옵션 #7. 옵션 프리미엄 구하기 실습: Binomial Tree

 

 

이번 글에서는

2022.08.21 - [금융공학] - 옵션 #6. 옵션 프리미엄 구하기 실습: MonteCarlo Simulation

옵션 #6. 옵션 프리미엄 구하기 실습: MonteCarlo Simulation

에 이어서 콜옵션의 가격을 다른 방법으로 구해보겠습니다. 바로 binomial tree로 구하는 방법입니다. 우선, binomial tree를 복습해 보겠습니다.

 

 

Binomial Tree  복습

주식은 상승(상승률 $u$), 하락(하락률 $d$) 두 가지 상태이고, $ud=1$ 을 만족하며 GBM의 기댓값과 분산을 만족하도록 상승확률 $p$와 하락 확률 $1-p$를 설계하며 다음과 같았습니다.

 

너무 지겹게 등장해, 이제 외울떄도 될만한 그림

이러한 이항 모델(binomial model)을 붙여 아래와 같이 이항트리를 만들었지요.

 

가로축은 시점 축, 세로축은 기초자산의 축입니다. 시점 $n$에서 상승횟수가 $i$인 주가의 값은

$$ S_0 u^i d^{n-i}$$

입니다($S_0$는 현재주가)

 

파생상품의 가격은 다음과 같이 구합니다.

시점 step $n$번째의 아래서부터 $i$번째 노드는 기초자산의 가격이 $ S_0 u^{i}d^{n-i}$ 이고 이때의 파생상품의 가격을 $ f(n,i), 0\leq n\leq N, 0\leq i\leq N$이라 쓰면

○ $f(N,i)$ 는 만기 시점 페이오프(위 그림에서 가장 오른쪽 노드들)
○ $ f(n,i) = e^{-r\Delta t} \left[ p f(n+1,i+1) + (1-p) f(n+1,i)\right]$ 의 점화식을 만족
○ $ f(0,0)$ 이 바로 현재 시점, 현재 주가 에서의 파생상품의 가치

 

 

 

 

콜옵션의 가격 구하기

 

위의 그림에서 만기 $T$, 행사가 $K$인 콜옵션의 만기 페이오프는, 모든 $i\leq N$에 대해

$$f(N,i) = \max(S_0 u^i d^{N-i} - K ,0)$$ 입니다. $N$은 $t_N=T$인 끝 index입니다.

 

 

python code입니다. 기본적으로 델타원 상품 가격을 구한 글에 수록된 코드 예제와 상당히 유사합니다. 비교해 보시기 바랍니다. 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
import time

N = norm.cdf


def CallOptionBS(S, K, T, r, q, sigma):
    if T == 0:
        return np.max(S - K, 0)
    else:
        d1 = (np.log(S / K) + (r - q + sigma ** 2 / 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
        return S * np.exp(-q * T) * N(d1) - K * np.exp(-r * T) * N(d2)


def call_option_by_BinomialTree():
    s0 = 100
    vol = 0.3
    r = 0.02
    q = 0.01
    maturity = 1
    strike = 100
    nNode = 20
    dt = maturity / nNode

    u = np.exp(vol * np.sqrt(dt))
    d = 1 / u
    a = np.exp((r - q) * dt)
    p = (a - d) / (u - d)

    def treeNode(n, i):
        if n == nNode:
            return np.max([s0 * u ** i * d ** (n - i) - strike, 0])
            # return np.max([s0 * u ** (2 * i - n) - strike, 0])
        elif n < nNode:
            up_val = treeNode(n + 1, i + 1)
            down_val = treeNode(n + 1, i)
            df = np.exp(-r * dt)
            return (p * up_val + (1 - p) * down_val) * df

    start_time = time.time()
    res = treeNode(0, 0)
    elapsed_time = time.time()-start_time
    print('Binomial Tree price : {:.3f}'.format(res))
    print('excat         price : {:.3f}'.format(CallOptionBS(s0, strike, maturity, r, q, vol)))
    print('calculation time    : {:.2f}'.format(elapsed_time))


if __name__ == '__main__':
    call_option_by_BinomialTree()

 

코드를 간략하게 분석해 보겠습니다.

import time	# 계산에 소요된 시간을 분석하기 위해 필요한 time 모듈

 

---

    u = np.exp(vol * np.sqrt(dt))	# 이항모델 세팅: 주가의 상승률
    d = 1 / u			# 이항모델 세팅: 주가의 하락률
    a = np.exp((r - q) * dt)
    p = (a - d) / (u - d)	# 주가의 상승확률

 

---

    def treeNode(n, i):	#binomial tree의 노드의 값들을 재귀적으로 계산하기 위해 만든 함수
        if n == nNode:	# 만기시에는,
            return np.max([s0 * u ** i * d ** (n - i) - strike, 0])	# 만기 payoff을 대입한다.
            # return np.max([s0 * u ** (2 * i - n) - strike, 0])	# 만기 payoff을 u에 관해 정리한 식
        elif n < nNode:
            up_val = treeNode(n + 1, i + 1)
            down_val = treeNode(n + 1, i)
            df = np.exp(-r * dt)
            return (p * up_val + (1 - p) * down_val) * df	#점화식을 사용하여 전단계 timestep의 값 산출

○ $u^i d^{n-i} = u^i u^{-(n-i)} = u^{2i-n}$ 이므로 주가의 상태를 $u$에 관해 정리할 수 있습니다.

 

---

    start_time = time.time()	#계산 시작 시점의 시각을 읽는다
    res = treeNode(0, 0)
    elapsed_time = time.time()-start_time	#계산 끝난 시각(time.time())을 읽어 계산시작 시점을 뺀 값

 

 

결과를 보겠습니다.

Binomial Tree price : 12.099
excat         price : 12.245
calculation time    : 9.94

Process finished with exit code 0

Binomial Tree로 계산해도 Black Scholes Formula로 구한 결과와 거의 유사하죠?

 

Binomail Tree로 계산해 보니 한 가지 단점이 시간이 쫌 걸린다는 사실입니다. nNode =20으로 잡아도 10초 안팎으로 걸리는군요. 사실 nNode =20이라는 얘기는 maturity = 1년을 20등분 한 것으로 근 18(=365일/20) 간격으로 이산화 시킨 것입니다. 따라서 생각보다 성기게 이산화를 시킨 건데요. 계산 시간이 좀 많이 걸립니다.

 

Node 별로 파생상품의 가치가 어떻게 변화하는지 시각적으로 분석하고 싶을 때는 아무래도 엑셀 VBA로 산출해 보는 것이 유용합니다. 다음 글에서는 엑셀 VBA를 사용하여 콜옵션의 binomial tree를 시각적으로 분석해 보겠습니다.