Binomial Tree #2: CRR 모델이란?

이 글은

2022.08.09 - [금융공학] - Binomial Tree #1: GBM을 단순하게!

Binomial Tree #1: GBM을 단순하게!

에서 이어집니다.

 

저번 글에서는 GBM모델을 간략화하여 이항모델로 만드는 방법을 다뤘습니다. 원래 이 방법은 Cox, Ross, Rubinstein 세 명의 학자가 Jounal of Financial Economics에 기고한 "Option Pricing: A Simplified Approach"라는 제목의 논문에서 다루어졌던 내용입니다. 내용 자체는 거의 비슷하나 접근 과정 중 미묘하게 다른 부분이 있어서 소개를 할까 합니다.

여기에 수록된 논문을 참고하시기 바랍니다.

이 모델을 개발한 세명의 학자 이름 앞글자를 따서 CRR 모델이라 합니다. 

 

결론적으로 저번 글에서 다루었던 내용과 결과는 정확히 똑같습니다. 다만 모델을 세팅하는 과정에서 조금 차이가 있는데요.

 

복습

저번 글에서, $S$가 단위시간 $\Delta t$ 이 지난 후,  $p$의 확률로 $Su$ 로 상승하거나 $1-p$의 확률로 $Sd$로 하락하는 모델을 가정했습니다. 표와 그림으로 정리하면 아래와 같았습니다.

 

상태	up	down
변수	$S\cdot u$	$S\cdot d$
확률	$p$	$1-p$

 

 

 

CRR 모델이 만족할 조건

1. 이항 모델은 최대한 간결하게!
2. $S_{t+\Delta t}$의 기댓값이  GBM 모델에서의 기댓값과 같으면 좋겠다.
3. $S_{t+\Delta t}$의 분산이 GBM 모델에서의 분산과 같으면 좋겠다. 

저번 글에서의 분석과 비교해 보면 이렇습니다.

 

	전의 글 이항모형	CRR 모델
1번 조건	$$ud =1$$
2번 조건	$$\mathbb{E}(S_{t+\Delta t} ) =S_te^{(r-q)\Delta t}$$
3번 조건	$$\mathbb{E}(S_{t+\Delta t}^2  ) $$	??

저번 글의 이항모형에서는 3번 조건에서 분산이 GBM모델과 일치하게끔 만들기 위해

$$\mathbb{E}(S_{t+\Delta t}^2  ) $$

를 고려하였고 이 값이

$$\mathbb{E}(S_{t+\Delta t}^2  ) = S_t^2 e^{(2r-2q+\sigma^2)\Delta t}$$

이라는 사실을 이용했습니다. 하지만 CRR 모델에서는 다릅니다.

 

CRR 모델에서의 분산의 일치

GBM 모델을 다시 환기하여 보면 이렇습니다.

$$ \frac{dS_t}{S_t} = (r-q)dt + \sigma dW_t$$

이것을 $\Delta t$ 간격동안의 discrete version으로 써보면

$$ \frac{\Delta S_t}{S_t} = (r-q)\Delta t + \sigma W_{\Delta t}$$

이죠. $\Delta S_t = S_{t+\Delta t} -S_t$ 이므로 준식은

$$ \frac{S_{t+\Delta t}}{S_t} = (1+(r-q)\Delta t) + \sigma W_{\Delta t}\tag{1}$$

입니다.  이항 모델하에서 $S_{t+\Delta t}$는 $S_t u$ 또는 $S_t d$ 이므로 식(1)의 좌변은

$$u, d$$

두 값을 갖는 통계 변수라 생각할 수 있습니다. 그런데 우변을 보면 분산이 $\sigma^2 \Delta t$이죠.

따라서 

$u,d$는 분산이 $\sigma^2 \Delta t$인 확률변수이다

라고 생각을 하는 거죠.

 

그럼 $u,d$의 평균은 뭘까요? 바로 2번 조건에서 나타나는

$$ pu+(1-p) d = e^{(r-q)\Delta t}\tag{2}$$

였습니다.

따라서 $u, d$의 분산은

$$ pu^2 +(1-p) d^2 - \left(e^{(r-q)\Delta t} \right)^2 $$

이므로 

 

$$ pu^2 +(1-p)d^2 =  e^{2(r-q)\Delta t} +\sigma^2 \Delta t \tag{3}$$

입니다.

이게 바로 다른 점입니다. 저번 글의 (3)번 식을 참고하면 위 식은

$$ pu^2 + (1-p)d^2 = e^{(2r-2q+\sigma^2)\Delta t}\tag{3'}$$

였거든요. 

 

따라서, (3) 번 식이 결국 $\Delta t^2$을 무시한다는 가정하에서 식(3')과 똑같기만 하면 저번 글의 논의에 의해 똑같은 결론을 얻게 되는 거죠. 다음 식을 보죠

$$
\begin{align}
 e^{2(r-q)\Delta t} +\sigma^2 \Delta t & = 1+2(r-q)\Delta t +\sigma^2 \Delta t +\cdots \\
& = 1+ (2r-2q+\sigma^2)\Delta t +\cdots \\
& = e^{(2r-2q+\sigma^2)\Delta t} 
\end{align}
$$

이 식에 의하면 결국 식(3)과 식(3')은 $\Delta t^2$을 무시할만하다는 전제 속에서 같습니다.

따라서 저번 글의 논리를 그대로 따라가면 똑같은 결론을 얻게 됩니다.

 

결론

up &down 확률
$$ \begin{align} p &= \frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}\\ 1-p &= \frac{u-e^{(r-q)\Delta t}}{u-d} \tag{PROB}\\ \end{align} $$

$u, d$의 값은?(근사치)

$$ u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} ~, ~d= e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$$

 

 

 

 

다음 글에서는 이항 모형을 이용하여 델타원 파생상품의 가격을 산출해 보도록 하겠습니다.