워스트포퍼머의 기댓값

이번 글은

2023.01.21 - [금융공학] - 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #3 (Python Code)

에서 이어집니다. 지난 글에서는 두 기초자산의 워스트포퍼머를 새로운 기초자산으로 하는 풋옵션의 가격을 수학 공식으로 산출해 보고, Python code를 통해 시뮬레이션값과 Closed form값이  일치함을 보였습니다.

 

이를 보고 있노라니, 

 

워스트포퍼머의 기댓값은 어떻게 될까? 기초자산 하나하나의 기댓값과 비교가 가능할까?

가 궁금해졌습니다. 이번 글에서는 워스트 포퍼머 자체의 기댓값에 대해서 한번 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

2 Star WorstPerformer의 기댓값 구하기

WorstPerform의 기댓값은

$$\mathbb{E}(wp(T))$$

입니다. 즉,

 

$$\mathbb{E}(wp(T)) = \iint_{\mathbb{R}^2} \min(X_1(T), X_2(T) d\mathbb{P}\tag{*}$$

 

입니다. 그런데 피적분함수가 $X_1(T), X_2(T)$에 대한 식이고 이는 또 이변량확률변수 $\mathbf{w}=(w_1,w_2)$에 대한 함수이므로 확률 측도 $\mathbb{P}$는
$$d\mathbb{P} = \phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma)d\mathbf{w}$$
를 만족합니다.
여기서 $0$은 0벡터, $\Sigma$ 는 $w_1,w_2$의 공분산 행렬로써, $\mathbb{Corr}(w_1,w_2)=\rho$이므로

 

$$\Sigma = \begin{pmatrix} 1&\rho \\ \rho &1 \end{pmatrix}$$

입니다.

식 (*)를 구체적으로 써보기 위해 영역 $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$를
$$
\begin{align}
\mathcal{R}_1 &= \left\{  X_1(T) < X_2(T) \right\} \\
\mathcal{R}_2 &= \left\{  X_1(T) \geq X_2(T) \right\} \\
\end{align}
$$

로 정의하면 식(*)는 아래의 두 합의 형태로 쓸 수 있습니다.

$$\underbrace{\iint_{\mathcal{R}_1} X_1(T) \phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma)d\mathbf{w}}_{(I)} +\underbrace{ \iint_{\mathcal{R}_2} X_2 \phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}}_{(II)} \tag{**}$$이다.

 

 

 

 

이제 (**)의 식(I)을 계산해 봅시다.

 

식 (I)의 계산

$$(I) = \iint_{\mathcal{R}_1} X_1(T) \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}$$을 풀어보겠습니다.

 

우선,  서두에서
$$X_i(T) = x_i \exp (d_i +v_i w_i)~~,~~i=1,2$$

라고 놓은 것을 기억합시다. 그리고 
$$ \eta_i = \ln(x_i)+d_i~,~i=1,2$$ 라 정의하자

 

 

 

$\mathcal{R}_1$ 을 우선 정리해 봅시다. 

 

$$
\begin{align}
\mathcal{R}_1 &= \{ X_1(T) < X_2(T)\}\\
& = \{ x_1 \exp(d_1+v_1w_1 ) < x_2 \exp(d_2+v_2w_2 )\}\\
& = \{v_1w_1-v_2w_2 < \ln(x_2)+d_2 -(\ln(x_1)+d_1)\}\\
& = \{ v_1w_1-v_2w_2 < \eta_2-\eta_1\}
\end{align}
$$

이제
$$\begin{align}
a_1 &=v_1w_1\\
a_2 &= v_1w_1-v_2w_2
\end{align}$$
라 정의 합니다. 그리고 $ \mathbf{a} =(a_1, a_2)$,   $ \displaystyle \Lambda_1 = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix}$ , $ \mathbf{p_1} =(\infty , \eta_2-\eta_1)$ (이런 표현은 없지만, 이해를 돕기 위해 썼습니다.) 라 정의합시다.

그러면 우선,
$$ \mathcal{R}_1 = \{ \mathbf{a} \leq \mathbf{p_1}\}$$

입니다(벡터끼리 크기비교에 대한 정의는 여기를  참고하시기바랍니다.)

 

또한 변수 $\mathbf{w}$를 변수 $\mathbf{a}$로 변환할까 합니다. 이 과정은 여기의 중간 부분 증명을 참고하시면 됩니다. 결론적으로 다음을 얻습니다.

$$\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma) = |\det \Lambda_1|\cdot \phi_2(\mathbf{a};0,D_1)~~,~~D_1 = \Lambda_1\Sigma\Lambda_1^t$$

 

 

 

다시 식(I)에 집중해서 풀어보면

 

$$
\begin{align}
(I) & = \iint_{\mathcal{R}_1} X_1(T) \phi_2(\mathbf{w}) d\mathbf{w}\\
& = x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D\mathbf{e}_1, D_1)
\end{align}
$$

입니다. 위 결론은 지난 글의 중간 과정에서 (I.2)를 구하는 내용을 참고하시기 바랍니다.

 

따라서 (I)에 대한 다음의 중간 결론을 얻습니다.

 

$$ 
\begin{align} 
(I) &= \iint_{\mathcal{R}_1} & X_1(T)\phi_2(\mathbf{w}; 0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
   &  =x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D\mathbf{e}_1, D_1)
\end{align} 
$$

기호는

○ $ \mathbf{p_1} =(\infty , \eta_2-\eta_1)$
○ $ \Lambda_1  = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix} $
○  $D_1 :=\Lambda_1 \Sigma \Lambda_1^t$ 
○ $ \mathbf{e}_1 = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} }^t$

 

입니다.

 

 

 

 

 

식 (**)의  (II)도 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.  또 다른 지난 글을 완전히 따라 하면 되는데, 아래의 내용을 계속 살펴봅시다.

 

 

식 (II)의 계산

$$(II) = \iint_{\mathcal{R}_2} X_2(T)\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}$$을 풀어보겠습니다.

 

영역 $\mathcal{R}_2$ 는 다음과 같이 정리됩니다.

$$
\begin{align}
\mathcal{R}_2 &= \{ X_2(T) \leq X_1(T)\}\\
& = \{ x_2 \exp(d_2+v_2w_2 ) < x_1 \exp(d_1+v_1w_1 )\}\\
& = \{v_2w_2-v_1w_1 < \ln(x_1)+d_1 -(\ln(x_2)+d_2)\}\\
& = \{ v_2w_2-v_1w_1 < \eta_1-\eta_2\}
\end{align}
$$

 

 

 $a_1 = v_2w_2-v_1w_1 ~,~ a_2 = v_2w_2$라 정의하고, $\mathbf{a} = (a_1,a_2)$, $\mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \infty)$라 합시다(위와 마찬가지로 이해를 돕기 위해 무한대 기호를 썼습니다.)

 

또

$$ \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix} $$ 라 하면,

$$\mathbf{a} = \Lambda_2 \mathbf{w}$$

이죠. 위와 똑같이  $\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma)$를 변수 $\mathbf{a}$에 대해 변환시켜 보겠습니다.

$$\phi_2(\mathbf{w}; 0, \Sigma) = |\det \Lambda_2|\cdot \phi_2(\mathbf{a};0,D_2)~~,~~D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$$

 

 

 

---

다시 식(II)을 살펴봅시다.

 

$$
\begin{align}
(II) &= \iint_{\mathbf{R}_2} X_2(T)\phi_2(\mathbf{w};0,\Sigma) d\mathbf{w}\\
&=x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \Phi_2(\mathbf{p_2}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) ,  
\end{align}
$$

○ $\mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \infty)$
○ $ \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix} $
○  $D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 
○ $ \mathbf{e}_2 = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} }^t$

 

입니다.  지난 글 2Star WorstPerform 풋옵션 가격: Closed form #2에서 (II.2) 식을 구하는 과정과 똑같습니다.

 

 

 

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최종정리: 2Star WorstPerform 의 기댓값

 

위의 관찰에 의해 

$$\mathbb{E}(wp(T)) = (I)+(II)$$이고 따라서

 

$$ \begin{align} \mathbb{E}(wp(T)) &= x_1 \exp \left(d_1+ \frac12 \mathbf{e_1}^t D_1 \mathbf{e_1} \right) \Phi_2(\mathbf{p_1}; D\mathbf{e}_1, D_1) \\ & ~~~+x_2 \exp \left(d_2+ \frac12 \mathbf{e_2}^t D_2 \mathbf{e_2} \right) \Phi_2(\mathbf{p_2}; D_2\mathbf{e}_2, D_2) \end{align} $$

기호는

○ $ \mathbf{p_1} =(\infty, \eta_2-\eta_1), \mathbf{p}_2 = (\eta_1-\eta_2~,~ \infty \} $
○ $ \Lambda_1  = \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\ v_1 & -v_2 \end{pmatrix},  \Lambda_2 = \begin{pmatrix} -v_1 & v_2 \\ 0 &v_2 \end{pmatrix}$
○ $D_1 :=\Lambda_1 \Sigma \Lambda_1^t , D_2 :=\Lambda_2 \Sigma \Lambda_2^t$ 
○ $\mathbf{e}_1 = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} }^t, \mathbf{e}_2 = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} }^t$

○ $d_i = \left(r-q_i-\textstyle{\frac12}\sigma_i^2\right)T~~,~~ v_i = \sigma_i\sqrt{T}~,~i=1,2$

○ $\Sigma= \begin{pmatrix} 1&\rho\\ \rho &1 \end{pmatrix} $

○ $\eta_i = \ln(x_i)+d_i~,~i=1,2$

 

 

 

 

이 식이 과연 맞는지 시뮬레이션 결과와 Python coding으로 비교해 보도록 하겠습니다.