옵션 #6. 옵션 프리미엄 구하기 실습: MonteCarlo Simulation

이번 글은

2022.08.19 - [금융공학] - 옵션 #5. 옵션 프리미엄 구하기 실습: 함축적 FDM

옵션 #5. 옵션 프리미엄 구하기 실습: 함축적 FDM

에 이어서, 옵션 프리미엄을 구하는 다른 방법에 대해서 알아보는 내용입니다. 

저번 글에서는 옵션 프리미엄을 명시적  FDM, 함축적 FDM 두 방법으로 해결하는 방법을 알아보았는데요. 이번에 알아볼 내용은 

파생상품 가격 결정의 끝판왕: MonteCarlo Simulation(MC)

 

의 방법으로 가격을 구해보겠습니다. 우선 MonteCarlo Simulation을 복습해 볼까요?

 

 

 

MonteCarlo Simulation 복습

시뮬레이션 방법에 대해서는

2022.08.05 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

Black Scholes Equation의 풀이: 확률프로세스를 이용하자.

에서 다뤘습니다. 실제로 시뮬레이션 방법으로 델타원 상품의 가격까지 구해봤드랬죠(2022.08.08 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 시뮬레이션을 참고하세요)

시뮬레이션 방법을 간단히 요약하면 이렇습니다.

Feynman-Kac Formula

편미분 방정식
$$ f_t(t,S_t) + (r-q) S_t f_S(t,S_t) + \frac12 \sigma^2 S_t^2 f_{SS}(t,S_t ) -rf(t,S_t) =0$$
의 해는
$$ f(t, S_t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T) |\mathcal{F_t} ) $$
이다. 여기서 $S_t$는
$$ dS_t/S_t = (r-q) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$의 dynamics를 따른다. 

특히 현재 시점 $t=0$에서는
$$ f(0,S_0 ) = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( f(T,S_T)) \tag{*}$$
이다.

 

온갖 확률 프로세스 이론을 도입하여 위의 결론을 얻었었는데, 얻은 결과가 어찌 보면 아주 자명해 보이죠? 아래의 방법대로 구하면 되는 것입니다.

1. 만기 때 주가 $S_T$가 어떻게 끝날지는 모르겠지만, 이것에 따라 만기 payoff $F(T,S_T)$가 결정될 것이고
2. $F(T,S_T)$ 들의 기댓값이 바로 파생상품의 미래가치가 된다.
3. 따라서 이것을 현재가치로 할인해주면, 즉 $e^{-rT}$를 곱하면
4. 파생상품의 현재가치가 나온다. 

본격적으로 콜옵션의 가격을 구해보도록 하겠습니다.

 

 

콜옵션 가격을 MC로 구하기

만기가 $T$, 행사가가 $K$인 콜옵션의 만기 payoff는 

$$ \max(S_T -K, 0)$$

이라 주어집니다. 여기서 $S_T$는 기초자산의 $T$ 시점에서의 가격이고, 기초자산 프로세스는 GBM

$$ \textstyle{\frac{dS_t}{S_t} } = (r-q) dt + \sigma dW_t$$

를 따른다고 해보죠.

 

콜옵션의 시점 $t$, 기초자산의 가격이 $S_t$일 때 콜옵션 가격을 $c(t,S_t)$라 하면 식 (*)에 의해

$$ c(t,S_t) =  e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} ( \max(S_T-K,0) |\mathcal{F_t} )$$

입니다. 기초자산의 현재가를 $S_0$라 하면

$$ c(0,S_0) = e^{-rT}\mathbb{E} ( \max(S_T-K,0) )$$

입니다.

이제 이것을 MC로 구해보죠. 구하는 과정은

2022.08.08 - [금융공학] - Black Scholes Equation의 풀이: 시뮬레이션에 있는 python code와 비슷합니다.

 

 

Python Code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

N = norm.cdf


def CallOptionBS(S, K, T, r, q, sigma):
    if T == 0:
        return np.max(S - K, 0)
    else:
        d1 = (np.log(S / K) + (r - q + sigma ** 2 / 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
        return S * np.exp(-q * T) * N(d1) - K * np.exp(-r * T) * N(d2)


def call_option_by_MC():
    s0 = 100
    vol = 0.3
    r = 0.02
    d = 0.01
    maturity = 1
    strike = 100

    nSimulation = 1000000
    drift = (r - d - 0.5 * vol ** 2) * maturity
    volsqrtmat = vol * np.sqrt(maturity)

    rn = np.random.normal(size=nSimulation)
    s_maturity = s0 * np.exp(drift + volsqrtmat * rn)
    payoff = np.array([np.max([0, s_mat - strike]) for s_mat in s_maturity])

    s_cum_mean = np.cumsum(payoff) / np.arange(1, nSimulation + 1) * np.exp(-r * maturity)
    simulation_result = np.mean(payoff) * np.exp(-r * maturity)
    exact_solution = CallOptionBS(s0, strike, maturity, r, d, vol)

    print('result of simulation :{:.3f}'.format(simulation_result))
    print('result of exact solution: {:.3f}'.format(exact_solution))
    print('result of s_cum_mean: {:.3f}'.format(s_cum_mean[-1]))

    plt.figure(figsize=(10, 10))
    plt.suptitle('call option price by MC')
    sim_list = [100, 1000, 10000, 100000]

    for i in range(len(sim_list)):
        plt.subplot(2, 2, i + 1)
        plt.plot(s_cum_mean[:sim_list[i]], label='{} iteration'.format(sim_list[i]))
        plt.hlines(exact_solution, 0, sim_list[i], color='r')
        plt.legend()

    plt.show()

    # plt.plot(s_cum_mean, color='c')
    # plt.hlines(exact_solution, 0, nSimulation - 1, color='r')
    # plt.show()


if __name__ == '__main__':
    call_option_by_MC()

 

코드를 간략히 살펴보겠습니다.

 

 

def CallOptionBS(S, K, T, r, q, sigma):
	# closed form과 비교하기 위해 사용자 정의한 함수입니다.

 

---

 

def call_option_by_MC():
    s0 = 100	# 기초자산의 현재가
    vol = 0.3	# 기초자산의 변동성
    r = 0.02	# 무위험이자율
    d = 0.01	# 기초자산의 연속배당률
    maturity = 1	# 콜옵션의 만기
    strike = 100	# 콜옵션의 행사가

 

---

    nSimulation = 1000000	# 총 nSimulation 개의 기초자산 만기가격을 생성할 예정
    drift = (r - d - 0.5 * vol ** 2) * maturity	# 기초자산의 drift 항
    volsqrtmat = vol * np.sqrt(maturity)		# 기초자산의 diffusion 항

    rn = np.random.normal(size=nSimulation)		# nSimulation 개의 표준정규분포 난수를 발생시켜
    s_maturity = s0 * np.exp(drift + volsqrtmat * rn)	# nSimulation개의 만기 종가를 생성한다.

○ $S_T = S_0 \exp((r-d-{\textstyle \frac12}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} z)$ 라는 식을 이용하여 $S_T$를 만드는 것입니다.

 

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    payoff = np.array([np.max([0, s_mat - strike]) for s_mat in s_maturity])
		# 만기종가 각각에 대해 콜옵션 payoff max(S_T-K,0)를 계산하여 payoff라는 배열 만듬
    s_cum_mean = np.cumsum(payoff) / np.arange(1, nSimulation + 1) * np.exp(-r * maturity)
    	# 아래 설명

○ 전체 시뮬레이션 횟수를 $N$회라 했을 때, 총 $N$개의 payoff $X_1, X_2, \cdots, X_N$이 생성될 것입니다. 이때,

$$a_n = (X_1+\cdots+X_n)/n$$이라 두면, $a_n$ 은 $n$번째 시뮬레이션까지의 기댓값이 되겠죠. 따라서 이 값을 구하여 시뮬레이션 횟수가 증가할 때 평균값이 어디로 수렴하는지를 볼 수 있습니다.

○ numpy.cumsum(payoff)는 payoff 배열을 첫 항부터 누적하여 합한 것을 다시 배열로 만든 것입니다. 이를 ${\rm{array}}([1,2,\cdots,N])$으로 시뮬레이션 횟수가 증가하며 생기는 평균(기댓값)들을 모으는 것입니다.

 

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결과를 보시죠.

 

result of simulation :12.237
result of exact solution: 12.245
result of s_cum_mean: 12.237

MC로 구한 값은 12.237이고, Black Sholes formula 즉 closed form으로 구한 값은 12.245로서 MC 방법도 파생상품의 해를 구하는 훌륭한 방법이라는 것을 알았습니다.  시뮬레이션 별 횟수에 따른 옵션 가격의 수렴도를 볼까요?

 

빨간색 선이 exact soluation인 12.245입니다. 시뮬레이션 100회나 1000회는 exact value랑 아직 많이 이격 되어 있는 모습을 볼 수 있습니다. 시뮬레이션 횟수가 증가할수록 빨간색 선에  수렴하는 모습을 보이죠? MC 시뮬레이션 횟수가 많으면 많을수록 정확한 값에 수렴하게 됩니다. 하지만 계산 시간이 많이 걸리겠죠, 따라서 MC를 사욯할 때는 서로 trade off관계가 있는

• 계산의 정확성
• 계산 시간의 효율성

을 잘 따져서 시뮬레이션 횟수를 결정하는 것이 좋습니다.

다음 시간에는 옵션 가격을 구하는 또 다른 방법에 대해서 알아보겠습니다.