sigma_Y^2 Y_t^2   f_{YY} + \rho\sigma_X\sigma_Y X_tY_t f_{XY} -q_X X_t f_X -q_Y Y_t f_Y \right) \tag{4} dt
\end{align}
$$
를 얻습니다.

 

 

4. Arbitrage Free

 

무위험 이자율 $r$에 대해
$$ d\pi(t) = r\pi(t) dt$$
를 만족해야 합니다. 예컨대 포트폴리오의 변화 $d\pi(t)$가 $r\pi(t)$보다 크면, 은행에서 이자율 $r$의 대출금리로 돈을 빌려, 그 돈으로 포트폴리오 $\pi(t)$를 구축한 뒤 운용하면 수익률이 $r$보다 크게 되어 남는 장사(free lunch!)가 되기 때문입니다.  따라서 식(4)의 $( )$ 안이 
$$
\begin{align}
 r\pi(t) &= r\left( f(t,X_t,Y_t) +\Delta_X X_t + \Delta_Y Y_t \right) \\
& = r \left(f -X_t f_X -Y_t f_Y  \right) 
\end{align}
$$

을 만족해야 합니다.

 

 

5. 결론

 

바로 위의 식을 정리하면,

$$
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} &+ (r-q_X) X\frac{\partial f}{\partial X}+ (r-q_Y) X\frac{\partial f}{\partial Y}\\
& + \frac12\sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} +\frac12\sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial Y^2}
+\rho\sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 f}{\partial X \partial Y} -rf =0
\end{align}
$$

 

을 얻습니다.

2022.08.02 - [금융공학] - 파생상품 가격 결정 Black Scholes Equation에서 얻었던 식과 상당히 유사합니다. 딱 하나 기억해야 할 항은

$$ \rho\sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 f}{\partial X\partial Y} $$

 

입니다. $X_t, Y_t$ 자산이 서로가 서로에게 영향을 주는 항이 생겨나게 되는 것이죠. 

 

 

 

2 star 파생상품의 가격 결정식(기댓값)

 

다시,  Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자. 글에서 관찰했던 논리를 따라가 봅시다.

$$ M_t = e^{-rt} f(t,X_t,Y_t)$$

라고 정의하면, $M_t$는 마팅게일 프로세스가 됩니다(마팅게일에 대한 구체적 설명은 마팅게일과 Ito Lemma (drift term이 없다고?) 글을 참고하시기 바랍니다.)

 

즉 $dM_t$를 계산하면 이 dynamics는 $dt$항이 사라지게 됩니다. 따라서 이 점을 이용하여  임의의 시점 $t$에 대해

$$ f(t,X_t,Y_t ) =e^{-r(T-t)} \mathbb{E}(f(T,X_T,Y_T)|\mathcal{F}_t)$$

를 얻게 됩니다. 여기서 $f(T,X_T,Y_T)$는 만기 시점의 payoff 입니다.

만일 위의 식이 수식으로 잘 풀릴 경우에는 closed form이 존재하게 되는 것이고, 그것이 힘들면 MonteCarlo 시뮬레이션을 통하여 가치를 계산할 수 있습니다.

 

 

 

다음 글에서 2개의 기초자산을 가지는 풋옵션을 가치 평가 해보는 방법을 알아보도록 하겠습니다